Cartier

divisor

Def:
X: 位相空間

圏Zar(X)を以下で定義する:

Zar(X)の対象は、Xの開集合。
U, V∈Zar(X)に対して、UからVへの射の集合Hom(U, V)は、

Hom(U, V) :=
{i: U → V (i(x) = x)}（if U ⊂ V）
∅（otherwise）。

Def:
X: 位相空間

XのAbel群（環、R加群、etc）の前層とは、Zar(X)からAbel群（resp. 環、R加群、etc）への反変関手Fで、F(∅) = {0}を満たすものである。

すなわち、U⊂Vを満たすXの開集合の組U, Vに対して、Abel群（環、R加群、etc）の準同型

res_U,V := F(i: U → V): F(V) → F(U)

が定まり、U⊂V⊂Wを満たすXの開集合の組U, V, Wに対して

res_W,U = res_W,V○res_V,U

が成り立つ。

>>3
訂正:
> res_W,U = res_W,V○res_V,U
res_U,W = res_U,V○res_V,W

>>3の表記で

各開集合Uに対して、F(U)を"FのU上の切断"
開集合U⊂Vに対して、res_U,Vを"VからUへの制限写像"

という。

Ex:
X: 位相空間
Xの開集合Uに対して、

C^0_X(U, R) := {U上の実数値連続関数}

と定めると、関数の定義域の制限を制限写像として、C^0_X(・, R)はX上の前層になる。

以下、特に断らなければ、単に"前層"と書いてAbel群の前層を指すものとする。

Def:
X: 位相空間
F, G: Xの前層

とする。FからGへの"前層の準同型"とは、関手の自然変換のことである。

すなわち、Xの各開集合Uに対する（Abel群、環、R加群、etcの）準同型の族

{φ(U): F(U) → G(U)}_U

であって、U⊂Vを満たす開集合の組U, Vに対して

φ(U)○res_U,V = res_U,V○φ(V)

を満たすものである。ここで、左辺のres_U,VはFの制限写像、右辺のres_U,VはGの制限写像である。