4.
　floor(x) = [x],
　x - [x] = {x}
とおく。
10^(m+2) = M とおき　[0,1) をM等分する。
さらに　log_10(p) = P　とおく。
　0, {P}, {2P}, …, {MP}　のM+1個のうち、2つ以上が同じ小区間にある。(←鳩ノ巣)
　0 < {iP} - {jP} < 1/M　　　(i≠j)
　0 < {(i-j)P} < 1/M,
i>j のときは　n = i-j　とする。
i<j のときは
　-1/M < {jP} - {iP} = -k < 0
　0 < 1 - k[1/k] < 1/M,
　n = (j-i)[1/k]　とする。
(この辺、われながら面倒くさい。)　そうすると
　[nP] < nP < [nP] + 1/M,
　10^[nP] < p^n < 10^[nP] * 10^(1/M)
　　　= 10^[nP] * e^(2.3025851/M)
　　　< 10^[nP] * (1 + 10/M)
　　　= 10^[nP] * (1 + 1/10^(m+1))
∴　p^n を10進法で表わしたとき、1のあとに0が連続してm個以上並ぶ。