(略証)
aa = A,　bb = B,　cc = C　とおく。題意より
　0 ≦ A ≦ B+C,　0 ≦ B ≦ C+A,　0 ≦ C ≦ A+B,

（a+b+c)(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3) - 4(a^6+b^6+c^6)
≧ (a^2+b^2+c^2)^3 - 4(a^6+b^6+c^6)　　　　(コーシー)
= (A+B+C)^3 - 4(A^3+B^3+C^3)
= 3A(B+C-A)^2 + 3B(C+A-B)^2 + 3C(A+B-C)^2 + 6(B+C-A)(C+A-B)(A+B-C)　　(*)
> 0,

(*) Ravi変換を利用するのが便利…

もし {B+C-A, C+A-B, A+B-C} のうちの2つ以上が0ならば、それらの和も0,
∴ ABC = 0,　abc = 0,
となり、題意に反する。