Abel

Abelian integrals

Def:
複素射影平面CP^2を以下のように定める。

C^3＼{(0, 0, 0)}に、以下の同値関係を考える。
(a, b, c), (a', b', c')∈C^3＼{(0, 0, 0)}に対して、

(a, b, c)〜(a', b', c')
:⇔ ∃k∈C＼{0} s.t (a', b', c') = (ka, kb, kc)

CP^2 := (C^3＼{(0, 0, 0)})/〜。

C^3から誘導される位相により、CP^2は位相空間とみなす。

(x, y, z)が代表するCP^2の点を[x : y : z]で表す。

H_z = { [x : y : z] ∈ CP^2 | z ≠ 0}

とする。C^2とCP^2＼H_zの間には

C^2∋(x, y) → [x : y : 1]∈CP^2＼H_z
C^2∋(x/z, y/z) ← [x : y : z]∈CP^2＼H_z

の形の1対1対応がある。

CP^2が複素多様体であることは後で示すと思う。まず簡単に分かることから。


Prop:
CP^2はコンパクトである。

Proof:

K = {(x, y, z)∈C^3＼{(0, 0, 0)} | |x|^2 + |y|^2 + |z|^2 = 1}

とおくと、KはC^3＼{(0, 0, 0)}のコンパクト集合である。任意の[x : y : z]∈CP^2は、自然な写像によるKの像に含まれるから、CP^2はコンパクトである。□