Nを正の整数、pは素因数とする。
N=p^k・M,gcd(p,M)=1と書ける。
このとき、k=v_p(N),M=N'と書くことにする。

mn=Lとかく、Lの素因数pを任意にとる。
v_p(L)=u,i=v_p(d),j=v_p(e),L"=L'/(d'e')とおくと
φ(d)φ(e)x^{L/lcm(d,e)}=φ(d')φ(e')φ(p^i)φ(p^j)x^(p^{u-max(i,j)}・L")

φ(d')φ(e')の値ごとに、φ(p^i)φ(p^j)x^(p^{u-max(i,j)}・L")の和をとり、
mai(i,j)=hの値でまとめると
x^(p^u・L")+Σ_(h=1)^(h=u){p^(2h)-p^(2h-2)}x^(p^(u-h)・L")
=Σ_(h=0)^(h=u-1) p^(2h){x^(p^(u-h)・L")-x^(p^(u-h-1)・L")}+p^u・x^(L")

>>163の命題※より、x^(p^(u-h)・L")-x^(p^(u-h-1)・L")はp^(u-h)で割り切れる
からp^(2h){x^(p^(u-h)・L")-x^(p^(u-h-1)・L")}はp^(u+h)で割り切れる。
とくに、p^uで割り切れる。

したがって、Σ_(h=0)^(h=u-1) p^(2h){x^(p^(u-h)・L")-x^(p^(u-h-1)・L")}+p^u・x^(L")
はp^uで割り切れる。

以上より、問題の式もp^uで割り切れることがいえるので、L=mnで割り切れることが
いえたことになる。