ワイこれから大学生何予習すればいい？

今線形代数ちょっとやってるけど後何かやっといた方がいいことある？

算数

悔いの残らないように思いっきり遊べばいいよ

以下、VはR上の有限次元ベクトル空間とする。

Def:
内部自己準同型I: V → Vが、"Vの概複素構造"であるとは、

I^2 = -id

を満たすことである。

Ex:
VがC上のベクトル空間でもあるなら、

v → iv

をR線形写像と見ると概複素構造になる。

Lemma:
I: V → Vは概複素構造とする。このとき、Vは自然にC上のベクトル空間になる。

>>7
Proof:
a, b∈R, v∈Vに対して

(a + bi)v := av + bI(v)

と定める。スカラー倍の結合律を示す。

(a + bi)((c + di)v)
= (a + bi)(cv + dI(v))
= acv + adI(v) + bcI(v) - bdv
= (ac - bd)v + (ad + bc)I(v)
= ((a + bi)(c + di))v。□

Cor:
Vが概複素構造を持てば、VはR上偶数次元である。

>>5
訂正:
> 内部自己準同型I: V → Vが、
自己準同型I: V → Vが、

余計な単語がくっついていました

Cor:
概複素構造I: V → VはVの自然な向き付けを誘導する。

>>11
Proof:
>>7より、VはCベクトル空間としてC^n (2n = dim(V))と同型であり、IはC^nの向きを保つから、VにはC^nの標準基底から定まる向きが誘導される。□

よく分からなかったので補足した。


Vを2n次元Rベクトル空間
I: V → VをVの概複素構造

>>7より、VはCベクトル空間として、C^nと同型。
b_1, ..., b_nをVのCベクトル空間としての基底とする。
b_1, I(b_1), ..., b_n, I(b_n)はVのRベクトル空間としての基底。

Cベクトル空間の別の基底b'_1, ..., b'_nを取ったとする。
b' = (b'_1, I(b'_1), ..., b'_n, I(b'_n))とb = (b_1, I(b_1), ..., b_n, I(b_n))が同じ向きであることを示す。

A∈GL(n, C)があって、b' = bAとなっている。

Aは行の基本変形で単位行列になるから、(1)b_iの複素数倍、(2)b_iとb_jの入れ替え、(3)b_iをb_i + b_jで置き換える操作で向きが保たれることを示せば良い。

(1)
n = 1の場合に示せば十分
0でない複素数z = c + di (c, d∈R)があって、b' = zbとなっている。

b'∧Ib'
= (cb + dIb)∧ (-db + cIb)
= (c^2 + d^2) b∧Ib

c^2 + d^2 > 0なので、(b', Ib')と(b, Ib)は同じ向き。

(2)
i < jとする。
... ∧ b_j ∧ Ib_j ∧ ... ∧ b_i ∧ Ib_i ∧ ...
= (-1)^4(j-i) ... ∧ b_i ∧ Ib_i ∧ ... ∧ b_j ∧ Ib_j ∧ ...
= b_1 ∧ Ib_1 ∧ ... ∧ b_n ∧ Ib_n

(3)
b_jが2つ現れる項は消えるから、(2)に帰着される。

(2)に帰着じゃない。自明

>>13
ありがとうございます。
私が完全に勘違いしてました。
その議論で合っていると思います。