abc-1が平方数となるような正の整数a,b,cが無数に存在することを示せ

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mを正の整数とする。
a=2m^2+2m+1,b=2m^2-2m+1,c=16m^8-4m^4+1とおくと
明らかにa,b,c＞0だからa,b,cは正の整数である。
このとき、abc-1=64m^12={8m^6}^2だから」、abc-1が平方数となる。


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ab+1とbc+1とca+1がいずれも平方数になるような正の整数a,b,cが無数に存在することを示せ

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nを正の整数とする。
x(1)=7,y(1)=4,x(n+1)=2x(n)+3y(n)、y(n+1)=x(n)+2y(n)とおくと
だからx(n),y(n)はともに正の整数となる。
そして{x(n)}^2 -3{y(n)}^2=1となることが帰納的にいえる。
以後簡単のためx(n)=x,y(n)=yと書くことにする。
ここでx^2 -4y^2=x^2 -3y^2 -y^2=1-y^2＜0より、x＜2yがいえる。

ここでa=2y-x,b=2y,c=2y+xとおくと、a,b,c＞0だからa,b,cは正の整数である。

ab+1=4y^2- 2xy+1=(3y^2 +1)-2xy+y^2=x^2 -2xy+y^2=(x-y)^2
bc+1=4y^2 +2xy+1=(3y^2 +1)+2xy+y^2=x^2 +2xy+y^2=(x+y)^2
ca+1=4y^2 -x^2 +1=(3y^2 +1)-x^2+y^2=x^2 -x^2 +y^2=y^2

よりab+1,bc+1,ca+1はいずれも平方数となる。

以上より、題意が言えた。