たし算(加法)とは何か

たし算とはいったい何なのでしょうか…
加法の定義が知りたいです。

順序、量
1
自然数
整数
有理数
実数
複素数

有限なものを計算するだけならトランジスタから作れるよ。

加法は寝て待て

>>2
たし算の適用範囲ですね。複素数までカバーできるのは不思議な性質です。
なぜそんなに幅広く適用できるのか謎が深まります…

>>3
2進数の二項演算は順序対の組み合わせが少ないのでトランジスタも少なくて済むのですね。
しかしなぜ1と1で10にするのかその理由が不十分だと思いませんか？全て答えを0にすることもできるのに、そうではない。なぜ1+1=10でなければ不都合なのか？

>>4
一理ある

>>4
禍福は糾える縄の如し

>>3
アダー

>>5
覚えてないけど、検索すれば１０で割る回路とかも出てくると思う。
この手法で問題なのは、たし算からできる定理の証明には使えないところ。
だから、ペアノの公理のようなものが必要になってくる。

詰めてくと、群・環・体、ZFCだけじゃなく、いろんな公理が出てきて、あまり良い本
が見当たりません。それが数学かもしれませんが、東京大学出版会の解析入門とかだと
１７個の公理からスタートです。今の個人的な意見としては、いろんな数式について
モンテカルロ法のようにどんな公理がいいか？を探したりする手法を聞かれるだけで、
よくわからなくなるのが現実かもしれません。一応苦し紛れの答えとしては、
チューリング完全という概念は、まだ良くできているというのを計算機科学の本から
数学板へ輸出します。

>>8
>>9
色々知らない言葉が出てきたのでしばらく勉強してみます＿〆(。。)

>>4
言われたー

>>8
ペアノの公理でなんの前触れもなく登場する単射の関数φ、これがたし算の素だと思うのですが、何しろなんの前触れもないので加法の説明にはならない気がします。

「気がする」なんて気のせいに過ぎん
まともに勉強するんだな

数学的帰納法というより数学板に一昨日来やがれの方の方ですか？。
>>12

さっき前触れなく〜って書いたのは誤りでした(単射やら1≠φ(x)やらの定義はありました)。

しかし、例えばφ(1)=20210516にすることだってできるのは説明不足なのでは？
普通は1+1=2でしょう？ペアノの公理はその理由を説明していません

>>13
「まともに勉強する」とは如何なるか

>>14
方の方ってなんぞや。あと多分その方の方ではないです

「まともに勉強する」が分からんとどうしようも無いわな
運よく「まともに勉強」できたら分かるだろ
全て運で決まるのは世の常だ

>>9
加算器はチューリング完全なのですね。

>>16
加法の定義とは関係ないでしょう。もはや批判したいだけでは…？
1+1=2は運で求めるものではないはずです

何すり替えてんねん

＞例えばφ(1)=20210516にすることだってできる
然り
何も問題ない

>>18
すんませーん

>>19
抽象代数のイヤなところです。

私が言いたいのは、ペアノの公理はたし算の定義を示すものではないということだけです

＞ペアノの公理はたし算の定義を示すものではない

まずは自ら定義を示さなければ
話にならない

>>21
それが分かんないからこのスレ立てたんです…

ペアノの公理では1+1≠2が許されてしまうので1+1=2でなくてはならないことと矛盾してるねってことです

2はただの記号なんじゃないの

>>22
そういう話は宗教かもしれません。目の前に映ってる画面はランダムな映像では
ありません。近くの点同士が同じ色です。だから聖書とかがあってるんですよ。

1+1=2でなくてはならないことはないが
1+1=2でなくてはならないとしたいなら
1+1=2と定義すればいいだけだろう

非負整数の加法の定義(例)

定義1. 十進整数
　以下で定義される記号列を十進整数とする。
　定義1(1) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 は十進整数である
　定義1(2) αが十進整数のとき、1α, 2α, 3α, 4α, 5α, 6α, 7α, 8α, 9α は十進整数である

定義2. 空列
　記号を含まない記号列を空列とし、λで表す。
　αが十進整数のときλαはαと等しい。

定義3. 後続者
　十進整数 x について、以下の定義で表されるσ(x)を後続者とする。ここでαは十進整数または空列λである。
　定義3(1)〜(5) σ(α0)=α1, σ(α1)=α2, σ(α2)=α3, σ(α3)=α4, σ(α4)=α5
　定義3(6)〜(11) σ(α5)=α6, σ(α6)=α7, σ(α7)=α8, σ(α8)=α9, σ(α9)=σ(α)0, σ(λ)=1

定義4. 和、加法
　十進整数 x, y について、以下の定義で表される x + y を x と y の和とし、和をとる演算を加法とする。
　定義4(1) x + 0 = x
　定義4(2) x + σ(y) = σ(x + y)

加法の例
　1 + 1 = 1 + λ1 = 1 +σ(λ0) = 1 +σ(0) = σ(1 + 0) = σ(1) = σ(λ1) = λ2 = 2

>>23
確かにそうですよね、他の存在がたった一つであることを表す記号です。
それが 1+1 = 0.5+1.5 = 6÷3 = √4 = 2 を満たすのはとても不思議です…

>>24
？？？？

>>25
さっきの返信には誤りがありました、済みません。1+1≠2ではなくφ(1)≠2でした。つまり1+1の値は絶対に2なのです。

でもそれは2の定義ではなく、加法の結果の一つでしかありません。加法一般に定義があり、それに則った上での1+1=2なのではないでしょうか。

>>26
この定義は見事にチューリング完全のようです！
ただ、これは順序数です。基数においても成り立つことはどう示せばいいのでしょうか…

＞1+1の値は絶対に2なのです。

頭が固い
数学には向いていないよ

記号は定義するまでただの記号だからなぁ
+という記号も定義するまでなんの意味もない記号

>>20
たし算の定義も示すものさ

>>28
Z/2Zの世界に行ったら、社会人やっていけないレベル。

>>27
有限な順序数は基数である

0と1しかない世界は自分しかいないから社会がないのでは？
逆に自分だけで社会だから自動的に社会人？

文字列の要素の種類が何種類でも(たとえ一種類でも)文字列の長さや文字列の構成要素を定義しなおすことで同じ世界を再現できるのでは

Z/2Zの要素をいくつでも組み合わせた世界か
(Z/2Z)^N の世界だな、2^N = R 実数世界じゃん

ちょっと何言ってるか

>>28
そうかもしれません

>>29
記号の定義はこの際関係ないんですよ正直。

記号の見た目は重要じゃないですね、◦でもなんでもいいです。
記号の使用方法も、まあ判りやすさは重視しますがそこまで重要ではないですね、1 1 +でも問題ないです。
記号の意味はとても重要です。文章でも、文字と文法だけ示されても、意味が分からなければ意味が分かりません。

私は+の使用方法じゃなくて「足す」の意味が気になっているのです。

>>30
例えば π+1 はどうでしょう？

π+φ(0) = φ(π+0) = φ(π)

φ(π)とはなんでしょうか？φ(x)のxは自然数なのでφ(π)の値はありません。
でも π+1=4.14159… です。

φ(π)の値は無いが、π+1の値はある。これ如何に

>>31
その世界では1+1の値は絶対に0でなくてはならないんですよね？

>>32
そうなの！？って思って調べたら、ノイマンさんが巧妙な手段で基数が順番になる集合を順序数としていたのですね。
なるほど、確かにすごい！基数の加法が順序数の加法で表されています。

でもノイマンさんはなぜ1の次を2にしたのでしょうか。。基数の集合を整列集合たらしめる二項関係は如何にして導かれたか？

>>33
社会が何かって問題ですね、加法の定義とは関係ないです

>>34
コンパイラみたいですね

何を期待してるのかねえ

イチャモンで自己満足では？

気づいてしまった…！
みんな定理と定義がごっちゃになっているのだ。定理を示せばその対象を特定できるのでそれが定義のように思えてしまうという罠。

「a^2+b^2=c^2を満たす三角形を直角三角形という」は定義ではなく、「直角三角形はa^2+b^2=c^2を満たす」という定理で、本当の定義は「一つの角が直角の三角形を直角三角形という」である

同値ならどっちを定義にしてもいい

今頃って感じ

足し算を　f(t) = e^at + e^bt
の関数の微分で定義

a+b = ∂t f(t) t = 0 を代入で定義したらどうなんか

利点は何？