【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+1とおく。(x,y,z,aは有理数)
x^n+y^n=(x+1)^n…(1)とする。
x^n+y^n=(x+a)^n…(2)とする。
(1)のx,y,zは係数を持たないので、整数比とならない。
(2)の解は(1)の解のa倍となる。よって、(2)のx,y,zも整数比とならない。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。

【(1)のx,y,zが整数比とならない理由】
x=k、y=1とおく。k^n+1^n=(k+1)^nとなる。
1^nが係数を持つならば、式は成立する。
1^nは係数を持たないので、式は成立しない。