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従って，z={x^n+y^n}^(1/n)を満たすので自明であるとして切り捨ててよいx^n+y^n=z^nの解などあり得ません。

x^n+y^n=({x^n+y^n}^(1/n))^nは、計算すると、x^n+y^n=x^n+y^nとなります。
（これは、当然成り立つ式です。)
x^n+y^n=z^nは、計算すると、x^n+y^n=z^nのままです。
(これは、成り立つかどうかは、不明な式です）