超限帰納法を使った整列可能定理がくっそ簡潔だから、お前らにも教えたる。

Xを集合とする。
第αステップ目について考える。
任意のβ＜αステップ目についてf(β)∈Xを定義できているとする。
もし、今まで定義してきたf(β)の集まり{f(β)|β＜α}がまだXの全てを覆えていないならば、X＼{f(β)|β＜α}≠φなので、
存在する元yを1つ取り、f(α)=yとする。
明らかに、f(α)は今まで定義してきたf(β)とは異なる。(★)
{f(β)|β＜α}=Xならば、Xの元を網羅出来たということなので、f(α)=φとでも置く。
以上から、超限帰納法により任意のステップ(順序数)に対してfの値が定義できた。
もし、永久にfでXの元を網羅できないならば、★を加味すると、順序数全体のクラスからXに単射が定まっているということになるが、
順序数全体は集合ではないのでこれは矛盾している。
よって、どこかのステップでXの元を網羅できる。
γをその最小ステップとすると、fのγへの制限写像は順序数γからXへの単射かつ全射(第γステップでXの元を網羅してる)


もっと簡単に言えば、
　Xの元を任意に順に取って集めていく。今まで取ったものは戻さず取り除いていく。
　いつかはXの元を全部取りきる。順に取ったものの系列が順序数を添え字とした漏れもダブりもない点列となっている。
ってこと。