【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおくと、x^n+y^n=(x+r)^n…(1)となる。
(1)はr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
(3)はyを有理数とすると、xは無理数となるので、x,yは整数比とならない。
(4)の解は(3)の解のa^{1/(n-1)}倍となる。
よって、(4)のx、(an)^{1/(n-1)}が有理数の場合でも、x,yは整数比とならない。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
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【定理】n=3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^3+y^3=z^3を、z=x+rとおくと、x^3+y^3=(x+r)^3…(1)となる。
(1)はr^2{(y/r)^3-1}=a3{x^2+rx}(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r^2=3のとき、x^3+y^3=(x+√3)^3…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^2=a3のとき、x^3+y^3=(x+√(a3))^3…(4)となる。
(3)はyを有理数とすると、xは無理数となるので、x,yは整数比とならない。
(4)の解は(3)の解の√a倍となる。
よって、(4)のx、√(a3)が有理数の場合でも、x,yは整数比とならない。
∴n=3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
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【定理】n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおくと、x^2+y^2=(x+r)^2…(1)となる。
(1)はr{(y/r)^2-1}=a2{x}(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(3)はyを有理数とすると、xは有理数となるので、x,yは整数比となる。
(4)の解は(3)の解のa倍となる。
よって、(4)のx、a2が有理数の場合でも、x,yは整数比となる。
∴n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持つ。