以下の問題で初歩的なミスをしていて、出てきた共通接線の式が変です。
ご教授ご指導ください。

【問題】
放物線C:y=x^2とD:y=-(x-p)^2+qの共通接線をすべて求めよ。
ただし任意のxに対してx^2>-(x-p)^2+qが成り立つものとする。

【解答】
2x^2-2px+p^2-q>0がxについての恒等式
⇔2x^2-2px+p^2-q=0が実数解を持たない
⇔p^2-2(p^2-q)<0
⇔p^2>2q…(1)
y=x^2の(a,a^2)における接線は
y=2ax-a^2…(2)
y=-(x-p)^2+qの(b,-(b-p)^2+q)における接線は
y+(b-p)^2-q=(-2b+2p)(x-b)
y=-2(b-p)x+2b^2-2pb-(b^2-2pb+p^2)
=-2(b-p)x+b^2-p^2…(3)
(2)と(3)が一致する条件は
a=p-bかつa^2=p^2-b^2=(p-b)(p+b)
したがって、
a≠0のときb=0かつa=p
a=0のときb=±p
よって求める共通接線は
y=2px-p^2(a≠0のとき)、ただしp,qが(1)を満たす場合に限る
y=0(a=0のとき)、ただしp,qが(1)を満たす場合に限る