なぜ数学は「集合指向」になったのか？

高校までの数学は、具体的な数とか関数とか方程式とかを計算するのがメインであり、集合論は明示的には使われない（もちろん全く使わないわけではない）。
一方、大学の数学では、対象を「集合とその上の付加構造の同型類」であると見なすことが一般的である。
この2つには、数学を表現する流儀としては、相当なギャップがあるように思われる。

なぜ、数学はこのような方向に進んだのだろうか？

>>1
馬鹿か、数学から高校数学に範囲を狭めたんだよ

「2つの整数m, nに最大公約数が存在する」というのは、m, nの性質というより整数全体の集合Zの性質

中間値の定理は関数fの性質というより、実数全体の集合Rの性質


ごく初等的な結果でも、集合の元全体の構造を考えることが有効。

>>1
自然だからに決まってンじやん

>>4
じゃあ何故カントールとか以前には集合を考えなかったの？

学問の世界全体で構造主義が流行ったからですよ
その流れにのっかってブルバギが色々仕事をして、それが上手くいったからみんなそれを使ってるだけです

現代では集合指向からさらに抽象化して、射指向・普遍性指向とかにはなったのだろうか

現代数学的には色々なものをできるだけ静的に扱いたい
特に「性質」を静的に扱おうとすると「性質を持つものの全体」を考えるのが自然で、これがまさに集合と呼ばれるもの
もちろん集合によらずに数学を基礎づけることは可能だろうが、まともなレベルで厳密で、解析学やらを展開できる程度の豊かさを持ってるものってなるとなかなか大変

> 2つの整数m, nに最大公約数が存在する
こんなのに集合いらねえよ
数学の歴史で集合なんて出てきたの最近だぜ
それまでは数論も全部集合なしでやってた

>>9
「集合がなければ証明できない」とは誰も書いてないが

>>10
で、集合を使うことで証明が何か改善されるのか？お？
不要な概念を持ち出すな

>>6
初期のブルバギの時代に構造主義流行ってたか？
黎明期くらいじゃないか

>>3
応物出身の素人が初等整数論の問題を解いたと主張してるが集合論を知らないことで見事にはまっている

位相やらないと関数の連続性の証明ができない

具体的な行列の作用とかだけ調べるならともかく、代数系は集合として定式化しないと、剰余群とかは出てこないんじゃないかな

もちろん普遍性で定義できるから、原理的には集合として構成する必要はないが。そういう発想・手法が生じにくいという意味。

数学は対象に不変量を対応させる学問だからね
何で不変なのかという基準が構造

>>1
0、1とは何か？0+1は何か？

岡潔に聞け

>>15
米田の補題の意義がいまいち腑に落ちない。

>>16
エルランゲンプログラムの正嫡がG構造なの？。

なんでもかんでもは良しとは思わないが、素朴集合論は自然じゃなかろうか？

実際、初等教育では数の概念より先におはじき算数セットでしょう？アプリオリな数学なのだと、少なくとも文科省は認識している

集合論の実用性は広く承知されているし、仮に実用性を否定されたとして、数学哲学的にはやはりアプリオリなものを基礎に据えるべきでしょう

古代ギリシャの幾何学というのは公理主義的な学問だった。
時代を経ると様々な数学の分野が発展したわけだけれども、公理主義的な構成を理想とするという理念はずっとあった。
数学の全分野を公理主義的に構成するためには、集合論を基礎とするのが一番都合が良かった。

Mclaneの"Homology"などで、圏論的な定式化が浸透してきた
先週の関数論の研究会ではLevi問題を圏論風に定式化している人がいた

いまごろ集合指向て何言ってんだろ？

一般に集合論では、ある一つの集合を定義しようとする時、特に内包的に
定義しようとする時、その要素が何らかの形で規則性を持ったものを定義し
ようとする。特に要素数の大きい集合の場合は特にそうである。

ここである集合Ａを定義したとする。
A={x|x はある人ＰがLOTO6(数字選択式宝籤)を購入する為に適当に考えた数字}
={7,15,25,26,31,34}

ここである集合Ｂを定義したとする。
B={x|x はある人Ｐが６回ルーレットを回した時に出た数字}
={7,15,25,26,31,34}

Ａ・Ｂの６つの数字には規則性は無い。そして、Ａ・Ｂの内包的表現の
説明(理由付け)は異なっているが、６つの要素を外延的に見れば同じである。

集合論的に見ればこのＡ・Ｂは集合であり、この２つの集合は同一の
集合と言えるのだな。

>>25
規則的な内包的表現で定義した集合だと、例えば以下のようなもの。
C={x|xは20以下の正整数で３の倍数}={3,6,9,12,15,18}

実数の連続性と位相構造概念は独立している、位相が無くても説明できる
ただ実数を位相構造的に分析して、連続性と同値な性質があることが分かった
コンパクト性、完備性、連結性、などなど
コンパクト性と完備性の関係は、距離空間の元で一つの命題にまとめられる
コンパクト距離空間の必要十分条件は、全有界かつ完備であること