Riemann

Theorie der Abel'schen Functionen

Def:

θ(z, τ) := Σ[n∈Z] exp(πin^2 τ)exp(2πinz)
z∈C,
τ∈H := { z∈C| Im(z) > 0 }

をテータ関数という。

Prop:
>>2の級数を、τを固定しzの関数と見なすと、任意のコンパクト集合上で一様絶対収束する。

>>3
Proof:

Cを定数とし、|Im(z)| < Cのとき一様絶対収束することを示せばよい。
K := Im(τ) > 0より、

|exp(πin^2 τ)exp(2πinz)|
< exp(-πK)^(n^2) exp(2πC)^n

十分大きな定数Nを取れば、

exp(-πK)^N exp(2πC) < 1

とできるから、|n| ≧ Nでは

|exp(πin^2 τ)exp(2πinz)| < exp(-πK)^(n^2 - N)。

右辺の和は収束するから、WeierstrassのM判定法より、>>2の級数はコンパクト集合上で一様絶対収束する。□

Prop:

(1) θ(z + 1, τ) = θ(z, τ)
(2) θ(z + τ, τ) = exp(-πiτ - 2πiz) θ(z, τ)

>>5
Proof:

(1) 明らか

(2)
θ(z + τ, τ)
= Σ[n∈Z] exp(πin^2τ + πi(2n)τ + 2πinz)
= Σ[m∈Z] exp(πim^2τ - πiτ + 2πimz - 2πiz)（m = n + 1と置いた）
= exp(-πiτ - 2πiz) θ(z, τ)。□

>>5
Corollary:

n, m∈Z
θ(z + nτ + m, τ) = exp(-πi(n^2)τ - 2πinz) θ(z, τ)


Proof:
>>5の(1)よりθ(z + m, τ) = θ(z, τ)なので、

θ(z + nτ, τ) = exp(-πi(n^2)τ - 2πinz) θ(z, τ)

だけ示せばよい。nに関する帰納法で示す。n = 1のときは>>5の(2)より成立。

θ(z + (n + 1)τ, τ)
= θ((z + nτ) + τ, τ)
= exp(-πiτ - 2πi(z + nτ)) θ(z + nτ, τ)
= exp(-πiτ - 2πi(z + nτ)) exp(-πin^2τ - 2πinz) θ(z, τ)（∵帰納法の仮定）
= exp(-πi(n+1)^2τ - 2πi(n+1)z) θ(z, τ)。□