書くか

以下全集合はZの中で考える
集合Aと整数nに対して
A+n := { a+n | a∈A }
とかくとする

定理
0≦a<b<c, Z=∪[ i∈S | { a+i, b+i, c+i }が非交和とする
a,b,cの3進展開が同一の数にならない最小の桁が3^iの桁とする
このときa,b,cの3進展開の3^iの位は全て相異なる

∵) iについての帰納法
あるi0>0においてi<i0で正しいとしてi=i0とする
a≡b≡c≡r (mod 3) (r∈[0,2])とする
a'=[a/3],b'=[b/3],c'=[c/3],S'={ (i+r)/3 | i∈S,r+i≡0(mod 3)}とおけばZ=∪[i∈S']{a'+i,b'+i,c'+i}は非交和となるから帰納法の仮定から主張が従う
i=0の時を考える
Z=∪[ i∈S ] { a+i, b+i, c+i }が非交和とする
0=a,0∈Sとしてよい
Sn = {a+i,b+i,c+i | i ∈ [ cn, cn + c - 1 ] ∩ S }
とおき、さらに
An=(Sn-cn)∩[0,c)、Bn=(Sn-cn-c)∩[0,c)
とおく
このときあるk≧0とl>0で
Bk=[0,c)＼A(k+1),
B(k+1)=[0,c)＼A(k+2)
...
B(k+l-1-1)=[0,c)＼A(k+l)
A(k+l)=Ak
となるものが取れる
SをS-ckに取り替えることによりk=0としてよい
T=∪[0≦n<l]Sn、t=clとおく
Tの最大元はc(l-1)+c-1=t-1以下である
f(x)=x^a+x^b+x^c、g(x)=Σ[i∈T]x^iとおく
f(x)g(x)
=Σ[i∈T]x^i
=Σ[0≦i<t]x^i - Σ[i∈[0,c)＼A0]x^i +Σ[i∈B(l-1)]x^(i+t)
=Σ[0≦i<t]x^i + Σ[i∈B(l-1)]x^i(x^t-1)
≡1+x+‥+x^(t-1) (mod x^t-1)
である
特にf(x)g(x)は1+x+‥+x^(t-1)で割り切れる
またg(x)の次数はt-1以下である
b+cが3の倍数でないとする
このときf(x)の根は1の冪根ではない
実際ζが1の原始m乗根とする時1+ζ^b+ζ^cが0になるのはζ^b、ζ^cが相異なる1の原始3乗根である時に限られる
よってb/(b,m)=c/(c,m)=3である
さらにb/(b,m)+c/(c,m)≡0(mod 3)とならねはならずb,cについての仮定に反する
よってg(x)は1+x+‥+x^(t-1)の根を全て根とするからg(x)=1+x+‥+x^(t-1)で割り切れる
さらにg(x)の次数はt-1以下であったからg(x)=1+x+‥+x^(t-1)である
特に0,b-a∈T⊂Sとなるがbが{a,b,c}+0と{a,b,c}+b-aの両方に含まれることになり仮定に反する