Noether-Krull-

Zariski

Def:
集合Aが"環"であるとは、二項演算

+: R × R → R
*: R × R → R

が定義され、以下の性質を満たすことである。

(1) Aは+に関してAbel群になる

∀a, b, c∈A
(2) (ab)c = a(bc)
(3) a(b + c) ab + ac
(4) (a + b)c = ac + bc

さらに以下を満たすとき、Aは"可換環"という。

(5) ab = ba

以下を満たすときは、Aは"単位的"という。

(6) ∃1∈A s.t. ∀a∈A, 1a = a1 = a

以後、我々は単に"環"と言えば、(1)-(6)
を満たす、すなわち単位的可換環を意味するものとする。

Remark:
1 = 0となる環を零環という。これは1元0のみからなるので、0とか(0)で表す。我々はこれも環の範疇に含める。

Def:
A, B: 環
写像f: A → Bが"準同型"であるとは、以下を満たすことである。

∀a, b∈A
(1) f(a + b) = f(a) + f(b)
(2) f(ab) = f(a)f(b)
(3) f(1_A) = 1_B

Def:
A: 環
部分集合S⊂Aが"Aの部分環"であるとは、包含写像

i: S → A （x → x）

が準同型になることである。

>>5
訂正:

Def:
A: 環
部分集合S⊂Aが"Aの部分環"であるとは、

(1) Sの元がAの+と*に関して閉じており
(2) 1_A∈S

となることである。このとき、包含写像

i: S → A（x → x）

は準同型になる。

Remark:
>>6の定義より、零環は零環以外の環の部分環にはならない。

Prop:
A, B, C: 環
f: A → B, g: B → Cは準同型とすると、合成写像g○fも準同型である。

>>8
Proof:
明らか。□

Def:
A: 環
部分集合I⊂Aか"Aのイデアル"であるとは、

(1) IはAの加法に関して部分群になり
(2) r∈I, a∈A ⇒ ra∈I

となることである。

Prop:
A: 環
I⊂A: イデアル

加法群としての剰余群A/Iは、

[a] + [b] = [a + b]
[a][b] = [ab]

により環になる。

>>11
[a] + [b] = [a + b]がwell-definedであることは、剰余群の定義から言えるので、[a][b] = [ab]がwell-definedであることを示す。

a - a' ∈I, b - b'∈Iとする

a' b' - ab
= a' b' - ab' + ab' - ab
= (a' - a)b' + a(b' - b)∈I。□

Def:
>>11のA/Iを"Iによる剰余環"と言う。