理想の解析学の教科書

志村五郎の言う理想の解析学の教科書について考える。以下引用。


解析学を教えるとしたら、あるいは教科書を書くとしたら注意すべき点がいくつかある。

1. Lebesgue積分を入れる。ただし[使, §9]の方針でやる。 (*1)
2. 多変数の積分を微分形式を入れて論じる。
3. 常微分方程式の解の存在定理を入れる。
4. Fourier級数だけでなくFourier変換を入れる。つまり

f → f^, f^(x) = ∫_R e(-xy)f(y) dy (*2)

を考える。
5. 複素解析とこれらを融合させる。そして∂/∂z, ∂/∂z~, dz, dz~を使う。
6. 具体的な関数, つまり楕円関数, ゼータ関数などを論じる。

すでにこれらの事は前著三冊 (*3)に注意したが、ここでもう一度まとめてみた。証明なしで定義、定理、実例だけのあまり厚くなき本であってもよく、それを誰かが書けばよいと思う。

志村五郎「数学をいかに教えるか」(p072-073)

----
(*1) Lebesgue積分を論ずるやり方には大体三通りある。

1. 実直線R上だけでやる。
2. 一般の測度空間で始めるが、それはR^nでの積分をやるための手段で結局それだけになる。
3. 一般の測度空間で、R^nももちろんやるが、最後まで定理をできるだけ一般の場合に証明する。

どれがよいかと言うと、3が一番よい。

志村五郎「数学をいかに使うか」(p113)


(*2) e(z) = exp(2πiz)

(*3) 「数学をいかに使うか」「数学の好きな人のために」「数学で何が重要か」

ほう…

>Lebesgue積分を入れる。

確かにRiemann積分に固執する理由はないね

>3. 一般の測度空間で、R^nももちろんやるが、
>最後まで定理をできるだけ一般の場合に証明する。
>どれがよいかと言うと、3が一番よい。

上記はまったくごもっともだと思うが
一般化しておくと都合がいい具体的な事例は
著書で紹介されてるのかい？

Lebesgue積分について。志村は、一般測度空間でやるべき例として、Fubini-Tonelliの定理を挙げている。

>>3　
それは、Fubini-Tonelliの定理を一般的な形で使用したい、
という意図があるから？

仮にそうだとして、なにかいい事例はある？

事例があるから、そうしたほうがいい、といってると思うから

続いて、実数論をどう扱うか。



まず実際問題として数学科とは限らない一般向けの大学初年級の微積分で実数をどのように扱うかを考えてみよう。一番簡単で時間もかからないと思われるのは実数体Rの基本的公理として「有界単調数列は収束する」ことを受け入れて、そこから出発すればよい。それを不自然だと思う学生はいないだろう。
教科書ならば、附録としてRを有理数体Qから構成することを書く。その際Dedekindの切断は使わずに、有理数のCauchy列でやればよい。実数のCauchy列を本文でやってるからやり易いであろう。読んでも読まなくてもよいという意味で付録にするのであるが、教科書の程度によってはこの附録はなくてもよい。
実数の前の有理数の構成はいらない。有理数は既知とするのが実際的である。そして代数の初歩の本には、零因子のない環、つまり整域、の商体を作る話が書いてあるからZからQを作る話はその特別な場合になってしまう。

（中略）

Peanoの公理で自然数を定義して、それから整数環Zを作るというのはまず不必要であって代数の教科書ではZを既知とするのがよい。どうしてもPeanoの公理を世間に知らせたいなら群や環や体を書いた代数の教科書の附録にすればよいのであって、Peanoの公理を含めるために始めに言ったような本を一冊別に書くのは意味がない。そして教室ではPeanoの公理は取り扱わないのがよい。

志村五郎「数学で何が重要か」(p015-016)

Dedekindの切断は、ユークリッドの比例論の踏襲
という点では意味があるかもしれないけど
無限小数との関係からいえば、
有理数のCauchy列のほうが都合がいい

無限小数が「有理数のCauchy列の同値類」の
実質的な代表元になっていることがわかれば問題ない

「実質的な」というのは、有限小数になるところで
0.5=0.4999…
のように2つの同値な表現が存在するから

Zの導入のためにペアノの公理を持ち出す必要はない、というのは全くその通り

実対称行列の対角化と多変数関数の極値問題について。



教科書の話に戻って、多変数の微積分の極大極小を書いてない教科書があるらしい。あるとすればそれはよくない。

（中略）

多変数の微積分を教えるには線形代数の知識を仮定するのが普通である。だからその2次形式の、あるいは対称行列[c_j,k] (*1) が定値であるかどうかの問題になって、その問題のよい応用になっているのだからそれを書かない法はない。

---
(*1) 多変数関数fの点aにおけるTaylor展開の2次の項の係数からなる行列。

fが点aで極値を取るためには、1次の項が消えることが必要である。その上で、2次の項の係数からなる対称行列が、正定値ならばfは点aにおいて極小、負定値ならば極大である。

「閉区間で連続な関数はRiemann積分可能である」というよく知られた定理がある。私はこれはどの段階でも教室では、この言明を説明するだけでよく、証明して見せる必要はまったくないと思う。
そんな証明はどんな教科書にもあって、それがわかる人はそれを読めばよい。それをわからない人がどれだけの割合であるかはともかくとして、その証明の論理はそれほど難しくないが退屈である。
そんなことに時間を費やすよりは外積代数、微分形式、外微分などの易しい場合の使い方を教えた方がよい。
「すべて厳密に」などとは絶対考えてはいけない。限られた時間で有効に数学の使い方を教えるには実際的であることが必要である。

志村五郎「数学をいかに使うか」(p078-p079)

数学を学ぶときにいかに使うかを考えてから学ぶものだろうか

>>10
「これ、教科書に書いてあるけど、別に必要ないな」
ってことはありがたい意見として承っておく

要約すると「枝葉末節に囚われて時間を浪費するくらいなら既知の事柄として受け入れてさっさと前に進んだ方がいい」

堀川の微積分の教科書は

細けえことは抜きにして、関数は無限級数展開できて項別に微積分できるとしよう

という態度で書かれているね

細かい部分が枝葉末節かどうかの判断は
指導者を信じるしかないのか？

>>1
理想の解析学とは、微積分それとも解析学（関数解析、偏微分方程式、確率論、作用素環等）？

1ではないが
数論と一幅対をなす格好の
関数論としての解析学

そうか、ありがとう

コンパクト台を持つC^∞級関数を是非入れたい

多様体や関数解析で重要だし、すぐ後にやる一致の定理の解析的という仮定を除いた時の反例にもなっている

非加速な台を持つジェット空間

積分の平均値の定理は、平均値の定理よりも重要

解析以上に志村のいう意味での「使える」本が無い分野は、代数トポロジーだろう

志村が自分が必要とした解析の教科書が欲しかったという話
それが全てではない

>>22
そりゃそうだろ

>>21
代数的トポロジーは難しいね

QuillenのAdams予想の解決なんて
いまだに何をどうやって解決したのか
初心者にはチンプンカンプン

代数トポロジーで「使える」教科書を書くと、Spanierとかよりももっと辞書みたいな本になるだろう

Princetonのlecture noteで30年前くらいに
そんな感じの本が出たことがあった

松坂和夫著『解析入門上』の複素整級数のところに以下の記述があります。

C の部分集合 S で一様収束する複素連続関数列の極限関数が複素連続関数になるという命題の証明について、
R の区間 I で一様収束する実連続関数列の極限関数が実連続関数になるという命題の（この本での）証明を
そのまま用いるわけにはいかないということを言っています：


「さらに、一様収束する連続関数列の極限はまた連続である。（厳密にいえば、実変数の場合の9.1節の定理4は定理3に依拠しており、定理3の記述は
やや実変数に“局限”された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。しかしそれは容易であるから、ここではあらためて述べない。実際には
この定理は、後の距離空間の位相の章でみるように、もっと一般的な状況のもとに直接かつ簡単に証明することができる。）」


「定理3の記述はやや実変数に“局限”された形になっている」という箇所が何を言いたいのか分かりません。

定理3を見てみても実変数に“局限”などされていないと思います。

定理3で登場する x_0 は R の区間 I の任意の点ですので、かならず I の集積点になります。
一方、 z_0 を C の任意の空でない部分集合 S の任意の点とすると、 z_0 はかならずしも S の集積点にはなりません。（S の孤立点になる可能性があります。）

ですが、孤立点においては、関数はかならず連続ですから、証明に「多少の補正を要」するとは思いません。

は〜〜れたそら〜〜そ〜〜よぐかぜ〜〜

matrix Lie groupとは、GL(n, C)の部分群Gであり以下の性質をみたすものである：
Gの任意の点列がある行列Aに収束するならば、A∈GであるかA∉GL(n, C)。

と手元の本に書いてあるのですが、

A∈Gはわかるのですが、A∉GL(n, C)こっちの条件はなぜ必要なのでしょうか……？

A=0の場合などを除外するため

その条件はGが閉集合であることを意味する。が、GL(n, C)はC^(n^2)の開集合であって閉集合ではないから、Gが閉集合であってもGの点列の集積点は、GL(n, C)に（従ってGに）含まれるとは限らない。

C^(n^2)の代わりにR、GL(n, 2)の代わりに開区間(0, 1)、Gとして(0, 1)自身、Gの点列として{1/n}とか考えてみるといい。
Gは(0, 1)の閉集合だが、{1/n}の極限はGに属さない。

なるほど
29にこういう基礎が欠けていることを
見抜いたうえでの丁寧な解答ですね

なるほど！ありがとうございます！

複素解析に関して

Picardの大定理は知らなくてもいい
Riemannの写像定理は結果だけ知ってればいい
調和函数も結果だけ知ってればいい

楕円函数やれ（WeierstrassのP函数、テータ函数など）
多変数もやれ（Hartogs' lemma、Weierstrass preparation theoremなど）

局所コンパクト位相群のHaar測度を扱っているLebesgue積分の本ってあるの？

解析じゃなくて線型代数学だけど、Jordan標準形よりもHermite形式や外積代数の方が重要だと思う

あと、群の表現をやった方がいい

>>36
クリフォード代数とスピン表現あたりはGOMAXIMAの言い分真に受けて一応やったつもり。

私はその辺はまだ知らない
半整数保型形式やメタプレクティック群もよく分からない

線形代数なんてもんは取捨選択するようなもんじゃなく
全部理解してないと話にならん。
解析学以前に数学を多用する全分野共通の素養

志村五郎の本を読んだんだけど、あんまよくないな
著者があまり賢くないというのもそうだが、編集もよくない
「数学をいかに教えるか」という題名の本が「0. 外国語, 特に英語, の教え方」から始まる

書いてあることの大半が本のタイトルと関係ない

「記憶の切り絵図」が文庫になったのであとがきを立ち読みした。

>>35
ハール測度は必要に応じて学習する測度で、普通ルベーグ積分の本では扱わない
洋書になるけど、もしかしたら幾何学的測度論の専門書なら扱っているかも知れない

>>35
ブルバキくらいしか無いと思う。

>>20
本当に？

>>34
おっしゃる通りです。
楕円関数は、物理でも有用だし。

>>44
解析学の基礎の第3章を解くにはブルバキを読む必要があるということがいえるようになるから、ブルバキだけではない

>>35
局所コンパクト位相群のハール測度は、ルベーグ測度というよりむしろ不変測度の話で、
位相群論概説とか局所コンパクト位相群の解析のマトモな本なら確実に載っている
もしかしたら、無限次元空間の測度上、下にも載っているかも知れない