Oka-Cartan-Serre

coherency

以下、私の層係数コホモロジーの勉強メモです。

>>1
毎日クソスレ立てるバカ

Def:
圏Aが"加法圏"であるとは、以下の性質を満たすことである。

(A1) 任意の対象M, N∈Ob(A)に対して、Hom_A(M, N)はAbel群の構造を持つ

(A2) Aは零対象を持つ。

(A3) 任意の対象M, N∈Ob(A)に対して、以下の(A3-1), (A3-2)の性質を満たす対象と射が存在する:

(A3-1)
対象M×N∈Ob(A)、射p_1∈Hom(M×N, M)、p_2∈Hom(M×N, N)で、
任意の対象L∈Ob(A)と、射f_1∈Hom(L, M)、f_2∈Hom(L, N)が与えられたとき、射f∈Hom(L, M×N)が一意的に存在し、

p_1○f = f_1、p_2○f = f_2

を満たす。
この(M×N, p_1, p_2)を、M, Nの"積"と言う。

(A3-2)
対象M⊕N∈Ob(A)と、射i_1∈Hom(M, M⊕N)、i_2∈Hom(N, M⊕N)で、
任意の対象L∈Ob(A)と、射f_1∈Hom(M, L)、f_2∈Hom(N, L)に対して、射f∈Hom(M⊕N, L)が一意的に存在して、

f○i_1 = f_1, f○i_2 = f_2

を満たす。
この(M⊕N, i_1, i_2)をM, Nの"和"と言う。

(A4) M_1⊕M_2とM_1×M_2は、δ_i,j∈Hom(M_1, M_2)

δ_i,j = id_i (if i = j), 0 (otherwise)

と(A3-1), (A3-2)から定まる射

h∈Hom(M_1⊕M_2, M_1×M_2)

により同型。

Def:
Aを加法圏とする。
AがAbel圏であるとは、以下の性質を満たすことである:

(A5) 任意の対象M, N∈Ob(A)に対する任意の射f∈Hom(M, N)に対して、以下の(A5-1), (A5-2)の性質を満たす対象Ker(f)とCoker(f)が存在する:

(A5-1)
対象Ker(f)∈Ob(A)と射i∈Hom(Ker(f), M)で、f○i = 0であり、
任意の対象K∈Ob(A)と射k∈Hom(K, M)で、f○k = 0を満たすものに対して、
射j∈Hom(K, Ker(f))が一意的に存在して、

k = i○j

を満たす。このKer(f)を"fの核"という。

(A5-2)
対象Coker(f)と、射p∈Hom(N, Coker(f))で、p○f = 0であり、
任意の対象Q∈Ob(A)と、射q∈Hom(N, Q)でq○f = 0となるものに対して、
射r∈Hom(Coker(f), Q)が一意的に存在して、

r○p = q

を満たす。このCoker(f)を"fの余核"と言う。


(A6)
任意の対象M, N∈Ob(A)と、任意の射f∈Hom(M, N)に対して、Coim(f)とIm(f)は同型。

>>5
Im(f) := Ker(p)（(A5-2のp)）
Coim(f) := Coker(i)（(A5-1のi)）

です。間違ってたら教えて下さい。

Abel圏の例として、以下の2つを扱います。

(1) 群作用を持つ加群の圏
(2) Abel群の層の圏

Def:
G: 群
M: Abel群

MがG-加群であるとは、MにGによる左作用が定まり、分配法則を満たすことである。すなわち、写像

G × M → M; (g, m) →gm

が存在して、以下を満たすことである。

(1) 1_G m = m （1_G: Gの単位元, ∀m∈M）
(2) (gh)m = g(hm) （∀g, h∈G, ∀m∈M）
(3) g(m + n) = gm + gn （∀g∈G, ∀m, n∈M）

Def:
G: 群
M, N: G-加群

写像φ: M → NがG-加群の準同型であるとは、φがAbel群の準同型で、G-線形となることである。すなわち、

(1) φ(m_1 + m_2) = φ(m_1) + φ(m_2) （∀m_1, m_2∈M）
(2) φ(gm) = gφ(m) （∀g∈G, ∀m∈M）

Def:
G: 群

(G-Mod)で、G-加群の圏を表す。

Ob(G-Mod) = {G-加群}

M, N∈Ob(G-Mod)に対して、

Hom_(G-Mod)(M, N) = {φ: M → N | G-加群の準同型}。

混同の恐れがなければ、Hom_(G-Mod)(M, N)は、単にHom(M, N)と書く。

Prop:
G: 群
M, N: G-加群

Hom(M, N)には、以下のようにしてAbel群の構造が入る。

(1) f, g∈Hom(M, N)に対して、(f + g)(m) := f(m) + g(m) （∀m∈M）
(2) 0(m) := 0 （∀m∈M）
(3) f∈Hom(M, N)に対して、(-f)(m) := -f(m) （∀m∈M）

Prop:
0だけからなる群が、(G-Mod)の零対象である。

x = v₀t + (at²)/2

z̅

sin⁵⁄₄

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