2021年9月号

■出題１
(1) 楕円はその中心に関して点対称であり、180°回しても同じ。
中心を共有する2つの楕円E, E'の交点も点対称に配置する。
本題では交点は凸四角形をなすが、点対称なので対辺は平行となる。
∴ 凸四角形は平行四辺形に限る。

このあと、平行四辺形の4頂点を通る楕円の中心が 対角線の交点に
固定されることを示す。(略)

(2) は数式に頼ってしまった。
二本の軸の傾きが同じ2つの楕円E, E'を考える。
二本の軸は直交するから、x軸・y軸に平行としてよい。2つの楕円は
　ax^2 + cy^2 + dx + fy + g = 0　　　　　(ac>0)　…　(E)
　a'x^2 + c'y^2 + d'x + f'y + g' = 0,　　(a'c'>0)　…　(E')
と表わされ、xyの項はない。
もし a/a' = c/c' ならば、交点は直線上に並ぶことになり、
4点が凸四角形をなすことと矛盾する。∴　a/a' ≠ c/c',
(E), (E') から鶴亀算により
　x^2 + y^2 + d"x + f"y + g" = 0,　　　…　(E")
∴ 凸四角形は円に内接する。言い換えれば、対角の和が180°である。

凸四角形の4頂点を通る楕円をE、その二本の軸をx軸・y軸とすれば
　ax^2 + cy^2 + g = 0,　　　…　(E)
同じ4点を通る楕円E"は一般に
　(ax^2 + cy^2 + g) - L(x^2 + y^2 + d"x + f"y + g") = 0,
と表わされ、xyの項は現われない。
∴ 楕円E" の二本の軸の傾きは、Eのそれと同じに固定される。