Def:
Aを加法圏とする。
AがAbel圏であるとは、以下の性質を満たすことである:

(A5) 任意の対象M, N∈Ob(A)に対する任意の射f∈Hom(M, N)に対して、以下の(A5-1), (A5-2)の性質を満たす対象Ker(f)とCoker(f)が存在する:

(A5-1)
対象Ker(f)∈Ob(A)と射i∈Hom(Ker(f), M)で、f○i = 0であり、
任意の対象K∈Ob(A)と射k∈Hom(K, M)で、f○k = 0を満たすものに対して、
射j∈Hom(K, Ker(f))が一意的に存在して、

k = i○j

を満たす。このKer(f)を"fの核"という。

(A5-2)
対象Coker(f)と、射p∈Hom(N, Coker(f))で、p○f = 0であり、
任意の対象Q∈Ob(A)と、射q∈Hom(N, Q)でq○f = 0となるものに対して、
射r∈Hom(Coker(f), Q)が一意的に存在して、

r○p = q

を満たす。このCoker(f)を"fの余核"と言う。


(A6)
任意の対象M, N∈Ob(A)と、任意の射f∈Hom(M, N)に対して、Coim(f)とIm(f)は同型。