微分形式の積分について

微分形式とは何か

微分形式である

積分形式ってないの？

接ベクトル空間の双対であること、積分がどう関係するの？

まずRnで考えて理解するといいよ

閉区間I = [a, b]を

a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b

と分割し、

�凅_i := x_i - x_(i-1)
x'_i∈[x_(i-1), x_i]

として、

S = S(n, ��, x') = Σ[i=1 to n]f(x'_i)�凅_i

とおく。
Sのn→∞、max[i]�凅_i → 0となる極限が、分割およびx'_iの取り方に依存せずに存在すれば、それを

∫_I f(x) dx

というのだった。

微小な変化�凅に対して、fの変化量は

f(x + �凅) - f(x)

で表される。しかしこれは、xとx + �凅の2点で決まる値である。微分積分の心としては、各点xに対して、xのみ（あるいはxの近傍にのみ）による量を定義して、それを操作してfの変化量を測りたいのである。たとえば、各時点における速度から、走行距離を計算できないか、という具合である。
そこで、fの微分係数を定義する。

A(x) = df/dx = lim[�凅 → 0](f(x + �凅) - f(x))/ �凅

fがなめらかであれば、xの十分小さな近傍では

f(x + �凅) と f(x) + A(x)�凅

はほとんど変わらない。より正確に言えば、

f(x + �凅) - f(x) - A(x)�凅 = o(|�凅|) （�凅 → 0）

つまり、�凅が0に近づくよりも十分早く、「f(x + �凅)」 と 「f(x) + A(x)�凅」は近づく。このことを記号で

df = A(x)dx

と書く。

xを固定する。
なめらかな関数fと微小な変化量�凅を与えるごとに、fの変化量を与える写像を考える。つまり

(f, �凅) → f(x + �凅) - f(x)

我々は、これの微分積分バージョンを考える。つまり

(f, �凅) → A(x)�凅 = df/dx (x) �凅

である。これはもはや�凅によらないので、

f → A(x) = df/dx (x)

を考える。fに対して、A(x)を対応させる写像を接ベクトルという。

微分をとる写像を「接ベクトル」というのは、たとえば曲線のパラメータ表示を微分したものが、各点における接線の方向ベクトルになることの一般化だと思えば、納得できると思う。

ここで

x = g(t)

などと置いてみて、xをtの関数とみなすと

df/dt = dx/dt df/dx = dx/dt A(x)

つまり、接ベクトルはxの変数変換によって、定数倍の違いがある。だから、

d/dx (x): f → A(x) = df/dx

の定数倍を

a d/dx(x)(f) = a df/dx (x) = a A(x)

で定義して、{d/dx (x)}で貼られるベクトル全体を考える。これをxにおける接ベクトルといい、その元を接ベクトルということにする。

接ベクトル空間から接ベクトル空間への線型写像を考えることができる。それはaを実数として

d/dx (x) → a d/dx (x)

という形である。すでに見たようにこの線型写像は、dx/dt = aである変数変換x = g(t)によって得られる。つまり、

a d/dx (x) = d/dt (t)。

もちろん、このようなgは一意ではない。

さて、

df/dx (x) = A(x)

を

df = A(x) dx

と書くのだった。
そして、接ベクトル空間の間の線型写像

d/dx (x) → a d/dx (x)

は、

dx/dt = a

を意味した。つまり、

dx = a dt

である。

接ベクトル空間の線型写像

A: d/dx (x) → a d/dx (x) = d/dt

を考えると、接ベクトル空間の双対空間の写像

f(・) → f(A(・))

が得られる。線型性からこれは

f(・) → a f(・)

である。

d/dx (x)は接ベクトル空間の基底である。その双対基底とdxを対応させることで、{dx}で張られる空間は接ベクトル空間の双対空間と見なせる。

実際

d/dt = a d/dx

なら

dx = a dt

なので、変数変換とも整合している。

dfのI = [a, b]における積分は

∫_[a, b] df = f(b) - f(a)

となる。これは変数変換によらない。

df = A(x)dx

なら、

df/dx = A(x)であり、

∫_[a, b] df = ∫_[a, b] A(x)dx = f(b) - f(a)

である。これが微分積分学の基本定理である。

微分形式の変数変換は、重積分の変数変換に（符号の違いを無視して）一致しているので、こっちだけ覚えておけば計算はできる

だからもう、議論を逆にたどって、重積分を微分形式の計算規則だけを元に定義することも可能だと思う（もちろん積分する領域と関数は制限しないといけないが）んだけど、そういう教科書は無いの？

一変数のときとの一番大きな違いは、実用的な関数に限っても、不連続点の集合が無限になる（たとえば積分領域全体が2次元で、不連続点の集合は曲線など）ことがあるので、
その辺を議論するためには、結局測度を持ち出す必要が出てくるのか

R^(n+1)のベクトル

v_1, ..., v_n

が張る超平行2n面体の体積を表す公式ってある？

>>16
fをR^n全体で連続でサポートがコンパクトなものに限れば、
fのサポートは十分大きな[a_1, b_1] × ... × [a_n, b_n]に含まれるから、

∫_R^n f dx = ∫_[a_n, b_n] ... ∫_[a_1, b_1] f(x_1, ..., x_n) dx_1 ... dx_n。

積分順序も交換可能（Fubiniの定理）

>>18
行列式

>>20
行列式でどう表現するんですか？

n = 1の時点ですでに√出てくるんですけど

n = 1 て v_1 だけってことか
ベクトルの絶対値なら√ 使うだろな

>>15
なるほど
これを一般化すると

∫_D dω = ∫_∂D ω　（dωの積分は、境界でのωの積分）

になるのか

ただこれだと完全形式の積分の意味しかわからない

いや

>>24
同じだ同じ
たとえば、

ω = (xdy - ydx)/(x^2 + y^2)

は、原点をわーって含む領域で完全ではないけど、これはθ = arctan(y/x)とおけば、

ω = dθ

と思える
つまり、ωの経路に沿った積分を「原始関数」だとみなせば、完全じゃない微分形式も多価関数の微分だと思える

R → S^1
θ → (x, y) = (cosθ, sinθ)

の変数変換をすると、S^1上ではω = dfとなるfが存在しなかったのが、R上では

∫ dθ = θ1 - θ0

となるわけか

任意のω∈Ω^k(X)に対して、局所微分同相写像

π: E→X

が存在して、π*ωが完全になるか？

まずωが完全ならEとしてX自身と恒等写像を取ればいい

そもそもωに依存しないんじゃないか
局所微分同相写像

π: E → X

でH^i(E) = 0 (i > 0)となるものがあるか？
複素多様体ではどうか？

>>28 >>30
普遍被覆空間

Eにもπにも何の制限もないならE=pt、π=constでいいやん

あ、局所同相ね
失礼しました

>>31
微分構造保つ写像をとれる？

被覆なんやから当たり前やん

あ、ただ局所同相は問題ないけどいつでもホモロジーが消えるわけではないな

そうか
1次は消えるけど、高次は消えるとは限らないか

さらにその被覆をとる

ファインマンの経路積分は
ある種の無限次元多様体上で
微分形式を考える必要がある

>>38
普遍被覆でダメなら永遠にダメ

そもそも普遍被覆2回とっても１回目と変わらんからな