引き続き代数幾何を勉強するためのスレッド

ゆっくり代数幾何を勉強するためのスレッド。

※前スレ
代数幾何を勉強するためのスレッド
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1569284478/

Quadratic

どんどん「代数幾何の勉強」をしてくれ

ハーツホーンと上野どっちがいい？

マンフォードのAbelian Varietiesの解析部分はスキーム論なくても読める？

アティマクと松村どっちがいい？

アティマクと松村どっちがいい？

数論的代数幾何学ともいうし、代数幾何学だよ

代数幾何と数論幾何ってどっちが難しい？

スキーム論やるならルベーグ積分いらない？

コーヘンマコーレー環ってやる必要ある？

マンフォードのシュプリンガーから出てる本はどうですか？

広中戸部の解析空間入門はスキーム論いらない？

スキーム論やる前に圏論やった方がいい？

>>8,9
自演失敗して順序間違ってる
前のスレもほぼ一人で回してたんだろうな

ヴェイユとグロタンディークってどっちがすごいの？

小平って今も読む価値ある？

エタールコホモロジーとドラームコホモロジーってどっちの方が難しい？

ヒマラヤって人でしょ？

猿真似やろ

チョモランマとK3曲面って関係あるの？

>>21
K3=Kummer+Kaehler+Kodaira
チョモランマ~K2

グロタンディークとセールってどっちがすごい？

曲線のヤコビ多様体みたいに不変量から自然に出てくる代数多様体って、アーベル多様体以外にないの？

スキームってか現代数学はproduct特化型
quotientに弱い
環と加群とLie群くらいだろ。自然にいくの

遠アーベル幾何学が一番難しいよね

スキームとスタックってどっちが難しいの？

アーベル圏と導来圏ってどっちが難しい？

アラケロフ幾何学が一番難しいよ

アラケロフ幾何とリジッド幾何はどちらが難しいですか？

リジッド幾何って将来性ある？

リジッド幾何は数論幾何だろ

代数幾何と数論幾何はどちらが難しいですか？

代数幾何と数論幾何はどちらが難しいですか？

アラケロフ幾何学も数論幾何学だぞ

アラケロフ幾何とリジッド幾何って何が違うの？

K3曲線ネタでヒマラヤが活性化したの？

KaehlerとKodairaはわかるけど
Kummerも曲面？

数論幾何学と微分幾何学の違い

曲面じゃなくて曲線だよ

>>39
数論に微分は使わないだろ

トーラスって閉曲面でしょ？
なんで楕円「曲線」なの？

微分トポロジーの圏論的類似が数論幾何だよ

>>38
Kummer曲面はK3の例

>>43
そうすると
ほぼ『数論的＝圏論的』ということですか

違います

2050年には、数論幾何学と微分幾何学が統合されるみたいね

>>47
ソースは？

リジッド幾何って何を目標にすればいいの？

Mukai, An introduction to invariants and moduli

は入門書に使える？

使えない

なんで使えないの？
神本なのに？

真に使えない代数幾何の本は

D. Exxxxxxx and J. Hxxxxの、
"The Gxxxxxxx of Sxxxxxx."

無駄にページ数が多いくせに、
研究に必須な定理などが全く足りておらず
くだらない例の計算を延々とさせるだけ
これをセミナーで読むのは完全に時間の無駄

代数幾何学なら、ハーツホーンが秀逸だよね

廣中先生の講義録あるじゃん？

これが名著みたいに言われてるのは、本人も困惑してるんじゃないかな

四の五の言わずに論文を読め

オススメの論文教えて

最近のモジュライのトレンドは何？
導来圏とかフーリエ向井変換？

>>55
あれ森重文がノート取ってるからね。フォールズ賞2人の合作とみればネームバリュー的に十分

森は代数幾何学は理解してないよ
双有理幾何学は理解しているが

誰か代数幾何学を理解しているとでも？

トーリック多様体はスキーム論いらない？

いるわけない

森って学コン連続１位の人？

トーリック多様体ってどう重要なの？

トーリック多様体って何？
例は？

>>65
重要なわけない
>>66
射影空間とか

トーリック多様体って何？

仲間由紀恵が主役

以前はこういうとき
ググレカス
というレスが入った
>>69
「多様体」を受けていないので残念なレス

>>68
ｇｇｒｋｓ

>>2-999
スレチ

代数幾何コンプのスレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1616498921/

スペクトル系列やるか

まったりな

証明もしないつもり

以下、CはAbel圏とする

わからない人は、Rを単位元1をもつ環として、R-加群の圏だと思えばよろしい

代数幾何学とは、いったいなんなん？

まず、必要なデータは以下。
詳細な条件を記さずに列挙する。


(a)
対象の族E(p, q, r)∈Ob(C), p, q, r∈Z, r≧2。
rを固定したときの対象の族E(*, *, r)をページと呼ぶ。

(b)
射の族d(p, q, r): E(p, q, r) → E(p + r, q - r + 1)
dは、d(p + r, q - r + 1)○d(p, q, r) = 0を満たす。
これを微分と呼ぶ。

(c)
(b)のdに関して

Z(p, q, r+1) := Ker(d(p, q, r))
B(p, q, r+1) := Im(d(p-r, q+r-1, r))

として、同型の族

α_(r+1): Z(p, q, r+1)/B(p, q, r+1) 〜 E(p, q, r+1)

(d)
2つの対象の族Z(p, q, ∞), B(p, q, ∞)∈Cと、

E(p, q, ∞) := Z(p, q, ∞)/B(p, q, ∞)

(e)
対象の族H^n∈Cと、下降フィルター

... ⊃ F^p H^n ⊃ P^(p+1) H^n ⊃ ...

(f)
同型の族

β(p, q): E(p, q, ∞) 〜 F^p H^(p+q)/F^(p+1) H^(p+q)


以上のデータ{E, d, Z, B, α, H, β}が、以下にだらだらと述べる議論をすべて成立させるなら、

E(p, q, 2) ⇒ H^(p+q)

と書く。

>>77
訂正:
(c)と(d)。
Z_k(E(p, q, r))のように、ZやBの添字とEの添字は独立に動かすので、以下のように訂正する。


(c)
(b)のdに関して

Z_(r+1)(E(p, q, r)) := Ker(d(p, q, r))
B_(r+1)(E(p, q, r)) := Im(d(p-r, q+r-1, r))

として、同型の族

α_(r+1): Z_(r+1)(E(p, q, r))/B_(r+1)(E(p, q, r)) 〜 E(p, q, r+1)

(d)
2つの対象の族Z_∞(E(p, q, 2)), B_∞(E(p, q, 2))∈Cと、

E(p, q, ∞) := Z_∞(E(p, q, 2))/B_∞(E(p, q, 2))

さて、まずやりたいことは、すでに述べたように、

k > r + 1に対して、

Z_k(E(p, q, r))
B_k(E(p, q, r))

を定義することだ。

スキームが重要なんだからスキームやれよ？

おまえら代数幾何学と数論幾何学、どっちが好きなんだよ！？

>>81
代数幾何コンプのスレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1616498921/

Z_(r+1)(E(p, q, r)) := Ker(d(p, q, r))
なのだから、k > r + 1に対して、
Z_k(E(p, q, r))=Ker(d(p,q,k-1))
ではないの？

>>79
(c)で、任意のrに対して、k = r + 1のときは定義されている。

任意のrに対して、k = r + 1, ..., i - 1 まで定義されたと仮定して、k = iのときを定義する。

わかりにくければ、i = r + 2と読み替えてればいい。

まず、仮定より

Z_i(E(p, q, r+1)), B_i(E(p, q, r+1))⊂E(p, q, r+1) --- (☆)

は定義されている。同型

α_(r+1): Z_(r+1)(E(p, q, r))/B_(r+1)(E(p, q, r)) 〜 E(p, q, r+1)

があるので、(☆)の2つは、Z_(r+1)(E(p, q, r))/B_(r+1)(E(p, q, r))の部分対象と同一視できる。自然な射

Z_(r+1)(E(p, q, r)) → Z_(r+1)(E(p, q, r))/B_(r+1)(E(p, q, r))

による(☆)のZ_(r+1)(E(p, q, r))⊂E(p, q, r)への引き戻しを、それぞれ

Z_i(E(p, q, r))
B_i(E(p, q, r))

と定義する。

さて、次に示したいのは、以下の2つ。

(I)
同型

Z_k(E(p, q, r))/B_k(E(p, q, r))
〜Z_k(E(p, q, r+1))/B_k(E(p, q, r+1))
...
〜Z_k(E(p, q, k-1))/B_k(E(p, q, k-1))
〜E(p, q, k)


(II)
対象の列

0 ⊂ B_3(E(p, q, r)) ⊂ ... ⊂ B_k(E(p, q, r)) ⊂
... ⊂ B_∞(E(p, q, r)) ⊂ Z_∞(E(p, q, r)) ⊂ ...
⊂ Z_k(E(p, q, r)) ⊂ ... ⊂ Z_3(E(p, q, r)) ⊂ E(p, q, r)

があること。

任意のr>=2に対して、k=r+1で定義されているということは、
任意のk>=3で定義されているということだよな

>>87
ネタで言ってんなら、しょうもないから
代数幾何コンプのスレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1616498921/

本気で言ってんなら、代数幾何学とかやってる場合じゃないから

高校数学の質問スレ Part411
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1616124139/

>>88
任意のr>=2に対して、k=r+1で定義されているということは、
k=3でも定義されてるし、k=4でも定義されてるし、k=5でも定義されてるし、……
つまり、任意のk>=3で定義されてるということだよね？

>>89
あなたは病気だよ

>>90
説明は？

面白くないから
コンプスレで思う存分独り言呟いてればいいじゃん

>>92
分からないなら大丈夫
ID:y8shpk2gを待つから

大筋あってるんじゃないの？
復刊代数幾何学とかいう永田丸山宮西とかもこの構成じゃない？
裳華房の荒木せんせの一般コホモロジーになんかスッキリした構成があったな

>>86
(I)
Z_k(E(p, q, r))/B_k(E(p, q, r)) 〜 E(p, q, k)
k = r+1, r+2, ...
を示す。

n = k - (r+1)に関する帰納法で示す。
任意のrに対して、n = 0（k = r+1）のときは定義(c)より従う。

Z_k(E(p, q, r)), B_k(E(p, q, r))は、

Z_k(E(p, q, r)) → Z_k(E(p, q, r))/B_k(E(p, q, r))〜E(p, q, r+1)

による、Z_k(E(p, q, r+1)), B_k(E(p, q, r+1))の引き戻し。帰納法の仮定より

E(p, q, r) 〜 Z_k(E(p, q, r+1))/B_k(E(p, q, r+1))
〜 Z_k(E(p, q, r))/B_k(E(p, q, r))。□

>>95
訂正:
> Z_k(E(p, q, r)) → Z_k(E(p, q, r))/B_k(E(p, q, r))〜E(p, q, r+1)

Z_(r+1)(E(p, q, r)) → Z_(r+1)(E(p, q, r))/B_(r+1)(E(p, q, r))〜E(p, q, r+1)

>>86
訂正:
> 0 ⊂ B_3(E(p, q, r)) ⊂ ... ⊂ B_k(E(p, q, r)) ⊂
> ... ⊂ B_∞(E(p, q, r)) ⊂ Z_∞(E(p, q, r)) ⊂ ...
> ⊂ Z_k(E(p, q, r)) ⊂ ... ⊂ Z_3(E(p, q, r)) ⊂ E(p, q, r)

0 ⊂ (r+1)_3(E(p, q, r)) ⊂ ... ⊂ B_k(E(p, q, r)) ⊂
... ⊂ B_∞(E(p, q, r)) ⊂ Z_∞(E(p, q, r)) ⊂ ...
⊂ Z_k(E(p, q, r)) ⊂ ... ⊂ Z_(r+1)(E(p, q, r)) ⊂ E(p, q, r)

>>97
ああああ〜


0 ⊂ B_(r+1)(E(p, q, r)) ⊂ ... ⊂ B_k(E(p, q, r)) ⊂
... ⊂ B_∞(E(p, q, r)) ⊂ Z_∞(E(p, q, r)) ⊂ ...
⊂ Z_k(E(p, q, r)) ⊂ ... ⊂ Z_(r+1)(E(p, q, r)) ⊂ E(p, q, r)

>>94
ごめん、たしかに概ね合ってる　
任意のrに対してZ_(r+1)(E(p, q, r)) := Ker(d(p, q, r))
と、
任意のx,kに対して、k > x + 1のときにZ_k(E(p, q, x))
という全く異なる話が、ひとつ上の行で言うxがrと書かれていたから、二行上の話と混ざったということだな

まぁこの辺であんまり突っ込むとこも無さそう
ただ一般のアーベル圏でやろうとしてるからちょっと難しくなるな
まぁしかし加群の話に限定して元取ってきてもそんなに簡単になるわけでもないし
まぁ好きにすればいいけどな

>>86
(II)
Z_(r+2)(E(p, q, r)), B_(r+2)(E(p, q, r))は、

Z_(r+1)(E(p, q, r)) → Z_(r+1)(E(p, q, r))/B_(r+1)(E(p, q, r))〜E(p, q, r+1)

による逆像として定義したから、

Z_(r+2)(E(p, q, r)) ⊂ Z_(r+1)(E(p, q, r))
B_(r+1)(E(p, q, r)) ⊂ B_(r+2)(E(p, q, r))。

Z_(r+3)(E(p, q, r))とB_(r+3)(E(p, q, r))は、

E(p, q, r+1)

のZ_(r+3)(E(p, q, r+1))とB_(r+3)(E(p, q, r+1))の引き戻しで、こいつらは

Z_(r+2)(E(p, q, r+1) → Z_(r+2)(E(p, q, r+1))/B_(r+2)(E(p, q, r+1))〜 E(p, q, r+2)

のZ_(r+3)(E(p, q, r+2))とB_(r+3)(E(p, q, r+2))の引き戻しだったから、

Z_(r+3)(E(p, q, r)) ⊂ Z_(r+2)(E(p, q, r))
B_(r+2)(E(p, q, r)) ⊂ B_(r+3)(E(p, q, r))。

...以下同様。

>>101
さて、残るは

B_∞(E(p, q, r)) ⊂ Z_∞(E(p, q, r))

だが、実はこれは>>86を満たす

B_∞(E(p, q, r))
Z_∞(E(p, q, r))

の存在が>>77の(d)の正確な定義だったので、証明は不要。

あとは

(1) >>86の(II)の列が途中で止まる（十分大きなkを取ると、Z_k = Z_∞、B_k=B_∞）
(2) >>77の(e)のフィルターが途中で止まる（任意のnに対して、pが十分大きければF^p H^n = 0、p'が十分小さければF^p' H^n = H^n）

という条件を考えます。これをbiregularと言います。

どちらも、∀∃の順です

・kはp, qに依存していいです
・p, p'はnに依存していいです

疲れた
ねる

E(p, q, 2)→E(p+2, p-1, 2)→E(p+4, p-2, 2)→...

Z_3(E(p, q, 2)) = Ker(d(p, q, 2))
B_3(E(p, q, 2)) = dE(p-2, q+1, 2)

E(p, q, 3) = Z_3(E(p, q, 2))/B_3(E(p, q, 2))


E(p, q, 3)→E(p+2, p-1, 3)→E(p+4, p-2, 3)→...

Z_4(E(p, q, 3)) = Ker(d(p, q, 3))
B_4(E(p, q, 3)) = dE(p-2, q+1, 3)

E(p, q, 4) = Z_4(E(p, q, 3))/B_4(E(p, q, 3))


E(p, q, 4)→E(p+2, p-1, 4)→E(p+4, p-2, 4)→...

Z_5(E(p, q, 4)) = Ker(d(p, q, 4))
B_5(E(p, q, 4)) = dE(p-2, q+1, 4)

E(p, q, 5) = Z_5(E(p, q, 4))/B_5(E(p, q, 4))

...

E(p, q, 2)→E(p+2, p-1, 2)→E(p+4, p-2, 2)→...

Z_3(E(p, q, 2)) = Ker(d(p, q, 2))
B_3(E(p, q, 2)) = dE(p-2, q+1, 2)

E(p, q, 3) = Z_3(E(p, q, 2))/B_3(E(p, q, 2))

...

E(p, q, r)→E(p+2, p-1, r)→E(p+4, p-2, r)→...

Z_(r+1)(E(p, q, r)) = Ker(d(p, q, r))
B_(r+1)(E(p, q, r)) = dE(p-2, q+1, r)

E(p, q, r+1) = Z_(r+1)(E(p, q, r))/B_(r+1)(E(p, q, r))

...

E(p, q, 2)→E(p+2, p-1, 2)→E(p+4, p-2, 2)→...

Z_3(E(p, q, 2)) = Ker(d(p, q, 2))
B_3(E(p, q, 2)) = dE(p-2, q+1, 2)


i_3: E(p, q, 2) ⊃ Z_3(E(p, q, 2)) → Z_3(E(p, q, 2))/B_3(E(p, q, 2)) 〜 E(p, q, 3)

E(p, q, 3)→E(p+2, p-1, 3)→E(p+4, p-2, 3)→...

Z_4(E(p, q, 3)) = Ker(d(p, q, 3))
B_4(E(p, q, 3)) = dE(p-2, q+1, 3)

Z_4(E(p, q, 2)) = i_3^(-1)(Z_4(E(p, q, 3)))
B_4(E(p, q, 2)) = i_3^(-1)(B_4(E(p, q, 3)))


i_4: E(p, q, 3) ⊃ Z_4(E(p, q, 3)) → Z_4(E(p, q, 3))/B_4(E(p, q, 3)) 〜 E(p, q, 4)

E(p, q, 4)→E(p+2, p-1, 4)→E(p+4, p-2, 4)→...

Z_5(E(p, q, 4)) = Ker(d(p, q, 4))
B_5(E(p, q, 4)) = dE(p-2, q+1, 4)

Z_5(E(p, q, 2)) = i_4^(-1)(Z_5(E(p, q, 4)))
B_5(E(p, q, 2)) = i_4^(-1)(B_5(E(p, q, 4)))

...

>>107 ×
E(p, q, 2)→E(p+2, p-1, 2)→E(p+4, p-2, 2)→...

Z_3(E(p, q, 2)) = Ker(d(p, q, 2))
B_3(E(p, q, 2)) = dE(p-2, q+1, 2)


i_3: E(p, q, 2) ⊃ Z_3(E(p, q, 2)) → Z_3(E(p, q, 2))/B_3(E(p, q, 2)) 〜 E(p, q, 3)

E(p, q, 3)→E(p+2, p-1, 3)→E(p+4, p-2, 3)→...

Z_4(E(p, q, 3)) = Ker(d(p, q, 3))
B_4(E(p, q, 3)) = dE(p-2, q+1, 3)

Z_4(E(p, q, 2)) = i_3^(-1)(Z_4(E(p, q, 3)))
B_4(E(p, q, 2)) = i_3^(-1)(B_4(E(p, q, 3)))


i_4: E(p, q, 3) ⊃ Z_4(E(p, q, 3)) → Z_4(E(p, q, 3))/B_4(E(p, q, 3)) 〜 E(p, q, 4)

E(p, q, 4)→E(p+2, p-1, 4)→E(p+4, p-2, 4)→...

Z_5(E(p, q, 4)) = Ker(d(p, q, 4))
B_5(E(p, q, 4)) = dE(p-2, q+1, 4)

Z_5(E(p, q, 3)) = i_4^(-1)(Z_5(E(p, q, 4)))
B_5(E(p, q, 3)) = i_4^(-1)(B_5(E(p, q, 4)))

Z_5(E(p, q, 2)) = i_3^(-1)(Z_5(E(p, q, 3)))
B_5(E(p, q, 2)) = i_3^(-1)(B_5(E(p, q, 3)))

...

i_r: E(p, q, r-1) ⊃ Z_r(E(p, q, r-1)) → Z_r(E(p, q, r-1))/B_r(E(p, q, r-1)) 〜 E(p, q, r)

E(p, q, r)→E(p+2, p-1, r)→E(p+4, p-2, r)→...

Z_(r+1)(E(p, q, r)) = Ker(d(p, q, r))
B_(r+1)(E(p, q, r)) = dE(p-2, q+1, r)

Z_(r+1)(E(p, q, 2)) = i_3^(-1)(i_4^(-1)(...(i_r^(-1)(Z_(r+1)(E(p, q, r))))))
B_(r+1)(E(p, q, 2)) = i_3^(-1)(i_4^(-1)(...(i_r^(-1)(B_(r+1)(E(p, q, r))))))

読むだけじゃわからんから、俺もスペクトル系列やる

その前にスキームやろが！

>>111
代数幾何コンプのスレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1616498921/

CをAbel圏とする。
E = (E(p, q, r), d(p, q, r), Z_∞(E(p, q, r)), B_∞(E(p, q, r)), α_r, H^n)_{p, q, r, n∈Z, r≧2}がスペクトル系列であるとは、以下の条件を満たすことである。

(a)
∀p, q, r
E(p, q, r)∈Ob(C)

(b)
d(p, q, r): E(p, q, r) → E(p+r, q-r+1, r)

は

d(p+r, q-r+1, r)○d(p, q, r) = 0

を満たす。これより、E(p, q, r)の部分対象Im(d(p-r, q+r-1, r)), Ker(d(p, q, r))に対して、

Im(d(p-r, q+r-1, r))⊂Ker(d(p, q, r))

が成り立つ。

(c)
Z_(r+1)(E(p, q, r)) := Ker(d(p, q, r))
B_(r+1)(E(p, q, r)) := Im(d(p-r, q+r-1, r))

と置くと、書くp, q, rに対して同型

α_r: Z_(r+1)(E(p, q, r))/B_(r+1)(E(p, q, r)) → E(p, q, r+1)

が成り立つ。

このとき、

Z_k(E(p, q, r))/B_k(E(p, q, r))
〜Z_k(E(p, q, r+1))/B_k(E(p, q, r+1))
〜 ...
〜 Z_k(E(p, q, k-1))/B_k(E(p, q, k-1))
〜E(p, q, k)

および

0 ⊂ B_(r+1)(E(p, q, r)) ⊂ ... ⊂B_k(E(p, q, r)) ⊂ ... ⊂ Z_k(E(p, q, r)) ⊂ ... ⊂Z_(r+1)(E(p, q, r)) ⊂ E(p, q, r)

が成り立つ。

(d)
Z_∞(E(p, q, 2)), B_∞(E(p, q, 2))∈Ob(C)は

0 ⊂ B_3(E(p, q, 2)) ⊂ ... ⊂B_k(E(p, q, 2)) ⊂
... ⊂ B_∞(E(p, q, 2)) ⊂ Z_∞(E(p, q, 2)) ⊂ ...
⊂ Z_k(E(p, q, 2)) ⊂ ... ⊂Z_3(E(p, q, 2)) ⊂ E(p, q, 2)

を満たす。

E(p, q, ∞) := Z_∞(E(p, q, 2))/B_∞(E(p, q, 2))

と置く。

(e)
∀n∈Zに対して、H^n∈Ob(C)であり、H^nはdescending filtration

... ⊃ F^p H^n ⊃ F^(p+1) H^n ⊃ ...

を持つ。

(f)
∀p, qに対して、同型

E(p, q, ∞) 〜 F^p H^n/F^(p+1) H^n
（ただし、n = p + q）

が成り立つ。

Eがスペクトル系列のとき、すなわち以上を満たすとき、

E(p, q, 2) ⇒ H^(p+q)

と書く。

以下、スペクトル系列の例

Ex:
Grothendieckスペクトル系列

A, B, C: Abel圏
F: A→B, G: B → Cは、加法的かつ左完全な関手（従って、右導来関手R^q F, R^p Gが存在する）
Fは、Aのinjective objectを、BのG-acyclic objectに移すとする。
このとき、

E(p, q, 2) := (R^p G)(R^p F(A)) ⇒ R^(p+q)(G(F(A)))


多分、もっと仮定いるんじゃねーかな。
詳しいことは俺は知らんので知りたい人はTohokuを読んで下さい。

Ex:
Lerayスペクトル系列

X, Y: 環付空間
F: Xの層
f: X → Yは連続写像（f_*Fで、Fの順像層を表す）

E(p, q, 2) := H^p(Y, R^p f_*F) ⇒ H^(p+q)(X, F)

>>124
A and B have enough injectives

何を参照してるのか分からないけど、他に仮定はいらない

Ex:

X, Y, Z: 環付空間
F: Xの層
f: X→Y g: Y→Zは連続写像

E(p, q, 2) := R^p g_* R^q f_* F ⇒ R^(p+q)(g○f)_* F

>>124
訂正:
> E(p, q, 2) := (R^p G)(R^p F(A)) ⇒ R^(p+q)(G(F(A)))

E(p, q, 2) := (R^p G)(R^q F(A)) ⇒ R^(p+q)(G(F(A)))

>>125の系

X, Y: 環付き空間
F: Xの層
f: X→Yは連続写像

(1) R^q f_* F = 0 （∀q > 0）
　⇒ H^p(X, F) = H^p(Y, f_*F)（∀p）

(2) H^p(Y, R^q f_* F) = 0（∀p > 0, ∀q≧0）
　⇒ H^p(X, F) = H^0(Y, R^q f_* F)（∀q）

Abel多様体の直線束やる

Appell-Humbertの定理
Abel多様体の射影空間への埋め込み

Appell-Humbert-Matsushima

KempfのComplex Abelian Varieties and Theta Functionsいいよ
Mumfordよりもself-containedに書かれてるし短い
正標数が必要無いならオススメ

M: 複素多様体
複素多様体Lと正則写像π: L → Mの組(L, π)が（正則）直線束であるとは、以下を満たすことである。

(1)
開被覆

M = ∪ U_i

が存在して、

∃φ_i: π^(-1)(U_i) 〜 U_i × C （同相）
s.t. π(φ^(-1)((x, v))) = x。

(2)
U_i ∩ U_j ≠ ∅なら

τ_j,i = φ_j○φ_i^(-1)|φ_i(π^(-1)(U_i ∩ U_j ))

は、(x, v) → (x, g(x)v) （g(x)∈GL(1, C)）で与えられる。

同相じゃなくて双正則

zw平面の２次元開球からz軸への射影が
正則直線束でないことの証明を
代数幾何の専門家に質問された

M: 複素多様体
(L_1, π_1), (L_2, π_2): Mの直線束

直線束の射とは、複素多様体の正則写像

f: L_1 → L_2

で、

π_2○f = π_1

を満たすものである。
2つの直線束が同型であるとは、直線束の射で同型なものが存在することである。

>>138
零切断の行先は？

>>138
修正。

x∈Mに対して、π^(-1)(x)をxのファイバーといい、L_xと書く。
定義の(1)より、L_x〜Cである。

(+) ∀x∈Mに対して、f|_L_1_xは線形写像を誘導する

を追加。

直線束は、>>135の

(1)の開被覆{U_i}_iと
(2)の各i, jに対するg = g_i,j: U_i∩U_j → GL(1, C) （正則）

を決めれば定まります。後で述べると思いますが、この{(U_i∩U_j, g_i,j)}_i,jが、Cech 1-cocycleになることが重要です。

>>137
で、何と答えた？

マンフォードって、いいの？

批判が的を得てないんだよな。
まず業務で高校数学が応用として使える時点で、世の中の上側1%以上なのよ。
アク界隈はお受験からのエリート教育で育ってるから、世の平均以下がちゃんと認識できていない。
残念ながら需要が存在してしまうわけですわ。高校数学の範囲だろうが何だろうが知らんがな。

あと、純粋な高等な数学になればなるほど、応用が狭まっていく。平たく言うと役に立たない。
なんでそんなものと比較するのか意味が分からない。好きなら勝手に博士課程でも行ってろ。

そして、哀れにもアク候補生として入社して、想像以上に日本社会の企業文化に揉まれ疲弊し、
自分は東京一工のエリートなのにこんな試験にも受からないクヤシイ！！みたいな人が、
5chで見えない敵をたたいて必死にもがいているんだな。憎むべきはその選択の損切りができない自分自身なのに。

だから、嫌ならやめろよと。クソ試験と思うなら今すぐやめて転職なりしろ。何事も中途半端が一番良くない。

ヤクザも中途半端ではなれないんだよ

>>143
フィールズ賞を取っただけのことはある

マンフォードのどこがいいわけ？
ハーツホーンのがよくない？

ハーツホーンが最強です
他はゴミです

>>143-148
代数幾何コンプのスレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1616498921/

>>148
フィールズ賞最強

ハーツホーンの弟子で有名なのは誰？

https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=29466

有名なのは？

いっぱい学位を出しているが大半は無名
まあそれが普通だが

Ogusは1977年に京都に来た

>>150-155

代数幾何コンプのスレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1616498921/

ハーツホーンが京都に来たのは1983年ごろ

生成点が重要なんだよね？

それがWeilの考え

それって、なんだよ！？

>>157-160

代数幾何コンプのスレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1616498921/

それが〜いちばんだいじ〜♬

別の言葉では
Specialization

なに歌ってんだよ、こいつ！
ムカつく！！

X = P^3の非特異4次曲面Sの標準因子K_Sは、adjunction formulaより

K_S ≡ (K_X + S)|_S

K_X ≡ -4H（H: 超平面）
S ≡ 4H

なので、

K_S ≡ 0。


O_X加群の完全系列

0 → O_X(-S) → O_X → O_S → 0

から

0 → H^0(X, O_X(-S)) → H^0(X, O_X) → H^0(S, O_S)
→ H^1(X, O_X(-S)) → H^1(X, O_X) → H^1(S, O_S)
→ H^2(X, O_X(-S)) → H^2(X, O_X) → H^2(S, O_S)。

dimH^1(X, O_X) = 0
dimH^2(X, O_X) = dimH^0(X, O(-3)) = 0

なので、

dimH^1(S, O_S)
= dimH^2(X, O_X(-S))
= dimH^0(X, O(-7)) = 0。

Foundation of Algebraic Geometry

>>165
そう言うのって、どの本に載ってるの？

前半は、射影空間のn次方程式で定まる曲面は、平面をn個重ねたようなものと見なせるってこと？

そんで曲面Sの不変量は、

S＝射影空間/(Sの方程式)

だから、もっとわかりやすい射影空間の不変量から計算できるってこと？

当方、物理学科の1年生で、素粒子に興味あるんですけど

ミラーシンメトリーとかリー群とかって何で勉強するのがいい？

テイラー展開と定数変化法なら分かる
オイラーの公式も知ってる

線形代数はよくわからん

H^nってのはトポロジー？
位相空間って本読めば載ってる？

dimってのは次元だよね？
ベクトル空間もやらなきゃいけない？
ジョルダン標準形とかしらんのだけど、大丈夫？

そのレベルだと
ひたすらテキストをノートに書き写すうちに
何かが起こるのを待つしかない

Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer(1977).

には全部載っているが、その前提知識では読めない。

そのハートショーンを読むには、何を勉強すればいいですか？トポロジー？

ちょっと難しいが、

永田雅宜, 可換体論, 裳華房 の1章・3章
Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill の4章-7章

を読んでから

宮西正宜, 代数幾何学, 裳華房

を全部読めば、165程度の内容は完全に理解できる。

複素幾何の範囲ならもっと手っ取り早く到達できそうだが。
堀川とかHuybrechtsとか。
物理ならスキーム論とかやらなくてもよくない？よく知らんけど。

物理学科の一年生だからもっと遡って位相空間論とかをまずやる必要がある

Huybrechtsは2章で射影空間のコホモロジーもadjunction formulaも証明しているから、これが早いと思う。

前提知識は松本幸夫「多様体の基礎」と適当な複素解析の本（Ahlforsとか）で足りると思う。

位相空間は多様体の基礎の1章の知識で十分だと思う。

・ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は閉集合
・商空間R/Zがコンパクトハウスドルフ
・実直線Rと{(x, y)∈R^2 | xy = 0}は同相でない

こんなのが自力で示せれば、可算公理がどうのこうのとか細かいことやる必要はないと思う。

多様体の基礎は位相空間論を学んでることを前提にしている(一般的なカリキュラムから考えて当たり前だが)
物理学科の一年生がそこを飛ばして読むのはハードルが高い

>>181
理論的には十分だが、それは「復習」であって、
位相空間論を学んだこともない人が読み進めるのに十分ということではない

位相空間っていうのは、トポロジーとは違うんですね。

位相空間があって、ホモロジーとかトポロジーは発展ってことであってますか？

複素解析ってのはあれですよね
特異点まわりで積分したら-1次の項以外消えるやつですよね
これは知ってます

スキーム論ってのをやるには、トポロジーが必要で、複素幾何ならいらないってこと？

複素幾何ってのは、数3の複素平面の難しい版？

リー群は代数だよね？
ミラーシンメトリックはトポロジーいる？

Yau の自伝を流し読みすれば
複素幾何がどの段階でどれほど必要か
見当をつけることが可能だろう

>>188
リー代数とはリー環のことで
ベクトル場の集合にリーブラケットで積構造を入れると
現れる対象だから
リー群が代数というのはちょっと

数論幾何学やりなよ？

>>181
図書館で、集合と位相を借りてきた
考える

定義:

(X, O)が位相空間とは

・集合X
・Xの部分集合族O

で、以下の(1)-(3)をみたすもの。Oの元をXの開集合と言う

(1) 空集合と全体集合は開集合
∅, X∈O

(2) 2つの開集合の共通部分は開集合
U, V∈O ⇒ U∩V∈O
（→有限個の開集合の共通部分は開集合）

(3) 開集合の合併は開集合
∀λ∈Λ, U_λ∈O ⇒ ∪[λ∈Λ]U_λ∈O

位相空間の例:

X = R^n
p∈Xと、正の実数rに対して、

B(p, r) := {x∈X | |x - p| < r}

とする。
UをXの部分集合とする。p∈Uが内点であるとは、ある正の実数rが存在して

p∈B(p, r)⊂U

を満たすことである。たとえば、n=1のとき、(0, 1)の点はすべて内点であるが、[0, 1]の0と1は内点ではない。

O = {U⊂R | すべてのp∈Uは内点}

と定める。
(X, O)は位相空間である。

>>193
証明:

(1) ∅, X∈Oは明らか

(2) U, V∈Oとする。
p∈U∩Vを任意に取る。
U, V∈Oなので、正の実数r, sが存在して、

p∈B(p, r)⊂U
p∈B(p, s)⊂V

となる。t = min{r, s}とおけば、

p∈B(p, t)⊂U∩V

なので、U∩V∈O。

(3) ∀λ∈Λ, U_λ∈Oとする。
p∈∪[λ∈Λ]U_λとすると、あるλがあってp∈U_λ。

p∈U_λ⊂∪[λ∈Λ]U_λ

でU_λは開集合なので、pはU_λの、したがって∪[λ∈Λ]U_λの内点。よって∪[λ∈Λ]U_λ∈O。□

位相空間の例2:

Xを集合とする。

O = {∅, X}とすると、(O, X)は位相空間となる。このOを密着位相という。

O = 2^X （Xの部分集合全体）とすると、(O, X)は位相空間になる。このOを離散位相という。

位相空間の例3:

Xを集合、βを2^Xの部分集合とする。

UをXの部分集合とする。p∈Uがβ-内点であるとは、あるB∈βが存在して

p∈B⊂U

となることである。

O = {U⊂X | すべてのp∈Uはβ-内点} -- (*)

と定めると、(X, O)は位相空間となる。このOをβにより生成された位相という。逆に位相Oが与えられたとき、(*)を満たすβ∈2^XをOの開基という。

>>196
例:

X = R^n、Oは>>193の位相とする。

{B(p, r)}_{p∈X, r > 0}

はXの開基である。

>>196
注意:

(X, O)の開基は存在しても一意的とは限らない。

たとえば>>197の状況を考える。

β = {B(p, r)}_{p∈X, r > 0}
β' = {B(p, r)}_{p∈X, r > 0, rは有理数}

とすると、β≠β'だが、βもβ'もR^nの開基である。

位相空間の例4:

Xを集合とする。写像

d: X × X → [0, ∞)

は、以下の(1)-(3)を満たすとき、距離であるという。

(1) d(x, y) = d(y, x)
(2) d(x, y) ≦ d(x, z) + d(z, y)
(3) x = y ⇔ d(x, y) = 0

p∈Xと正の実数rに対して、Xの部分集合B(p, r)を

B(p, r) = {x∈X | d(p, x) < r}

で定める。Oをβ = {B(p, r)}_{p∈X, r>0}で生成される位相とすると、(X, O)は位相空間になる。このような位相空間を距離空間という。

>>199
例:

X = R^nとする。Xは

d(x, y) = |x - y| = √(Σ[i=1, n](x_i - y_i)^2)

によって距離空間になる。その位相は>>193と同じ。

以下、位相空間(X, O)は、誤解の恐れがない場合は単にXと書く。

定義:

X, Yを位相空間とする。
写像

f: X → Y

が連続写像であるとは、Yの任意の開集合Uに対して、f^(-1)(U)がXの開集合となることである。

定義:

X, Yを位相空間
f: X → Yを連続写像とする

fが同相写像であるとは、fが全単射であり、逆写像f^(-1)も連続写像になることである。

>>203
注意:

連続な全単射であっても、逆写像も連続であるとは限らない。

例:

Xを2点以上を含む集合
Oを離散位相、O'を密着位相とする

f: (X, O) → (X, O')

は恒等写像とすると、fは連続であるが、逆写像は連続ではない。

>>196
例:

(X, O)を位相空間とする。O自身は明らかに(X, O)の開基である。

復習:

X = R^n, Y = R, p∈Xとする
関数f: X → Yが点pで連続であるとは、以下を満たすことであった。

任意の正の実数εに対して、正の実数δ = δ(p, ε)が存在して

|x - p| < δ ⇒ |f(x) - f(p)| < ε

を満たす。

連続写像の例:

X = R^n, Y = Rとする。
写像f: X → Yが連続であるためには、Xの任意の点pでfが連続であることが必要十分である。

>>207
証明:

f: X → Yが連続とする。
p∈Xおよびε > 0を任意に取る。B(f(p), ε)はYの開集合である。fは連続であるから、f^(-1)(B(f(p), ε))はXの開集合であり、pを含む。したがって、ある正の実数δが存在して、

p∈B(p, δ)⊂f^(-1)(B(f(p), ε))

を満たす。これは、|x - p| < δ ⇒ |f(x) - f(p)| < εを意味する。


逆に、Xの任意の点pでf: X → Yが連続であるとする。
UをYの任意の開集合とする。V = f^(-1)(U)がXの開集合であることを示す。
q∈Vを任意に取ると、f(q)∈U。Uは開集合であったから、ある正の実数εが存在して、

f(q)∈B(f(q), ε)⊂U

を満たす。仮定よりfはqで連続であるから、ある正の実数δが存在して、

q∈B(q, δ)⊂f^(-1)(B(f(q), ε)⊂V

となる。qは任意であったから、VはXの開集合である。□

>>205
したがって、

命題:

(X, O)を位相空間とする。

Uが開集合であるためには、任意の点p∈Uに対して、あるV∈Oが存在して、

p∈V⊂U

となることが必要十分である。

連続写像の例2:

X = R^n, Y = R
連続関数の和、差、積、(分母が0でない点での)商、(正の実数の)べき乗、三角関数、指数関数、対数関数、それらの合成はすべて連続である。

命題:

X, Y, Zは位相空間、f: X→Y, g: Y→Zは連続写像とする。このとき、合成写像g○fも連続である。


証明:
明らか。□

命題:

X, Yを位相空間、f: X→Yを連続写像とする。
FをYの閉集合とすると、f^(-1)(F)はXの閉集合である。

定義:

(X, O)を位相空間
Xの部分集合Fが閉集合であるとは、その補集合X＼Fが開集合となることである。

>>212
証明:

F⊂Yを閉集合とする。fは連続でY＼Fは開集合なので、f^(-1)(Y＼F) = X＼f^(-1)(F)は開集合。したがって、f^(-1)(F)は閉集合。□

例:

X = R^n, Y = R、f: X → Yを連続写像とする。
Yの一点集合{p}は閉集合である（一般の位相空間では、一点集合が閉集合とは限らない）。したがって、その逆像

f^(-1)({p})

はXの閉集合である。

>>215
例:

たとえば、

x^2 + y^2 - 1 = 0

をみたす(x, y)∈R^2の集合などは閉集合である。

定義:

Xを位相空間、YをXの部分集合とする。
Yの位相を以下で定める

U⊂Yが開集合
:⇔ Xのある開集合Vが存在して、V∩Y = U

これをXからの相対位相という。

>>217
注意:
i: Y → Xを包含写像とすると、これはiを連続にする最も粗い位相である。

>>217
注意:
ある集合が開集合かどうかは、全体の空間による。
たとえば、X = R, Y = [0, 1]とすると、YはXの開集合ではないが、Yの開集合ではある。

定義:

X_1, X_2を位相空間

Z = X_1 × X_2
p_i: Z → X_iは、第i成分への射影

とする。Zの位相を各p_iが連続となる最も荒い位相と定める。すなわち、Zの位相は

{U_1,λ ×U_2,μ | U_1,λはX_1の、U_2,μはX_2の開集合}_λ,μ

で生成される。この位相を積位相と言う。

>>220
注意:
この定義は、任意濃度の直積に拡張される。すなわち

∀λ∈Λ, X_λを位相空間

Z = Π[λ∈Λ]X_λ
p_λ: Z → X_λ（λ成分への射影）

として、Zの積位相は各p_λが連続になる最も荒い位相である。

>>221
注意:
Λが無限のとき、

{ΠU_λ | U_λはX_λの開集合}

はXの開基**ではない**。正しくは

{ΠU_λ | U_λはX_λの開集合。ただし、有限個を除いてU_λ = X_λ}。

定義:
Xを位相空間、〜をXの同値関係とする。
商集合X/〜の位相を、自然な全射p: X → X/〜が連続となる最も細かい位相と定める。
これを商位相という。

>>223
注意:

U∈X/〜が開集合
⇔p^(-1)(U)がXの開集合

>>223
注意:

U⊂X/〜が開集合
⇔p^(-1)(U)がXの開集合

練習問題:

(1) m≦nとする。R^mと、R^mをR^nの部分集合と見て相対位相をいれたものは同相である。

(2) R^2の距離から定まる位相とR × Rに積位相を入れたものは同相である。

(3) m≦nとする。R^mと、R^nに最初のm成分が等しいという同値関係による商位相をいれたものは同相である。

定義:
Xを位相空間とする。
Xがハウスドルフ空間であるとは、以下を満たすことである。

Xの任意の異なる2点p, qに対して、開集合U, Vで

p∈U, q∈V, U∩V=∅

となるものが存在する。

例:

距離空間はハウスドルフ空間である。
とくに、R^nはハウスドルフ空間である。

>>228
証明:

Xを距離空間とする。p, qを異なる2点とすると、

r = d(p, q) > 0

である。B(p, r/2), B(q, r/2)がp, qを分離する開集合になる。□

命題:
Xを位相空間とする。
Xがハウスドルフ空間であるためには、写像

Δ: X → X × X
x → (x, x)

によるXの像が閉集合であることが必要十分である。

>>230
証明:

Xはハウスドルフ空間とする。
(p, q)∈X×X＼Δ(X)を任意に取る。
p≠qでXはハウスドルフだから、Xの開集合U, Vで

p∈U, q∈V, U∩V=∅

となるものが存在する。U∩V=∅だからU×V⊂X×X＼Δ(X)。
積位相の定義からU×VはX×Xの開集合で

(p, q)∈U×V⊂X×X＼Δ(X)

を満たす。したがって、X×X＼Δ(X)は閉集合。

逆も同様。□

定義:
Xを位相空間とする。
Xがコンパクトであるとは、以下の性質が成り立つことである。

{U_λ}_{λ∈Λ}をXの任意の開被覆（すなわち、各U_λは開集合でX = ∪[λ∈Λ]U_λ）とすると、有限個の

λ_1, ..., λ_n∈Λ

が存在して

X = ∪[i=1, n]U_(λ_i)

とできる。

定理:
ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は閉集合である。

>>233
証明:

Xをハウスドルフ空間、K⊂Xをコンパクト部分集合とする。
X＼Kが開集合であることを示す。
p∈X＼Kを任意に取る。Xはハウスドルフ空間であるから、任意のq∈Kに対して、開集合U_q, V_qで

p∈U_q, q∈V_q, U_q∩V_q=∅

となるものが取れる。このとき、

K = ∪[q∈K] V_q

である。Kはコンパクトであるから、有限個のq_1, ..., q_n∈Kが存在して

K = ∪[i=1, n] V_(q_i)

となる。

U = ∩[i=1, n] U_(q_1)

とおけば、Uはpを含む開集合で、どのV_(q_i)とも交わらないから、

p∈U⊂X＼K。□

定理:
X, Yを位相空間、f: X → Yを連続写像とする。
K⊂Xをコンパクト部分集合とすると、f(X)もコンパクトである。

>>235
証明:

{U_λ}をf(K)の開被覆とする。fは連続写像なので、V_λ = f^(-1)(U_λ)は開集合であり、{V_λ}はKの開被覆である。
Kはコンパクトなので、有限個のλ_1, ..., λ_nが存在して

K ⊂ ∪[i=1, n] V_(λ_i)

となる。よって

f(K) ⊂ ∪[i=1, n] U_(λ_i)。□

>>234

> K = ∪[q∈K] V_q

> K = ∪[i=1, n] V_(q_i)

> U = ∩[i=1, n] U_(q_1)

全部 = を ⊂ に訂正。

定理:

X = R^nとする。
K⊂Xがコンパクトであるためには、Kが有界閉集合であることが必要十分である。

>>238
証明:

必要性:
Kはコンパクトとする。
R^nはハウスドルフ空間なので、Kは閉集合である。
R^nの開被覆

R^n = ∪[r>0] B(0, r)

を考える。これはKの開被覆でもあり、Kはコンパクトだから、あるR > 0が存在して

K ⊂ B(0, R)

となる。したがって、Kは有界である。

>>238
十分性:

Kを有界閉集合とする。
Kがコンパクトでないとすると、どのように有限個の開集合をとってもKを被覆できない開被覆が存在する。そのような開被覆の1つを{U_λ}とする。

Kは有界だから

K⊂[a_1, b_1] × ... × [a_n, ..., b_n]⊂X

とできる。

I_0 = [a_1, b_1] × ... × [a_n, ..., b_n]

とおく。I_0を各辺を2等分することで、2^n個のn次元直方体に分ける。その内、Kとの共通部分が空でないものだけ考える。
各直方体とKの共通部分は有界閉集合であり、その内の少なくとも1つは有限個のU_λで覆えない。なぜなら、すべての共通部分が有限個のU_λで覆えるなら、Kはコンパクトになるから。
中のKが有限個のU_λで覆えない直方体を1つ選んでそれをI_1とする。以下、これを繰り返すと、

I_0 ⊃ I_1 ⊃ ...

ができるが、1回ごとに大きさが1/2^nになるので、無限回繰り返すと共通部分は1点になる。

その点をpとすると、Kは閉集合なのでp∈Kである。---(*)

よって、十分大きなNに対してはI_Nは有限個の開集合で覆われる。これはI_nの作り方に反する。

>>240
(*)の証明:

pがKに含まれないとする。Kは閉集合なので、X＼Kは開集合であるから、あるB(p, r)が存在して

p∈B(p, r)⊂X＼K

となる。ところが、Nが十分大きければ

p∈I_N⊂B(p, r)

となる。これはI_NがKと交わることに矛盾する。□

定理:
Xをコンパクト位相空間とする。
連続写像f: X → Rには、最大値と最小値が存在する。

>>242
証明:
どちらの証明も同様であるから、最大値の存在を示す。
fが最大値を持たないとすると、任意のx∈Xに対して、あるy∈f(X)が存在して、

f(x) < y

となる。したがって、

U_y = {x∈X | f(x) < y} = f^(-1)((-∞, y))

とおくと、{U_y}_{y∈f(X)}はXの開被覆になる。Xはコンパクトなので、あるy' = f(x')∈f(X)が存在して、

X = U_y'

となるが、これはx'を含まないので矛盾。□

コンパクト複素多様体上の正則関数は定値

>>238
有界閉集合がコンパクトではない例:

l^2を実数列(a_n)で

Σ |a_n|^2 < ∞

を満たすもの全体の空間とする。a = (a_n), b = (b_n)∈l^2に対して、距離を

d(a, b) = √(Σ |a_n - b_n|^2)

で定めると、l^2は距離空間になる。


l^2の部分集合Sを

(0, 0, ..., 0, 1, 0, ...)

のように1つの成分だけが1、残りは0となる数列全体と定める。第i成分が1の数列をe_iと書く。

Sは明らかに有界である。

また、a = (a_n)∈l^2＼Sを任意に取ると、2乗和が収束するから、十分大きなNに対して|a_n| < 1/2とできる。よって、r = min{d(e_1, a), ..., d(e_N, a), 1/2}とすれば、

a∈B(a, r)⊂l^2＼S

となるから、Sは閉集合である。


i≠jなら、d(e_i, e_j) = √2だから、{B(e_i, √2/2)}_iはSの無限開被覆だが、どれを除いてもSを被覆できない。したがって、Sはコンパクトではない。

>>244
証明:
Xをコンパクト複素多様体、f: X → Cを正則関数とする。

Xはコンパクトなので、fには最大値が存在する。最大値を取る点をx∈Xとする。
xの近傍Uを、Xの正則座標近傍に含まれるように取ると、f|UはC^nの領域の正則関数なので、fが定数関数でなければUの境界でのみ最大値を取る。
したがって、fは定数関数。□

定理:
X_λをコンパクト位相空間とすると、積Π[λ∈Λ]X_λもコンパクト。

証明略。□

>>227
命題:
X, Yを位相空間、Yをハウスドルフ空間とする。単射f: X → Yが存在すれば、Xもハウスドルフ空間である。

>>248
証明:
p, qをXの任意の異なる2点とする。fは単射なので、f(p)≠f(q)。Yはハウスドルフなので、f(p), f(q)を分離する開集合U, Vが存在する。f^(-1)(U), f^(-1)(V)がp, qを分離する開集合になる。□

>>181
R/Zがコンパクトハウスドルフであること。

R/Zは、x, y∈Rにx〜y :⇔ x - y∈Zの同値関係を入れたもの。ZはRの加法部分群だから、これは同値関係になっている。
p: R → R/Zを自然な全射とする。

R/Zがコンパクトであること。
∵ 有界閉集合[0, 1]の像であるから。

R/Zがハウスドルフであること。
∵ x + Z, y + Z∈R/Zを異なる2点とする。
x + Zの点とy + Zの点の距離は自然数だから、最小値が存在する。それを与える点をx', y'、距離の最小値をrとする。
p(B(x', r/2)), p(B(y', r/2))がx + Zとy + Zを分離する開集合。□

定義:
Xを位相空間
Xが連結であるとは、以下を満たす開集合U, Vが存在しないことである。

U≠∅
V≠∅
X = U∪V
U∩V = ∅

命題:
X, Yを位相空間、f: X → Yを連続写像とする。Xが連結ならば、像f(X)も連結である。

>>252
証明:
f(X)が連結でないとする。すなわち開集合U, Vで

U≠∅
V≠∅
U∪V = f(X)
U∩V = ∅

をみたすものが存在したとする。このとき、f^(-1)(U), f^(-1)(V)はXの開集合で

f^(-1)(U)≠∅
f^(-1)(V)≠∅
f^(-1)(U)∪f^(-1)(V) = f(X)
f^(-1)(U)∩f^(-1)(V) = ∅

を満たすので、Xは連結ではない。□

定理:
Rの区間[a, b]は連結である。

>>254
証明:
I = [a, b]が連結でないとする。開集合U, Vで

U≠∅
V≠∅
U∪V = I
U∩V = ∅

となるものが存在する。b∈Vとしてよい。Vに含まれないIの元には上限が存在する。それをmとする。
m∈Uならば、Uは開集合なので、十分小さなε > 0に対して[m, m + ε]⊂U。m + ε∉Vなので、これはmの取り方に反する。
m∈Vとしても、Vが開集合なのと、U≠∅よりm≠aであるので、十分小さなεに対して、[m - ε, m]⊂V。これもmの取り方に反する。
よってIは連結でなければならない。□

定義:
Xを位相空間とする。
Xが弧状連結であるとは、任意の2点p, qに対して、連続写像

f: [0, 1] → X

で、f(0) = p, f(1) = qとなるものが存在することである。

定理:
弧状連結な位相空間は連結である。

>>257
証明:
Xは弧状連結とする。Xが連結でないとする。Xの開集合U, Vで、

U≠∅
V≠∅
U∪V = X
U∩V = ∅

を満たすものが存在する。U≠∅, V≠∅なので、p∈U, q∈Vとなる点p, qが取れる。Xは弧状連結なので、連続写像f: [0, 1]→Xで、f(0) = p, f(1) = qとなるものが存在する。
[0, 1]は有界なので、f(x)がVに含まれないxには上限が存在する。それをmとする。

U∪V = X, U∩V = ∅だから、f(m)∈Uかf(m)∈Vのいずれかである。

f(m)∈Uとする。
Uは開集合で、fは連続だから、十分小さなε > 0を取れば、f((m, m + ε))⊂U, f(m + ε)∉Vとなるが、これはmが上限であることに反する。

f(m)∈Vとする。
Vは開集合で、fは連続でf(0)∉Vだから、十分小さなε > 0を取れば、f((m - ε, m))∈Vとなるが、これもmが上限であることに反する。

よって、Xは連結でなければならない。□

連結空間の例:

R, Rの開区間, Rの閉区間, R^n, R^nの開球, ...等は弧状連結だから連結である。



>>257の方が強いから、>>254-255はいらない。

連結だが弧状連結ではない空間の例:

O = {(0, 0)}
C = {(x, y)∈R^2 | y = sin(1/x), x > 0}

X = O∪Cは連結だが弧状連結ではない。

∵
x = 1/2πn (n = 1, 2, ...)のときsin(1/x) = 0だから、Oを含む開集合には必ずCの点が含まれる。
Cは弧状連結だから連結。
Xを2つの開集合で分離できるとすれば、片方はOを含むから、Cを分離できることになって矛盾。
だから、Xは連結。

sin(1/x)はx→+0で不定だから、Cの点とOを結ぶ連続写像f: [0, 1]→Xはない。□

命題:
Xは位相空間とする。Xが連結であるための必要十分条件は、開かつ閉集合が∅, X以外にないことである。

>>261
証明:
N⊂Xを、Xの開かつ閉集合で空でも全体でもないものとする。
このとき、M = X＼Nも開集合で、

N≠∅
M≠∅
N∪M = X
N∩M ∅

となり、Xは連結ではない。□

定義:
Xを位相空間
Xの連結な部分集合で包含関係に関して極大なものを連結成分と言う。

>>181
RとX(xy=0)が同相でないこと。
∵
同相写像f: X → Rが存在したとする。
fをX＼{(0, 0)}に制限したものも同相である。
X＼{(0, 0)}の連結成分は4個。
R＼{f(0, 0)}の連結成分は2個。
だから、fは同相写像ではない。□

エルミート形式と外積代数について

>>244>>246
定値ーー＞局所定値

ああ、連結じゃないとダメだね

東大の講究で毎年テキストに採用されている（かどうかは知らないが。シラバス通り行うとは限らないし）

Lei Fu, Algebraic Geometry

は、そんなに良い本なのか……？
数論幾何やる人なら、コホモロジーなどを道具として使えればいいからこれで十分ということなの？

ざっと見たけど良さそうな本だね

前提知識がアティヤマクドナルドだけで読める内容とは思わないが

>>269
どういうところが？

導来関手やスペクトル系列などのホモロジー代数的な議論の証明が書かれているので、Hartshorne 3章のsupplementとしては良いと思う

C上とは限らない楕円曲線は必須
保型形式は知ってた方がいい
層係数コホモロジーと群コホモロジーは使える必要がある
類体論は結果だけ知ってればいい

らしいよ

コホモロジーの章はかなり丁寧だと思う

Gelfand-ManinのMethods of homological algebraのDerived functorのセクションも良い

まあ今なら志甫先生の本が良いだろう

双有理幾何学って

並河先生の本は？

>>278
俺の3年分の勉強が最初の10ページで終わってる

やっぱプロはすげーや

素朴な疑問なんだけど
アフィンスキームのPicard群ってどうなるの

Dedekind環ならイデアル類群

UFDなら自明

無限群になることはある？

環Rに対してPic(Spec(R))=Pic(R)(環のピカール群)
当然一般には無限群になることもある

ネーター環でも無限になることがあるんですか？

おいらは逆に、数体の射影化がないか気になる

デデキント環のSpecを開部分スキームとして含む射影スキーム、と言えば正確なのかな？

Proposition 6.5. Let X satisfy(*), let Z be a proper closed subset of X, and let U = X - Z. Then: (a) there is a surjective homomorphism Cl X -> Cl U defined by D = In; Y; f---+ In;( Y; n U), where we ignore those Y; n U which are empty; (b) if codim(Z,X) ;?; 2, then Cl X -> Cl U is an isomorphism; (c) if Z is an irreducible subset of codimension 1, then there is an exact sequence Z -> Cl X -> Cl U -> 0,

where the first map is defined by 1 f---+ 1 · Z.

があるからXとしてcl(X)のrankが1より大きいやつ、Zを既約でUがaffineになるやつ持ってくればいいんじゃね？

X={[a:b:c]; b^2c = a^3 - ac^2 }
Z = { [ 0 : 1 : 0 ] }

とか

条件(*)は、

X is a
Noetherian
imtegral
separated
scheme which is regular is codimension one.

regular in codimension oneとは、次元1の局所環O_X,xがすべて正則であること

Zが余次元2以上なら、同型だけど、affineにならないよね

Cl P^n は Zだし

>>289
その条件>>288は満たしてますがな

>>292
そうですね

E: elliptic curve (g = 1)
P∈E: closed point

since deg(K - nP) < 0, h^0(O_E(K - nP)) = 0. by riemann-roch,

h^0(O_E(nP))
= h^0(O_E(K - nP)) + 1 - g + deg(nP)
= n

when n≧3 = 2g + 1, O_E(nP) is very ample.

k = C.
τ = p + qi∈C, Im(τ) = q > 0.
Λ = Z + Zτ

E = C/Λ

H: Hermitian form on C × C
e.g H(z, w) = zw~

H(a + bτ, c + dτ)
= H(a, c) + H(a, dτ) + H(bτ, c) + H(bτ, dτ)
= acH(1, 1) + adH(1, τ) + bcH(τ, 1) + bd(τ, τ)
= (ac + adτ~ + bcτ + bdττ~)H(1, 1)

let H(1, 1) = s + ti (s, t∈R)

H(a + bτ, c + dτ)
= (real part) + ad(p - qi) + bc(p + qi)
= (real part) - (ad - bc)qi

∴ ImH(a + bτ, c + dτ) = (ad - bc)q.
∴ H' = H/q: Hermirian form on C × C, H'(Λ + Λ)⊂Z

a, b∈Z, χ(a + bτ) := (-1)^ImH(a, bτ)

Θ: C × Λ → C
Θ(z, l) := χ(l)exp(πH(z, l) + H(l, l)/2)

is 1-cocycle of sections of line bundle on E.

>>295
> ∴ H' = H/q: Hermirian form on C × C, H'(Λ + Λ)⊂Z
→∴ H' = H/q: Hermitian form on C × C, ImH'(Λ × Λ)⊂Z

>>295
> Θ(z, l) := χ(l)exp(πH(z, l) + H(l, l)/2)

→Θ(z, l) := χ(l)exp(πH(z, l) + πH(l, l)/2)

X = P^2
C⊂X: 非特異d次曲線

g = h^1(C, O_C) = (d-1)(d-2)/2

∵
O_X加群の完全系列

0 → O_X(-C) → O_X → O_C → 0

から

0 → H^0(X, O_X(C)) →H^0(X, O_X) → H^0(C, O_C)
→ H^1(X, O_X(C)) →H^1(X, O_X) → H^1(C, O_C)
→ H^2(X, O_X(C)) →H^2(X, O_X)

h^1(X, O_X) = 0
h^2(X, O_X(-C)) = h^2(X, O(-d)) = h^0(X, O(d - 3) = (x, y, zのd-3次単項式の数) = (d-1)(d-2)/2。

∴ h^1(C, O_C) = (d-1)(d-2)/2。□

別解:

Serre dualityより

h^1(C, O_C) = h^0(C, O_C(K_C))。

K_X = -3H（Hは超平面）

adjunction formulaより

K_C = (K_X + C)|_C。

∴ deg(K_C) = (d - 3)d

deg(K_C) = 2g - 2なので、

g = (d-1)(d-2)/2。□

Serre dualityのくだりいらんね

ありがとうございます
いらないですね。
当初これにRiemamn-Roch使ったら出るかと思ったけど、意味なかったのでやめたんですが、そのとき消し忘れました

おまえらなんで代数幾何学やってるの？

n次元Abel多様体のモジュライ空間はn^2次元？

n次正方行列の空間（の開部分群）を離散部分群で割ってるから、おそらくn^2だとは思うが

dim(H^1(X, T_X))（T_Xはholomorphic tangent bundle）

がわかればよい

>>303
SiegelのTopicsの第3巻を読め
偏極Abel多様体のモジュライでないと意味がないことがわかるだろう

なるほどなぁ

意味分からん
もっと簡潔に頼む

D. Arapura, Algebraic Geometry over Complex Numbers.
C. Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I, II.

G. Harder, Lectures on Algebraic Geometry I, II.
L. Fu, Etale Cohomology Theory.

>>309
Deligneの仕事を後追いするのは、できる人にはいいんだろうけど、多くの人にはあまり良い選択ではない気がする。

あの〜、、Hodge理論のとこで

(H^p,q)~ = H^q,p

とか出てきますが、すごく初歩的な疑問ですが、複素ベクトル空間の複素共役って何ですか……？

おそらく、同型V〜C^nを通じて複素共役を考えるのでしょうが、これって基底に依存しますよね？
実際n = 1でも、bをVの基底として、v = (x + yi)bに対して、v~ = (x - yi)bとしてみる。

b' = ibも基底で、

u = (x + yi)b'
= (x + yi)ib
= (-y + xi)b

だから、b'~ = (-y - xi)b ≠ (x - yi)b'。

何か付加的な構造が入ってるものに限定して考えているのでしょうか？

任意の基底に対して

v = Σ zb = Σ wb'
v~ = Σ z~b = Σ w~b'

を成り立たせるには、基底変換行列のエントリーが必ず実数である必要がありますが、一般のVに対してそれは無理ですよね

>>311$H^{p,q}$以前に$H^r$の定義を復習してみたら？
リーマン面やアーベル多様体の場合だけでよいから

>>311
そうだね
共役を考えるには単なる複素ベクトル空間じゃなくて実ベクトル空間の複素化である必要がある

>>311
共役を考えるのは、一般の複素ベクトル空間ではなく、実ベクトル空間Hの複素化

H_C = H⊗_R C。

v = Σu⊗z ∈ H_Cに対して、あなたの記号で、v~ = Σu⊗(z~) とすれば、Hの基底のとり方によらずに定まる。

実際のHの例は、Xの実係数特異コホモロジー群あるいはde Rhamコホモロジー群などですね

>>314-316
なるほど
基本的なところ勘違いしてました
ありがとうございます

というか、313だけで納得できないなら
数学はやめたほうが良いのでは？

>>313,318
H^p,q H^rの定義とは？

おまえらムカつく👊😠んだけど！？

{ z∈C^n | |z| < 1 }
{ (z_i)∈C^n | ∀i, |z_i| < 1}

が双正則同値でないことはどのように示すのでしょうか？

コホモロジーは何で定義した本を読むのがベストなん？単射分解？

>>309
目次見たけど、コホモロジーの章にLefschetz fixed point theoremとか入ってるのをみると、後にSGAを読むことを想定しているのかな、と思ってしまう

Liuは、整数環上のスキームの話題削ってコンパクトにすればもっとよくなるのでは

>>311
GriffithsやDeligneの論文読めないからここで聞くんだけど、Hodge構造を抽象すると何が嬉しいの

>>314-315
ちょっとよくわからないのですが、、
まず

> H_C = H⊗_R C

に対して共役が定義できることはわかりました。たしかに、Hodge分解におけるこの左辺は

H^n(X, C) = H^n(X, R) ⊗ C

です。しかし、

(1) H^n(X, C) = ⊕[p+q=n] H^p,q(X)
(2) H^p,q(X)~ = H^q,p(X) （~は複素共役）

とあります。H^p,q(X) = H^q(X, Ω_X^p) （Ω_X^pは、Ω_Xを正則余接バンドルとして、Ω_X^p = ∧^p Ω_X）です。

(2)のH^p,qの複素共役を考えたいのですが、これは実ベクトル空間の複素化として定義されていません。
これはどのように複素共役を取るのでしょうか？

ネタか？
つまらんぞ

ネタか？
つまらんぞ

>>328
ボット？

>>326
高校数学からやり直せ

>>329
トゥー？

>>331
カー？

>>326
そのくらいそんな駄文を打ち込んでる間に気付けよ

>>309
VoisinのHodge Theory難しすぎん？

>>326
"There is no stupid question"だから馬鹿のイチャモンは気にしなくていいよ
Vが実ベクトル空間の複素化なら共役作用素が定まるから部分空間W<Vに対してその共役Wバーが定義されるってこと
W自体は実ベクトル空間の複素化でなくていい

聞くは一時の恥
聞かぬは一生の恥

手を動かして考えている時点で、インターネット掲示板でスキームだの数論幾何だのと言ってるだけのファッション数学者より1億倍立派

講演を終えた後で
Let me ask a stupid question.
と言われたときはすごく緊張する

Texがなくても数学ってある程度できるんだな

複素共役に対する対象性を考えることが有効なら、任意の有限Galois群Gal(L/K)に対しても同様の分解はありますか？

>>340
Hodge分解の証明をふまえた上での質問でしょうか

>>341
踏まえてないです
そもそもコンパクトケーラー多様体のコホモロジーに限った話ではありません

代数体上で定義された代数多様体の話でしょうか

>>343
そうですね
おそらくそういうものが例になると思います

ガロア群の作用で定義体が変われば
基本群が変わりうるということはふまえた上での質問でしょうか

なんかホモロジー群にガロア群を作用させる話はよく聞くけどその話とはまた別なのかな？

>>345
お前もうつまらんぞ

Galois群で移り合うといえば素イデアル分解
素イデアル分解はFrobenius置換で決まる
虚二次体などいくつかの拡大体では、Frobenius置換は楕円曲線のゼータ関数（≒l進表現）から決まる

やっとプロらしいのが釣れた

wikiにはp-adic Hodge theoryなるものが紹介されてるな

https://en.m.wikipedia.org/wiki/P-adic_Hodge_theory

コレなんか複素共役ではないガロア群の作用考えるくさくない？

Hodge予想とTate予想

結局、モチーフに行き着くのか……

同じ分野にY. Namikawaが二人いるのでどっちだか分からないことがときどきある

複素共役

p-adicでinvariance of plurigeneraに相当する展開と言えば
何ですか？

生成点が重要なんだよね？

>>355-356
代数幾何コンプのスレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1616498921/

>>356
だからnon-reduced structureが基本的

病気としか言いようが無いな

>>358
既約じゃなくて非被約が基本なの？

生成点の概念図がマンフォードの本にあったような

代数幾何学は生成点でできてるからね

See p.72-75 of
The Red Book of Varieties and Schemes
by David Mumford
Lecture Notes in Mathematics 1358

INTRODUCTION TO ALGEBRAIC GEOMETRY
(Preliminary version of first 3 Chapters)
By David Mumford
だと
137-141.

モジュライ空間を考えると何がうれしいの？例挙げて教えて

一変数の代数関数体(の同型類)の集合が
解析空間の構造を持っていて
何次元のパラメータに依存しているか
さらにはその幾何学的構造が何と同定できるか
といった問題を含む
一般的な理論的枠組みが作れる

それ自体に興味がある
分類問題の解になるから重要なのではない

「考えると」という質問
「自然数を考えると何がうれしいの？」には
大小関係や順序関係、さらに四則演算を論じる枠組みが作れる
とでも答えようか
それ自体に興味があるわけでは私的にはないように思う
神の存在に興味がないように

復活祭の間くらいはいさせてもらおうかな

高次チャウ群が重要なんだよね？

>>370
モジュライ空間の代数幾何では

エタールコホモロジーやろ

Lefschetzの公式

>>358-373

代数幾何コンプのスレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1616498921/

>>357,>>374
代数幾何コンプのスレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1616498921/