>>779
つづき
P2
上記の標準的な「乗法的部分空間」と「生成元」と一致する
大域的 な「乗法的部分空間」と「生成元」
は 存在しない!
が、仮に存在する(!!) と仮定しよう。すると、Eを「大域的乗法的部分空間」
で 割る ことによって得られる同種写像を E → E* と書くと、各 bad な有限
素点においてそれぞれの -parameter は次のような関係式を満たす:
e = GE*
parameter たちから定まる 数論的次数 ∈ R を、log(qE), log(qE*) と書くと、上の関係式は次のようになる：
l.log(qE) = log(9E*) ER

即ち、楕円曲線 E の高さ hte を 上から抑えることができたので、(適切な仮定の下では)このような「大域的乗法的部分空間」を持つ楕円曲線 E の同型類は 有限個 しかないことを帰結することができる。

上のような議論はいずれ「大域的乗法的部分空間」等を持つとは限らない一般の楕円曲線 に 拡張したい のだが、その前に、「持つ」という(非現実的な!)仮定の下で、上の議論とは少し違うアプローチを検討したい。

そのためにも、Hodge-Arakelov 理論 の 基本定理 =古典的な ガウス積分「動径系の標準的な山の体積」 = Swe-lar = \n = /「偏角系の周期」の一種の「離散的多項式版」を、先ほどの「持つ」という仮定の下で「復習」する必要がある。

P5
(ただし、「log(g)」は g-parameterによって定まる数論的因子)のような 不等式が帰結される!ただし、肝心な 大域的 な 乗法的部分空間 と 生成元 は実際には 存在しない ため、この議論は直ちに適用することはできない。しかし今度は次のような 突拍子もない(!) ことを考えたくなる。もし例えば、

という対応によって、数体 F の 自己同型 を定義することができたらどうなるか。「自己同型」は 数論的線束の次数 を必ず 保つ わけだから、上記対応の右辺 の次数の絶対値は 左辺 の(平均的!)次数の絶対値と比べて「小さい」ため、同じように、

6. degarith (log(q)) = hte < constant

のような 不等式が帰結される!もちろん、そのような数体の自己同型は実際には 存在しない!! しかし左辺の「{q}」と右辺の「」を、それぞれ別々の「(通常型の)環・スキーム論」=「数論的正則構造」に所属するものと見做し、所望の対応=「HA 理論をディオファントス幾何に応用する上での障害」

つづく