π^{3^e} < π^{e^3},
　3^{π^e} < 3^{e^π},
　e^{π^3} < e^{3^π},
については、指数を比較して
　3^e < e^3,　π^e < e^π,　π^3 < 3^π,
と同値ですが、これは
　π^{1/π} < 3^{1/3} < e^{1/e},
から直ちに出ますね。

残った
　π^{e^3} < 3^{π^e},　3^{e^π} < e^{π^3},
を
　π^3 < 3^π,　3^e < e^3,　　　(a>0, b>0)
から出そうとすれば、指数の比について
　(e^3)/3 < π^{e-1},　e^{π-1} < (π^3)/3,
が必要になりますね。　この辺りが本問のキモ？