杉浦光夫著『解析入門II』

f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0

「ただし (1, 0), (-1, 0) の二点では、そのどんな小さな ε 近傍をとっても、一つの x に対し (1.5) をみたす y が二つこの近傍の中に含まれるため、
この近傍全体で(2.5)をみたす y を x の一価関数として定めることはできない。」

などと書いています。

ナンセンスことを書いていますね。 x = 1 を含むような開集合上では、そもそも陰関数を定義することができません。なぜなら、 x = 1 の右側の点 x_0 に
対して、 f(x_0, y) = 0 を満たすような y は存在しないからです。

杉浦さんの書き方だと、まるで陰関数自体は定義できるが一意的には決められないと言っているかのようです。

そもそも陰関数自体を定義できないわけですから、トンチンカンなことを書いていますね。

こういう非常にベーシックなところすら理解していないんですね。