【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。
(1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
(3)はyが有理数のとき、x,zは無理数となる。(4)の解は(3)の解のa^{1/(n-1)}倍となる。
(4)のx,zが有理数のとき、yは無理数となる。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
補足
(3)のx,y,zが無理数で、整数比の場合は、
(s＊n^{1/(n-1)})^n+(t＊n^{1/(n-1)})^n=(s＊n^{1/(n-1)}+n^{1/(n-1)})^n…(A)となる。
(3)のx,y,zが整数比とならないので、(A)は成立しない。
(A)が成立しないので、s^n+t^n=(s+1)^n、s^n+t^n=(s+r)^nも成立しない。