位相空間の例4:

Xを集合とする。写像

d: X × X → [0, ∞)

は、以下の(1)-(3)を満たすとき、距離であるという。

(1) d(x, y) = d(y, x)
(2) d(x, y) ≦ d(x, z) + d(z, y)
(3) x = y ⇔ d(x, y) = 0

p∈Xと正の実数rに対して、Xの部分集合B(p, r)を

B(p, r) = {x∈X | d(p, x) < r}

で定める。Oをβ = {B(p, r)}_{p∈X, r>0}で生成される位相とすると、(X, O)は位相空間になる。このような位相空間を距離空間という。