あるお菓子には、K種のおまけのうち１つが等確率で付属しており、任意の異なるr種類（K≧r)のおまけを集める事を考える。お菓子を１ずつ買っていくとき、n個目に買ったお菓子のおまけで、初めてr種類が揃う確率をp(n,r)とする。

（１）p(n,r)＝Σ[i=1,n+1-r] C_i・p(n-i,r-1) と表すとき、C_iをK,r,iの式で表せ。
（２）p(n,r)＝A・p(n-1,r)＋B・p(n-1,r-1) と表すとき、A,BをK,rの式で表せ。
（３）θの多項式 P(θ,r）を P(θ,r)＝Σ[n=0,∞]p(n,r)θ^nと定めるとき、（K-r+1)θ・P(θ,r)＝（K-r+1)θ・P(θ,r-1)が成り立つ事を示せ。
（４）r種類揃うために購入しなければならないお菓子の個数の期待値がP’(1,r)であることを示せ。(P’はθによるPの微分）
（５）K=r=7のとき おまけを7種類そろえるために購入しなければならないお菓子の個数の期待値を求めよ