>>354
k=-1,1,3でない限り解は有限個あると思う（必要十分条件じゃないかと思うけど
この問題飽きてきたそこまでは証明しなかった）
証明：
n(n+1)(n+2)(n+k)+1 = b^2
式が簡単になるようにn=m-1, k=j+1 と置く
(m-1)m(m+1)(m+j)+1 = b^2
（計算がうざいからMathematica使った）
-j m - m^2 + j m^3 + m^4 = b^2 - 1
ここからの証明の仕組みは、両辺がなるべく相当するようなbを選んで
それでも両辺が等しくないと示す
(1)
b=m^2 + (j/2)*m + (-1/8*(4 + j^2) - 1)
b^2-1 = 5/4 + (3 j^2)/8 + j^4/64 - (3 j m)/2 - (j^3 m)/8 - 3 m^2 + j m^3 + m^4

(2)
b=m^2 + (j/2)*m + (-1/8*(4 + j^2))
b^2-1= -(3/4) + j^2/8 + j^4/64 - (j m)/2 - (j^3 m)/8 - m^2 + j m^3 + m^4

(3)
b=m^2 + (j/2)*m + (-1/8*(4 + j^2) + 1)
b^2-1=-(3/4) - j^2/8 + j^4/64 + (j m)/2 - (j^3 m)/8 + m^2 + j m^3 + m^4

これらを-j m - m^2 + j m^3 + m^4 (4)に比べる
(1)は次数が２の項の係数が(4)より小さいからmが十分大きければ(4)を下回る
同様に(3)は(4)を上回る
(1)より小さいb、または(3)より大きいbも同様に(4)と等しくなるには
mが十分小さい数でなければならない
残るは(2)、次数が1の項を比べると
-j/2 - j^3/8 = -j
でない限り解は有限個になる。これを解くとj=-2,0,2になる(k=-1,1,3)