(修正７)
【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。
(1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
a(1/a)=1なので、(3)を考える。(3)はx,yを有理数とすると成立しない。
(4)の解は(3)の解のa^{1/(n-1)}倍となるので、(4)もx,yを有理数とすると成立しない。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。

【補足】(3)のx,y,zが無理数で整数比となる場合は、n^{1/(n-1)}=wとおくと、
(sw)^n+(tw)^n=(sw+w)^n、s^n+t^n=(s+1)^n…(5)となる。(s,tは有理数)
(4)は(an)^{1/(n-1)}=1のとき、x,yを有理数とすると成立しないので、(5)も成立しない。