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> (3)のx,yが共に有理数とならないので、(4)のx,yも共に有理数となりません。

ここの理由がわかりません。

(4)の解は(3)の解のa^{1/(n-1)}倍となる。ので、
(3)の解のx,yが共に有理数とならないならば、
(4)の解も、共に有理数となりません。