数学板の人たちで試験を作るとしたら

どんな問題にする？

Def:
Kを集合とする。Kが体であるとは、二項演算

+: K × K → K
*: K × K → K

が定義されて、以下を満たすことである。

∀a, b, c∈K
(1) (a + b) + c = a + (b + c)
(2) ∃0∈K s.t. ∀a∈K, 0 + a = a + 0 = a
(3) ∀a∈K, ∃-a∈K s.t. a + (-a) = (-a) + a = 0
(4) a + b = b + a
(5) (ab)c = a(bc)
(6) a(b + c) = ab + ac
(7) (a + b)c = ac + bc
(8) ∃1∈K s.t. ∀a∈K, 1a = a1 = a
(9) ab = ba
(10) ∀a∈K＼{0}, ∃a^(-1) s.t. aa^(-1) = a^(-1)a = 1

Ex:
有理数の集合Q, 実数の集合R, 複素数の集合Cは、通常の加法と乗法について体となる。

Ex:
整数の集合Zは体ではない。
±1以外の元が乗法に関する逆元を持たないからである。

Ex:
剰余環Z/nZは、nが素数のとき、体となる。

>>5
Proof:
pを素数とする。[a]∈Z/nZ＼{[0]}を任意に取る（a∈Z）。
aとpは互いに素であるから、整数m, nが存在して

ma + np = 1

とできる。[m]が[a]の逆元である。□

Prop:
体は整域である。すなわち、0以外の零因子を持たない。

>>7
Lemma:
∀a∈K, 0a = a0 = 0

Proof:
>>2の(9)より、0a = a0であるから、0a = 0のみ示せばよい。

0a = (0 + 0)a = 0a + 0a
∴ 0a = 0。□

>>7
Proof:
ab = 0とする。もし、a, bが0でないならば、a^(-1), b^(-1)が存在して

1 = a^(-1)ab^(-1) = a^(-1)0b^(-1) = 0

となり、>>8に矛盾する。□

Kを体とする。自然な環準同型

i_K: Z → K
i_K(n) = 1 + 1 + ... + 1 （n個）

が存在する。
>>7よりKは整域であるから、(0)はKの素イデアルである。したがって、Ker(i_K)はZの素イデアルである。ZはPIDなので、

Ker(i_K) = (0) or (p) （pは素数）

である。

Def:
Kの標数とは、Ker(i_K)の生成元のことであり、ch(K)と書く。
すなわち、Ker(i_K) = (0)ならばch(K) = 0。Ker(i_K) = (p)ならばch(K) = pである。