【悲報】自然数は10個しかない

10進数は0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の10種類の符号を使用する数です。
全種類の符号の個数は10個(10進数)、つまり10個(10進数)になります

2進数は0,1の2種類の符号を使用する数です。
全種類の符号の個数は2個(10進数)、つまり10個(2進数)になります

16進数は0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,fの16種類の符号を使用する数です。
全種類の符号の個数は16個(10進数)、つまり10個(16進数)になります

60進数は0-59の60種類の符号を使用する数です。
全種類の符号の個数は60個(10進数)、つまり10個(60進数)になります

まとめるとX進数の符号の種類の数を数えると、必ず10個(X進数)になります
では全ての自然数を使って、自然数進数とでも呼ぶべきものを考えてみます。

自然数進数は「全ての自然数」種類の符号を使用する数です。
全種類の符号の個数は可算無限個(10進数)、つまり10個(自然数進数)になります
自然数は10個(自然数進数)しかない説明でした
いかがでしょうか。

ビップの方から来ました

これは言い換えると、全ての自然数は一桁の数字であらわすことができるかどうかが焦点となります
自然数の公理では、特に明言がないため自然数が全て一桁の数としても問題ないように見えます

全ての自然数が一桁の数字で表せるのなら、その場合2桁の数は自然数ではなく
10は全ての自然数より大きい超自然数となります

その自然数進法では10-1はどうなるん？

>>4
10-1は最後の自然数です。値としては1〜∞のどの値でも成立します

少し発想の転換が必要となるので、たとえ話をします

鶏はオスですか？と質問されたら？？？となりますよね。
鶏はオスの鶏とメスの鶏を含むものであって、鶏はオスですか？は質問として成立しないです
鶏={オスの鶏、メスの鶏}
オスの鶏はオスですか？ならyesになります。



自然数の場合は、最大値が2の自然数体系、最大値が3の自然数体系、最大値が4の自然数体系...という
無数の自然数体系が存在すると考えてください

このとき単に「自然数」と呼んだ場合は、それらを含んだ総称になります
自然数={最大値が2の自然数体系、最大値が3の自然数体系、最大値が4の自然数体系...}

「最大値が3の自然数体系」の10-1はなんですか？は簡単に解を出せますが、
自然数の10-1はなんですか？は質問として成立しないです

X進数というのは、2進数、3進数、4進数...と無限に大きい進数を作ることができます

自然数と同じ数のX進数を作成できるのであれば、>>1のように全ての自然数より大きい10が存在します
自然数と同じ数のX進数を作成できない(自然数のほうが大きい)なら、自然数より小さい無限を作り出せたことになります

どちらの結論でも面白いと思うんですけど、どっちなんでしょうね。それとも第三の道があるのか

反応はないけど、怒られるまでは続けていこうかな

・10は全ての自然数より大きい
これが正しいなら、10は自然数ではないことになります
超自然数でも何でもいいんですけど、自然数以外の何かです

それが何かを説明するために、負数と対比させます

自然数の公理系において、(0-1)は、解なしです。
同様に最後の自然数(10-1)に1を足した、((10-1)+1)は、解なしになります。

自然数の公理系には自然数しかないので、負数は存在できません
同様に自然数ではない10は存在できず、10に値する式の解は存在できません

(0-1)は、解なしというのが重要です

(0-1)という式・・存在する
(0-1)の解・・存在しない

自然数の世界の中に、負数である-1は存在しませんが
実質同等のものである(0-1)という式は存在できてしまいます。解はありませんが。

自然数の公理系の中には自然数しか存在しませんが、式という形式であれば自然数以外も存在できます

さらに結論をいうと、「10」は式です

１桁の数と2桁以上の数、私にはとても大きい違いがあると感じられるのですが、
そうでない人のほうが多いと思うので、それら違いを書いていきます。

�@
1桁の数は任意の符号、2桁以上は消えられた文字列であり変更できない

具体例として3進数を考えてみます
一般的な3進数 ={0,1,2,10,11,12,20,21....}
3進数パターンA={0,1,g,10,11,1g,g0,g1....}
3進数パターンB={5,c,h,c5,cc,ch,h5,hc....}

最初の３つは自由に文字を割り当てることができますが、
4つ目＝10以上は決められたルールに従った文字列が必要です。

明らかに違いがあるわけで、その影響がどこかに出ることは自然なことかなと思います

１さんが述べている、「１０」というのは
一般的な自然数の10個ではなく

最小の桁の数が初めて繰り上がった状態を表しています。

自然数は10個しかないという言葉は誤解を招きそうです

正確には、一般的なN進法において、
使用する記号の種類と、○○進法における「１０」という表現が
同じ数であるということです。

自然数進法、有限な数の位取り表記から
有限ではない数の位取り表記「１０」を目指すのは難しそうだけど

�@さんには頑張って新しい理論を生み出してほしいです。

1進数や0進数について考えてみては？

>>13
1進数は0しか現せる数がない
0進数は現せる数が一つもない

>>13-14
0進数、1進数については考えたことはあるんですが、新しい知見は見つかりませんでした。すみません

>>10-12
補足ありがとう。
タイトルについては、センセーショナルにしたかったので
わざと誤解を生むような表現になっています。すみません。
補足通りの意図になります。

新しい理論が希望ということであれば、先にそちらに行ってみましょうか
>>1の裏付けとなる理論です。もしかすると背理法の根拠になるかもしれませんが、ならないかもしれません

・公理A,Bによって構成される公理系{AB}の大きさは、A,Bの積であるA∩Bである
・公理系{AB}を扱うことができる人は当然、公理系{A}、公理系{B}も扱うことができる
・公理系{A}、公理系{B}、公理系{AB}を同時に考えた場合、A∩!Bを満たすある値は公理系{A}内に存在し、公理系{AB}内には存在しないことが言える


一言でいうなら、公理系外のものを扱う理論です。
これを推し進めていった結果、>>1が得られました

公理系{AB}を扱うとき、同時に公理系{A}も扱うことができます
{AB} < {A}でAのほうが大きいことは自明で
それはつまり、公理系より大きい集合を扱うことができるということです

このとき、公理系より大きい集合Aの要素を公理系{AB}ですべて列挙すると
どうなるでしょうというのが最大の問題です

理屈自体は非常にシンプルでわかりやすいと思っているのですが
受け入れがたいのもわかりますので、質問してもらえればありがたいです

公理系より大きいAの集合を
公理系ABで外延的に列挙すると
公理系ABと同じサイズになります

外延というのは存在するものしか列挙できず
公理系に存在しないものは列挙できません

公理系には存在しないものを含む集合を列挙すると
その集合が変化してしまうというのがポイントです

公理系ABで、公理系Aも同時に考えると
「全て」という概念が曖昧になるんですよね

これをちゃんと考えると
「全て」という概念は公理系の大きさに依存する
ことがわかると思います

「全て」にかかわるものといえば、
要は数学では∀と∃です。

公理系{AB}で、その公理より大きい公理{A}全体を表す集合Aを考えるとき、
∀と∃の表す範囲は次の4種類が考えられます

∀A={A}
∀A={AB}
∃A={A}
∃A={AB}

狂気のはじまり

超自然数の演算について聞きたい

∃Aは実質的に内包であり、Aの性質のみを判定します。「存在命題」という名前ですが、存在を保証しません
∀Aは実質的に外延であり、外延的に列挙できなければいけないという条件がありそれはつまりすべて公理系内に「存在」しなければいけないということです

それらをまとめれば。公理系{AB}で、その公理より大きい公理{A}全体を表す集合Aを考えるとき、以下になります。
∃A={A}
∀A={AB}

∀は、公理系外の要素が含まれていた場合、それらをすべて削除します。

例えばX={0,1,2,10}という集合Nがあった時、
10が存在する公理系では∀X={0,1,2,10}となりますが、
10が存在しない公理系では∀X={0,1,2}となります。∀によって得られたものは全て存在するものでなければいけません

>>22
自然数の公理系内で、Xが超自然数の時、∀Xの時に非可算の部分をすべて削除します
∃Xはそのままです。特殊なことはそれだけで、あとは通常通りです

これは通常は未定義である、公理系外の要素の扱いを決めただけであり、
公理系内の要素のみを扱う場合には影響を与えない・・ハズです

∀ではなく、まったく別の記号を使えばあまり大きな軋轢は生まないと思いますが
とりあえず、あえて意味の異なる？∀を使います。

>>22
超自然数の演算について、一番わかりやすいのを追加で出しときます

自然数進数において、10は超自然数です
このとき、例えば10(個)+10(個)=20(個)になります
この20(個)を列挙（自然数と一対一対応）すると、
10個分の自然数と対応が取れ、残りが削除されるので10(個)になります

10+10=10ですね。

10以上の数は同様に、列挙するとすべて10になります。
もちろん余りは出るのですが、それは公理系外の要素なので検出できません
公理系の中から見る限り、自然数と一対一対応がとれたとしか見えません

列挙さえしなければ10以上の数もそのまま意味のある値として使えるのですが
一回でも列挙してしまうと値としての意味が壊れてしまって、
10以上の数であるという状態を表すものになります

では2^10は？
明らかに10より大きくなるけど

>>26
2^10は、明らかに10より大きいので自然数進数の公理系には存在しない値になります

2^10を式として使用するなら、そのまま使用できます(2^10 < 3^10　のように)
2^10を式として、値を求めるなら解なしとなります（＝自然数ではない）
2^10の個数の集合の個数を数えた場合、自然数進数の公理系内では自然数と同じ10個となります

これで回答になってますでしょうか

2^10=3^10ではなく？

>>28
個数比較の場合、どの公理系で比較するかで答えが変わります
非可算の公理系：2^10 ≠ 3^10
可算の公理系：2^10 = 3^10 = 10

>>28さんがどちらの話をしているのかがわからないです...

この特殊な∃、∀について、自然数に関する公理について考えて見たいと思います
まずは特殊な∃、∀を使った外延公理
∀A∀B（∀X（X∈A←→X∈B）→A=B）

∀A、∀B、∀Xの段階でそれぞれ公理系に存在するもののみ抽出します
A, Bから公理系に存在するもののみを取り出しそれらの要素がすべて同じなら
（この公理系の中では）AとBは同じ

A,Bが存在しないものを含んでいても、それを削除してから操作するので
演算は公理系の範囲内に収まりこれといって問題はないかと思います。

ZFCの公理はすべてやろうかと思ったけれど、
そこまで実りもなさそうなので、要望があればということで後回しにします

結局のところ焦点は無限公理なので、それだけやります
∃A（0∈A∧∀x∈A(x∪{x}∈A)）

Aが公理系外の要素を含む非可算のものだった場合、
∀Aで列挙した値+1は、∃Aの中にあるという意味になります。

超自然数Aで考えた場合、
∀A={０〜(10-1)となるので、それぞれに＋１すると、
A'={(0+1)〜((10-1)+1)}となり、それぞれの式は超自然数A(10以上の数を含む自然数)の中にあります
この解釈では、Aが超自然数だったとしてもそのまま無限公理が成立します
同様に、ZFCは超自然数Aでも成立してしまうんですよね、
意味はまるで別物になりますが。

意味が別物というのは、例えば無限公理だと
最大の自然数に+1すると非可算の値になるというだけで、無限でもなんでもなく任意の大きさをもつただの有限集合であるということになります

じゃあ最大値が5とかの自然数を実際に作ってみようと思って作ったのが>>1です
なんか矛盾でも出るだろうって作ったのですが
あまりにしっくりきすぎて怖いくらいです

てことで最低限必要な情報は出せたので
あとはマッタリツッコミ待ちします

>>1含めてこれらが何の話かというと、
自然数が有限なのか無限なのか？可算なのか非可算なのか？というのがテーマです

一般には自然数は値は有限かつ可算、集合は無限かつ可算

ここで示そうとしているのは、2つの自然数があるということです
�@自然数は有限かつ可算、集合は無限かつ可算
�A自然数は無限かつ非可算、集合は無限かつ非可算

少なくとも有限の範囲では値=個数となる自然数において
全てあつめると無限かつ可算というのはおかしくない？っていう
誰もでも一度は考えたことのある疑問を突き詰めたものですね

>>34
一番大事なとこ間違えた
�@自然数は有限かつ可算、集合は有限かつ可算
�A自然数は無限かつ非可算、集合は無限かつ非可算

>>25の続き掘り下げようかな

10+10=10
当然10＋1＝10 だし、10*2=10

これが何を暗示してるかというと
♾+♾=♾と同じだねってことです

♾+♾=♾というのは、無限にしかない
特殊なものだよなんて言われたりもしますが
実際にはほとんど同じ特徴を持つものがあります

カンストっていう昔のゲームによくあった仕組みです

カンストは、カウンターストップの略語で、
数字のカウントが上限に達し、それ以上のカウントがストップされることです。

99999までは普通に増えるけれど、それ以上増やそうと思っても
99999のままみたいな動きをします

カンストする場合、99999+1＝99999ですし、99999+99999＝99999です
まったく同じではないですが、大体同じ仕組みを>>1でも使います

無限の大きさ比較には一般に
自然数との一対一対応を使うのですが、
その手法には大きな欠陥があります

自然数の方が大きい場合には正確に計測できるのですが、対象物が自然数より大きい場合に計測不能になります
計測不能になるのは超自然数の世界で計測した場合であって、自然数の世界で計測すると、自然数と同じ大きさだと混同します
カンストですね

計量カップとかをイメージしてもらうとわかりやすいかな

500mlまで測れる計量カップは
100mlや200mlは正確に測れます

ただし、600ml入れると溢れてしまいます
その時、計量カップの外から見ると、溢れたことがわかるので、500ml+αってことがわかります
しかし計量カップの中から観測すると、溢れたことに気づけないので、ピッタリ500mlと勘違いしてしまいます

定規でも体重計でもなんでもいいんですけど、その計測能力を超えたものを計測するなら、何か変なことが起きます

自然数を使って対象を計測するなら、
自然数以下のものしか測れないってことです

無限での比較は自然数との一対一対応、つまり全単射となります
全単射にはおかしなところがあります
それを掘り下げていきます

全単射は、全射が成立し、かつ単射が成立することです
2つの独立した条件が成立することが条件であるということに注目してください

例として自然数と偶数を比較します

�@自然数と対応する偶数(※1)がある(単射)
�A全ての偶然(※2)は自然数である(全射)

�@と�Aは別個の条件なので
偶数※1と2が同じである必要は厳密にはないわけです
もちろんどちらも偶数でなければいけませんが
�Aで使用しているのは�@の物ではなく
改めて仕切り直した全ての偶数です

偶数と自然数の数を比較すると、普通は自然数のほうが大きいと思ってしまいますが
無限の世界では偶数と自然数の数となります

しかしここでは偶数のほうが大きい(「多い」ではない)ことを説明しましょう

自然数と偶数を小さい順に対応を取ります。
x個の自然数={0, 1, 2, 3, 4, 5}
x個の偶数 ={0*2,1*2,2*2,3*2,4*2,5*2}

有限のx個で考えた場合、偶数の集合の中には、必ず自然数ではない値が含まれます
上記の場合、5*2の解は、同数の自然数の集合{0, 1, 2, 3, 4, 5}には存在しません

つまり、偶数の集合は自然数より明らかに大きい値を常に含みます
これは自明ですよね
xを何個にしても。。少なくとも有限の間は常に成り立ちます

同数の自然数と偶数を比較すると、必ず自然数ではない偶数が存在してしまいます
なぜそうなるかというと、「同数の自然数と偶数」という束縛条件により発生した結果です

「同数の自然数と偶数」という束縛条件があれば、
自然数ではない偶数は存在します
何の制限もなければ、全ての偶数は自然数です

ここで自然数と偶数の比較に使われる全単射を見てみましょう
単射：自然数と偶数Aが対応する
全射：全ての偶数Bは自然数である

全単射は、単射が成り立ち、そして全射が成り立つことです
別個の条件なので、偶数Aと偶数Bが異なるものであっても本来構いません
全射を考えるとき、「同数の自然数と偶数」という束縛条件は考慮しません

単射に使う偶数と、全射に使う偶数は条件が異なります
単射に使う偶数・・自然数と同数でなければいけない
全射に使う偶数・・列挙可能(存在しているもの)でなければいけない

実際普通は偶数Aが自然数かどうかを調べることはありません。
あくまで偶数Bが自然数かどうかを調べます。
..唯一の例外を除いて。

「同数の自然数と偶数」という束縛条件を考えれば、このように書き換えられます
単射：自然数と偶数A(自然数ではない偶数を含む)が対応する
全射：全ての偶数B(全て自然数)は自然数である
全ての偶数が自然数だからと言って、自然数と対応している偶数が自然数だとは言えないということです

一般的には、全ての偶数が自然数だから、自然数と対応している偶数が自然数という結論になりますが
どうしても根拠が弱いと感じてしまいます
自然数の世界で全ての偶数を列挙するとき、自然数ではない偶数は列挙されないからです

単射が保証しているのは、個数つまり式の数であってその集合の値ではないわけです
全射が保証しているのは値です。

解のない式が存在すれば、式の数と解の数が異なるのは当然であって、
つまり全単射がなりたったからといって、同数であるとは全く言えなくなります

自然数ではない偶数はなにかっていうと、>>1の10以上の値ですね
自然数の世界で全ての偶数を列挙するなら10未満の値しか列挙されません
しかし自然数と対応する偶数は、10以上の値を含みます

ひとつ、シンプルな例を思いつきました

自然数の公理系における、負数を含む集合です

以下のYのように、負数を指す式を含む集合を考えます
厳密には集合ではないので、クラスと呼ぶべきかもしれません
Y={0-1, 1-1, 2-1}

解の集合は以下になります
YA={解なし、0,　1}

YA内に存在する全ての値とは、解なしを取り除いて以下になります
YB={0,　1}


以下の文に納得できれば、あなたもこちら側ですね
「Yの個数は3個だが、Y内に存在するすべての値を列挙すると{0,1}の2個である」

>>1で明らかにしたのはこうも言えます
最大の自然数Mに1を足したM+1という式は存在するが、
M+1の解は自然数ではないので、M+1の解は存在しない

一般には全ての自然数xでは、x+1が「存在」することになっています
しかしその「存在」は式か解かあいまいです

>>1が正しければ、M+1の解は存在しないが正解だと思います

∞(10)=１０(自然数)
てこと､､?

>>53
カッコ内はそれぞれ10(9+1)進数、自然数進数のことかな？
そうだとすれば少し違います

例えば10進数の♾は16進数のAになるので16進数の10とは異なります
ちなみにこの計算は16進数の世界では確実に計算できますが10進数の世界でこの計算を正しく完了するには少し工夫がいります
∞(10進数)≠１０(16進数)


同じ進数で比較すると♾と10は同じです
∞(2進数)=１０(2進数)
∞(3進数)=１０(3進数)
∞(10進数)=１０(10進数)
∞(x進数)=１０(x進数)
∞(自然数進数)=１０(自然数進数)

2進数で10を超えるとそれはもう自然数じゃない?
ん？
ん、、、、？
これ進研ゼミで習ってないところだぁ

質問いいっすか?
自然数進数というのは一の位に自然数の最大値-１（あるかはわからん、てか無い)
まで入れることができるってことだよね？
2進数で１までしか入らないみたいに。
つまり10(自然数進数)より１上はもう自然数じゃないってことであってる?
違うのかな？
学生の糞無知な質問でごめんなさい

>>56
はい
10-1が最大値なので10は自然数じゃないというのが私の主張です
10以上の数は超自然数(名前は適当)です

0より小さな負数が0より小さいという違いだけで存在するように
10以上の数は10以上(自然数ではない)という違いだけで存在します

>>56さんが疑問に思ったのはそこではない気がしてきた

何か一つ好きな数字を思い浮かべてください
例えば765としましょう
その数字を1桁の数字で表すことは可能ですか？

答えは当然可能で、765なら例えば1000進数で表現すれば1桁の数字になります

同じようにどんな数字でも、それより大きな進数なら1桁の数字で表現できます
ここらへんの認識があってない気がします


逆に1000進数の世界の中で10進数を構築すれば10進数で10を超える数字が「存在する」ことができるんですが…もう少しステップに分けて説明したほうがいいかな

そうです!それが聞きたかったんです!
自然数進数ってそれより大きい進数が作れないんですよね?
それなら納得です!
2進数で１０って10進数だと一桁だからどうなのかなーってなっただけです!

>>自然数の最大値-１（あるかはわからん、てか無い)
この部分、説明します

イメージしやすくするために、この質問の回答を考えてみてください
「10円のものを購入し、お札を1枚出しました。おつりはいくらでしょう？」

「おつりがあるかないかはわからない、というか答えは無い」という答えでも間違いではないと思います

ただし普通なら「1000円札なら990円」とか、「どのお札ですか？」と聞き返しますよね


>>自然数の最大値-１（あるかはわからん、てか無い)
これも同じです。
自然数の体系(違いは最大値)は複数あり、複数の自然数の最大値-１は答えようがないですが、ある自然数の最大値-1は存在します

なるほど、自然数の大きさに限りがないため
最大値は１つに決まらないと思っていましたが
一つに決まらないのでなく複数存在するというのが正しいんですね!

最大値はいくつあってそれぞれ何が違うの

>>61
学生さんとのことなので、一応忠告です

>>複数存在するのが正しい
一般的には正しくないです
私が正しいと思っているだけです

一般的には自然数に最大値はないし、自然数の個数は10個じゃないし
超自然数も(この方法では)作れません
公理を減らした別の公理系を同時に扱うなんてこともしません

テストの答案に書いたら間違いなく×になるので気を付けましょう



自然数の個数は10個であるというのは一般的に間違っています
それを>>1を根拠に一般的な考えのほうが間違っているのでは？
という無謀な挑戦をしているところです

正直ボコボコに叩かれるハズだったんですが、まだきていなくてさびしいというか
自分ではもう間違いを見つけられないので、指摘受けれたらうれしいというところです

>>62
自然数の最大値が2の公理系
自然数の最大値が3の公理系
自然数の最大値が4の公理系
…
という感じで、最大値が異なる自然数の公理系が無数に存在します

違いは最大値が異なることと、それぞれ異なる小売系であることです
同じなのは全て自然数の公理を満たすことです

最大値がNの公理系でN+1ってどうなるの

>>63
ありがとうございます
理解できました!
無限個ある数-１が一の位に入っちゃっていいんでしょうか?
永遠に一の位から抜け出せない気が、、
それを踏まえたうえで１１と書いたなら
こいつは確かに自然数の最大値よりでかい気がしますね!!

>>65
それは、自然数の公理系の中で0-1はどうなるの？という質問とほぼ同等の質問になります
N+1という式は存在しますが、N+1の解は存在しません
なので、単純な答えは「解なし」です

ただし、N+1と自然数を一対一対応させた場合はN個になります(0を自然数に含めない場合)
Nより明らかに大きいものを、Nと対応とれば当然N個分だけ対応が取れます
本当は余りは出るのですが、世界の大きさがNの場合、Nより大きいあまりを検出できないというのがポイントです


逆にこちらからも確認というか立場を表明してほしいのですが
「全ての自然数は1桁の数で表すことができる」は真だと思いますか？偽だと思いますか？
理屈は非常に単純で、どんな１以上の自然数nでも、n+1進数の中では一桁の数字になります

>>66
話を続ける前にこの命題の答えを考えてみてほしいです
「全ての自然数は1桁の数で表すことができる」は真だと思いますか？偽だと思いますか？
理屈は上でも書いた通りどんな１以上の自然数nでも、n+1進数の中では一桁の数字になります

この命題が真なら、10が自然数ではないことも、10が全ての自然数より大きいことも自明なレベルかと
偽ならその理由が知りたいですね

自然数の公理では、自然数nの次にはn+1がある、みたいなのがあったと思うけど

>>69
それは無限公理ですね
自然数nに対してn+1が「存在する」というものです
ただその存在というのは2種類の意味にとらえることができます

�@n+1の解が存在する
�An+1という式が存在する(n+1の解は存在するとは限らない)
�@が一般的な解釈、�Aが私の解釈

�Aの解釈でも別段問題なかったよ、むしろ�@だと>>1の説明難しくない？というのがこのスレの趣旨ですね

式が存在するってどういうことですか？

>>71
私の考えでは、式の集合に含まれるってことです
全ての解の集合と、全ての式の集合をイメージしてください

例えば自然数における0-1は解なしとなります
0-1は式の集合には含まれますが、その解は解の集合には存在しません

ここで重要なのは、式と解は定義域が異なること、
解の定義域は公理系の大きさと同じであること、
式の定義域は解の定義域より大きいことです

n+1が普通の意味で存在するというのが自然数の公理なので、別の公理を採用すれば別のものになりますね

>>73
>>n+1が普通の意味で存在する
厳密にいえば意味は必須条件ではありません
重要なのは公理＝論理式です

私の作った理論は通常のものとは意味が全く別物です
具体的には∃記号の定義域が通常とは異なり公理系の外側までカバーします
通常の∃を∃1、私の∃を∃2とします

∃1が使われている全ての場所を∃2に差し替えたときに結果の真偽値がすべて同じだったとしましょう
その場合は意味が違ったところで論理式が同じなので数学的にはまったく同じものだということです

実際にはまったく同じになる必要はなくて、
主要な理論だけが同じであれば十分で、細かい意味の違いでどちらを採用するかを決めることになります
例えば>>1を説明できるのは∃1なのか∃2なのかみたいな

ちなみに今の進捗状況は、自然数の公理部分という最低限は見ましたが
主要な理論をカバーするなんてとてもできてないので説得力があんまりないっていう状態です。私は数学家ではないので、その方向性で進める気はもうあまりないです


まとめると、自然数の公理の延長で何かをしようとしているわけではなくて
まったく別の理論を、自然数の公理と同じ論理式で表記できればそれは同じものでしょ
っていうアプローチです

それでも>>n+1が普通の意味　が重要だという場合は
>>1の否定もしくは、「全ての自然数は1桁の数で表すことができる」を否定してくれるとありがたいなと

普通の解釈だとどうしても>>1を否定できなくて、新しい自然数に舵を切ったので
ちゃんとした数学の人ならサクっとできそうな気はします

公理系が違えば自然数ではないですね

ちなみに、最大値が2の公理系で1から100までの数字を表すとどうなるんですか？

>>76
公理の論理式が同じならそれは同じものとしか言いようがないです
今回は相当無茶をしているので、本当に同じかは議論の余地があります

>>77
f(x)=x みたいな関数f(x)のxに１〜100をいれるイメージだと
f(1)=1
f(2)=2
f(3)=解なし
f(4)=解なし
f(5)=解なし
...
f(100)=解なし

最大値が2までしかない世界でどうやって左辺で2より大きい数を入れるのか
というのに目をつぶれば右辺は簡単です
最大値が2なので、解としては１，２しか存在できません
左辺を説明するにはいくつか前提条件を理解してもらわないといけないので、少し長くなります

>>79
普通の自然数なら1から100まで全部表せますけど...

ペアノの公理の５個目って
数学的帰納法を使って証明するんじゃ?
それっていいのかな?

>>80
普通の自然数というか10進数でも100が存在するかはグレーですよ。100がちゃんと存在できるためにはある条件があります

それを理解するにはまずこちらを理解しないと
「全ての自然数は1桁の数で表すことができる」

>>81
ペアノの数学的帰納法を見直したところ
この方法だと最大値のある自然数は作れなさそうですね。最大値がないものしか作れない
数学的帰納法はあんまりちゃんと見てなかったです

まだちゃんと見てないのでここについては後で意見を変えるかもしれません
参考になりました。ありがとうございます

>>82
存在しますね

99の次が100です

>>85
なるほど。進数についての認識が甘い感じがします
このあたりの説明が足りないのが問題ですね。
問題点がようやく見えてきたので一歩前進です

100だと少し多くて面倒なので、10進数の20を
8進数、16進数、20進数、32進数でそれぞれ表すと何になりますか？

簡単すぎるなら、チャレンジ課題として10進数の1234を10000進数で表してみてください
これはギブしても大丈夫です

ちょっと挑戦してみてください

なんでそんなに偉そうなんですか？

10進数で100は存在しますよね？

10進数の100ですが、
自然数上に構成された10進数なら、10進数の100は存在します
自然数上に構成されていない10進数なら、10進数の100は存在しません

このスレでは自然数上に構成されていない10進数を扱います
つまり、10進数の100は存在しません

ピンとこない場合は、>>86からステップ踏みませんか
いきなり結論ではわかりにくくても、順番に進めばわかりますよ

自然数の定義の話をしているのに、自然数上に〜というのはおかしいですね

あとなんでそんなに偉そうなんですか？

偉そうにっていうの好きかよ

>>90
素晴らしい。まさしくその通りです
10進数の100が存在するというのは、自然数が既に存在しているというのと同義です
それが正しいなら、自然数の定義の話をしているのに話がずれておかしくなってしまうということですよね

それが正しいかどうかの話は結構難しいので
いくつかの共通認識を持つ必要があるんですがいかがでしょう

そのあたりあいまいにしたまま行くなら..
10進数の100が無条件に存在できるなら、自然数進数の100もやっぱり存在するんでしょうか
その場合自然数進数の100は自然数なんでしょうか
全ての自然数は１桁の数で表せるんでしょうか
自然数進数でいつ10を超えたんでしょうか
それとも自然数進数は作れないんでしょうか。


偉そうにしている件については
偉そうにしている自覚はないので、多分治らないです。そこはごめんなさい

>>93
普通の意味で、自然数の公理に自然数は必要ありません
公理により、100は99の次として定義されます

>>94
もちろん普通の意味で、自然数の公理に、99の次が100というのは定義されていません
単にユニークな後者があるというのが定義です

つまり自然数の場合は99の次は「あ」でも構わないんです
10進数なら99の次は100じゃなきゃいけないんですけどね

この視点は非常に重要な部分で絶対に押さえておかなければいけないポイントです
トラップも多いので順に情報出してきますね

使う文字はなんでもいいんですけど、100に相当するものは存在しますね
あなたの公理系では存在しないようですけど

私の主張する公理系でも100に相当する自然数は基本的には存在しますよ
存在しないのは10進数の100です

気づいていただけで本当に嬉しいのは
自然数は使う文字はなんでもいいんです

対して10進数の10以上の数は、使っていい文字は限定されていて、並べる順番も一定のルール通りにしなければ行けない。

10進数と自然数は意味も存在も全くの別物です
そこを混同されているともどかしくなってしまうのです

>>1をちょっと読んだんですけど、自然数進数とやらで10というのは、無限を言い換えただけですか？

>>97
10進数の100は存在した方がいいので、普通の公理の方がいいですね

>>98
そうですよ。無限を言い換えただけです

ただし、>>1が全面的に正しいなら
10-1は明らかに自然数
10は明らかに実数濃度なので

連続体仮説が解決してしまうことになります
それならうれしいですけど、どうでしょうねぇ

>>99
10進数で100が存在するのは何らメリットではないというか
ピュアな10進数では、普通の理論でも100は存在しませんよ
自然数上に構成されるから存在できます

逆に私の理論でも、自然数上に10進数を構成すれば10進数の100は存在できるので
なにもかわりません


ただこの説明はまだわからないと思うので、結論はもう少し後回しにしましょうか

>>100
つまり、>>1は自然数は無限個しかないってことを言いたいだけですか？

>>101
100は存在したほうがいいですね

無限進数を考えてるからでてくるんじゃない?
無理やり無限を１０に落とし込むから矛盾というか、
てかまず無限進数ってのは考えていいかはしらんけど、

こう考えてみた
面積がその数ね
で一個目が一の位に入る最大値が５の１０

２つ目が1の位に入る最大値が自然数の１０

https://i.imgur.com/KO9Jcbd.jpg

https://i.imgur.com/thvNKyV.jpg

>>1
どう?

>>102
10個であるということが主張ですね
10個と無限では10個の方ができることが幅広いので

10進数の100は手順を踏めばできるようになるのでお待ちください

>>105
私の主張をまとめてくれたということでいいですよね

そういう図にするのは考えたことがなかったので新鮮でうれしいです！
一段目がどんなに右に延びようが、10というのは2段目に一つ目を置くという法則は固定です

比較を考えた場合、この図を積み木だと思うとイメージしやすいですね
この図は積み木を横から見た図です

自然数との比較は、底面積を比較します

>>104
まさしくその通りで、普通は自然数が10個なんてあり得ないので>>1を否定しないといけないです
無限進数を作った後よりは作れないのほうが簡単そうですが、どうやるんでしょう

潰す気ならこちらの方お願いします
全ての自然数nはn+1進数内では1桁なので
全ての自然数は1桁で表すことができる

>>107
無限を言い換えただけだと自分で言っているので、>>1は自然数は無限個しかないってことを主張したいんじゃないんですか？

>>110
全く同じ意味かってことならごめんなさい、読み間違えました
無限を言い換えただけではないです
既存のものよりもっと高機能な無限に差し替えるのが目的です

モデル図作ってくれてうれしかったので、
私のイメージしている図もアップしてみます

https://d.kuku.lu/13a24c142


この図は単純ですが下手すると、>>1よりヤバい物かもしれません
2つの独立した公理がある場合、公理系の大きさはそれらの公理の積になるというものです

この考えのもと、自然数の個数が任意の数で問題ない可能性を考えた結果
>>1が生まれています

>>111
10個にすると何ができるようになるの？
ちなみにこの「10個」ってのは何進数の10なの？

>>113
連続体仮説だと不満ですか？
10はどんな進数でも成立するので
必要なら何進数かはあなたが決めてくださいってことです

>>114
連続体仮説が何なんですか？
あなたはスレタイの10を何進数のつもりで書いたんですか？

自然数進数のつもりで>>1は書かれていますよ〜

自然進数の厳密な定義をお願いします

自然数進数でした

>>115
それ以外のメリットだと、10+10＝20が計算できるようになりますよ
すごいですよね！

スレタイの10はもちろん自然数進数で、自然数進数が具体的に何進数かはあなたが決める必要があります


自然数の公理を調べてもらえばわかる通り、自然数の公理にX進数の概念は存在しません
そして単に自然数の公理、特に帰納法版を見る限り、自然数の最大値は作れなさそうです

しかし>>1ではX進数をサポートした自然数には最大値があることを言えてします

つまり、自然数には最大値がないが
X進数という概念を導入することによって、最大値（≒可算無限個）という概念も同時に生まれたということです
最大値という概念を生んだ要因は自然数ではなくX進数のほうです


だから最大値や何進数かを自然数に聞くのは間違ってます。自然数はX進数という概念を理解できない
何進数かをX進数に聞くのも間違ってます。X進数は最大値の求め方を定義しているだけで、何進数かを決めるのはX進数のうちの一つの進数を選んで使うユーザです

どの進数かを決めるのはあなたなので、あなたが何進数かを言う必要があります
何進数かが決まっていれば、その最大値は簡単に特定できます

これはつまり、X進数を導入した時点で
自然数には必ず有限な最大値ができてしまうということです

なので全ての自然数は有限です
ただし自然数の公理系の数は無限にあります。つまりそういう観点では自然数は無限にあります

「全ての自然数は有限値だが、自然数は無限にある」というのは数学のコラムによく出てくる話そのままですね

>>117
私が実質等価と考えてるのは以下です

全ての自然数nはn+1進数内では1桁なので
全ての自然数は1桁で表すことができる

>>119
それ以外のメリットだと、10+10＝20が計算できるようになりますよ
すごいですよね！
↑
聞いているのは連続体仮説が何なのかということですが、それ以外っていきなりなんなんでしょうか？
20ってなんですか？


スレタイの10はもちろん自然数進数で、自然数進数が具体的に何進数かはあなたが決める必要があります
↑
意味不明です
自然数進数という新たな進数があるんじゃないんですか？


しかし>>1ではX進数をサポートした自然数には最大値があることを言えてします
〜
どの進数かを決めるのはあなたなので、あなたが何進数かを言う必要があります
何進数かが決まっていれば、その最大値は簡単に特定できます
↑
10進数で自然数の最大値はいくつですか？
10と答えたい場合、11の存在を忘れないであげてくださいね

>>120
自然数の公理系は普通1つですね

>>121
表記に使う記号を十分用意すればそうですね

多分なんですけど、∞を何かすごく大きな数であると勘違いしているか、自然数の表記に使う文字の数と自然数の数を混同していますね

>>122
連続体仮説はwikiでも調べてください


そうですね。
自然数進数は、ここではまずはこう言い換えましょうか
「中身は全て値が重複しない1桁の数字で、自然数と一対一対応する集合」
これならイメージできますか？

値は単に0，1，2...と自然数と同じ数を使い
表記に使う記号を自然数と同じ数だけ用意すれば、簡単に作れますよね

その集合内の数は全て1桁の数なので、2桁の数である10はその集合内のどの数よりも大きいです。この理屈はわかりますか
1桁の数より2桁の数のほうがでかい。ただそれだけのとても簡単な理屈です

>>123
これは私向きであってますよね？

>>∞を何かすごく大きな数であると勘違いしているか
普通は∞は数ではありませんが、いろいろ工夫をすれば∞を数として扱うことが可能ですよという主張をしています
具体的には、普通とは少し違う意味を割り当てた∃を使用した場合、∞を数として扱ったうえで
既存の公理を壊さないという主張をしています
間違ってたらごめんなさいするつもりではあります


自然数の表記と自然数の数はいい表現ですね
>>1で行ったのは、自然数の数よりも、自然数の表記のほうが大きいということです

自然数は全て1桁(1文字)で表せるのに対し、2桁（2文字）使える表記のほうが当然大きい物を表現できる
自然数の数 ＜　自然数の表記

そのうえで、数も表記もそれぞれが無限個あるので
自然数の数(可算無限) ＜　自然数の表記(非可算無限)

ひとまずここまでで
混同している部分があれば教えてください

>>124
連続体仮説はwikiでも調べてください
↑
？
>>1は連続体仮説に対してどういうご利益があるんですか？

値は単に0，1，2...と自然数と同じ数を使い
表記に使う記号を自然数と同じ数だけ用意すれば、簡単に作れますよね
↑
いくつ用意するんですか？

>>125
具体的には、普通とは少し違う意味を割り当てた∃を使用した場合、∞を数として扱ったうえで
既存の公理を壊さないという主張をしています
↑
すでに超準解析というものがありますよ


自然数の表記と自然数の数はいい表現ですね
〜
そのうえで、数も表記もそれぞれが無限個あるので
自然数の数(可算無限) ＜　自然数の表記(非可算無限)
↑
ここで使われている不等号の意味を教えてください

>>122の
・20とは何か
・10進数で自然数の最大値はいくつか
にもお答えください

連続体仮説はやりすぎだと思うので取り下げます
私の案のメリットは>>1真として解釈できることです

20というのは10+10=20になったり10+20=30になるという計算がわからないということでしょうか

10進数でのというか何進数でもいいですけど
自然数の最大値は自然数進数の10-1です

答えてほしいものに答えていただけていませんがとりあえず、
・何進数かが決まれば自然数の最大値が決まるとのことだったと思うんですが、10進数での最大値はいくらなんでしょうか
・仮に自然数の個数が10-1という何かだったとすると、10、20はいったい何なんでしょうか

自然数進数なんて普通考えないです
でも、イッチはそれについて考えたところ
あれ、なんか自然数の範囲から外れた値作れるくね?
と思ったんじゃないでしょうか?
すごく面白いので僕は支持する立場ですが
10進数での最大値があるナイではなく
自然数進数で考えたら無限を数として扱える説をどう考えるかについて語り合いたいのではないでしょうか?
>>1
違ってたらすまん

何進数かが決まればというのは当然
自然数進数の話ですよ
自然数進数が10(9+1)進数なら自然数の最大値は9です

全ての自然数が1桁の数であるときの話なので
2桁の数である10は自然数ではない
10が存在して操作できるためには、自然数より大きい数を扱うことのできる公理系が必要ですね

何進数かが決まればというのは当然
自然数進数の話ですよ
↑
意味不明なので、自然数進数とやらをちゃんと定義してください

自然数進数が10(9+1)進数なら自然数の最大値は9です
↑
10は9よりも大きいですよ

全ての自然数が1桁の数であるときの話なので
2桁の数である10は自然数ではない
10が存在して操作できるためには、自然数より大きい数を扱うことのできる公理系が必要ですね
↑
∞を扱える超準解析というものがすでにありますよ

>>131
ありがとう！
まさしくその通りです

自然数進数がそもそも成立するのか、成立したら何が言えるのかってことですね

>>133
最初見た?
定義してあるよ〜

9が最大値の公理系を考えると
10って存在しないよね〜

同じように自然数進数を考えると
自然数に最大値があるように扱えるよ!

ってことだと俺は思ってる

（自演か？）

違うでｗ
確かにそう見えてもおかしくないくらい
かばってるからしょうがないけどｗ

>>133
自然数進数は、>>1にある通り、全ての自然数を使った進数です
何も条件のない自然数との違いは、自然数進数では全ての自然数は1桁の数でなければいけないというだけです

何進数のどんな自然数だろうと、それが存在するなら、自然数進数の1桁の数に変換することができます
全ての自然数が自然数進数で表すことができるので、2桁の自然数進数である10は全ての自然数より大きい

あってるかどうかは別として、ここまででわからないところはありますか


超準解析についてはごめんなさい
勉強不足により内容を把握していないです
wikiをみたところ、いくつか私の手法と似たようなものもあり、
内容の把握は必須と感じましたが、1〜2週間で把握できる内容とも思わないので、
ここでキリがついたら後ほど勉強します

超準解析に詳しいあなたに軌道修正してもらえると大変ありがたいです

>>135
9が最大値の公理系で無理やり無限公理を適用したらできちゃったってのが最終的に言いたいことです
間違っている可能性は大ですが、掘り下げれたらいいなとは思ってます

ちなみに9が最大の「集合」では成立しません
9が最大の公理系では、全ての自然数という単語の意味が9＋1個になり、普通の自然数とは意味というか定義域が変わることを利用します

>>138
自然数進数の10進数とはなんですか（>>132）

>>140
132の内容は>>138の内容が真であることを前提としているので、>>138の内容を少なくとも理解できなければ意味がありません

>>138の内容はどうですか？現時点での賛成/反対の立場も出してもらえるとありがたいですね

>>141
>>138は「∞を10と書く」以上の情報がないように見えるので、真であるとかないとかそういう議論はできません

それにしても、「真であることを認めれば説明してやる」という態度はひどくないですか？
はやく>>140を説明していただきたいのですが

>>142
確かに10進数での∞を10とおいているように見えますが決定的に違いがあると思います。
∞+∞は計算したらどうなるかという問題と
自然数進数の１０+１０を計算するときとは
数字の利便性の面で圧倒的に自然数進数のほうが優れていると思います
便利な理論や、新しい理論を創り出すのも数学の楽しみだと僕は思ってるので真っ向から否定するのではなく反論という形で理論の穴探しをしてみてはどうでしょう?

あと、>>140に関してはおそらくで言い間違いでは?

>>142
前提条件を共有できなければ話ができません
意地悪しているわけではなくて、その場合は先に前提条件の話をしましょうということです
真であることの同意が必要なんてことは言ってません。
というか>>138の話は普通の基準なら偽になるはずです

見る限り現状の認識では>>132の内容を語るには不十分ですね...
そこを理解せずに先の話をだしてしまってもうしわけない


>>138の内容及び、今までのまとめと進数について私が真と考えている
重要なところを取り出しました
このレス内ではオリジナル要素はほぼないので、そのまま考えてもらえればいいかと思います
この�@〜�Eについて、現状の認識を真、偽、保留、不明あたりで出してもらってもいいですか

�@自然数と同じ数で1桁の数しかない場合、それは自然数進数だ
自然数の個数より小さい進数の場合、かならず2桁の10が含まれてしまいます
自然数の公理系内において、自然数より大きい進数は作れません
つまり全てが1桁の数は自然数進数です

�A存在しないものは自然数進数の1桁の数に変換できない
自然数進数の1桁の数に変換することができるのは存在するものだけです
また1桁の数で表せないものは、自然数としては存在しないです

�B10進数は自然数ではない
10進数のある値は自然数との対応が取れて初めてその自然数と同じものといえる
10進数は自然数のある値を指し示すものであって、10進数は自然数そのものではない

�Cあるn進数の10が存在する場合、自然数進数がn進数より大きいからだ
nは、2〜∞の大きさを持つが、それでも結論が変わらない（ただしn≠自然数進数）

�DX進数の10以上の数は、その値より大きい進数上で1桁の数になる
自然数進数でも同様である

�E公理系A,Bがある時、公理系A内にある自然数進数より大きい自然数進数を公理系B内に作れる
別の公理系なら別の自然数進数を作れます

>>143
それくらいのスタンスでいてくれるとありがたいです

少なくとも、自然数より小さい無限として進数を上げた人は私は見つけられなかったので、
そこを考えてみるのは面白いと思います
10進数があまりにも当たり前になりすぎていて、盲点になっている可能性は高いと思ってます

上の>>145の�@〜�Eも考えてみてもらえると例え否定であっても議論は進むかなと思います

>>143
10+10=20ができたとしても2∞という謎の記号を20と書いているだけですね

はっきり言って1は10というなじみのある数字で∞を置き換えて混乱させているだけですね
例えば109では「普通は自然数が10個なんてあり得ない」と言っていますね
138あたりを読むと，1は自然数進数の10に対してはしっかりと無限大の類似物という認識があるので
109の10は明らかに普通の10ですよね
一方で，116では「自然数進数のつもり」などとと明言しています
つまり，意図的かどうかはともかく，普通の10と自然数進数の10を混用しているわけです

>>145
あなたは119で「何進数かが決まっていれば、その最大値は簡単に特定できます」
と書いていますね
なので，10進数にしました
はやく最大値を教えてください

訂正します
自然数進数の10か普通の10か明確でないため，>>147の最後4行を以下のように訂正します

あなたは119で「何進数かが決まっていれば、その最大値は簡単に特定できます」
と書いていますね
なので，2進数にしました
はやく最大値を教えてください

>>147
訂正しとくと∞+∞=∞です

∞と置き換えたのが悪かったのかもしれません
a=∞の定義とはそもそも
「任意の x>0 に対して a>x が成り立つ数」
ですのでどんな数より大きい数ではありますが
特定の数値ではありません
(これはイッチの言うところになにか矛盾しそうな気もしますが)
ぼくが思うこのイッチの理論の面白いところは
自然数の個数個+1個(0も使うため+1)の記号を使う
自然数進数について考えると自然数の範囲から外れる数値が出てくることです。
これが、演算の拡張などになにか役立つのではないかと思い議論している次第です。

自然数の定義とも取れる、「ペアノの公理」
とも矛盾しないかいま考えてるのでなにか面白い発見があるかもしれないですね!

>>145
�Eについて
特定の公理内での無限が他の公理系で考えると可算なことから計算できるってことでいい?
でも、その公理系の最大値超えてるからカンストもしくはそれに類似した状態になるってことでおk?

>>147
ありがとうございます
こちらが伝えたことがどこまで伝わっているかが一番知りたかったことで、それがある程度分かりました

想像以上にぐっちゃぐちゃになっていますね..
一応書いておくと、109も119も138も自然数進数と、自然数進数の10の話です
そして109も119も138も無限大の類似物の認識はありません

ただ混用しているというのはいい表現ですね
混用させるのがある意味このスレの一番の目的です！


普通の自然数と、自然数進数がまったくの別物というのは薄々かハッキリとかはわからないですが気づいてますよね？

それなのに、私が自然数進数として書いたものが
あなたには普通の自然数に見えて、最後まで自然数進数と気づかなかったとします
その場合、それはもうあなたにとっては自然数なんですよ。


自然数というインターフェースに対して、自然数進数という実装を当てはめて
問題なく動くなら自然数進数は自然数なんです

>>150
はい。その通りです
�Eが成り立つならそのままですね
自然数進数の10は、他の公理系ではただの自然数なので普通に計算できます
一応補足しておくと、他の公理系として、私はペアノの公理を使います


あと�Eを理解していただけたならもうわかると思うのですが
�C、�D、�Eのどれか一つを認めるということは、以下を認めるのと同じだと思ってます
・自然数進数はペアノで作った自然数をすべて列挙することはできない
自然数進数の10を認めるということは、最大サイズの自然数を作れないという意味なので
自然数進数を作れないペアノの公理より必ず小さいサイズになります

ペアノで作れないと思ったのは、ペアノではn+1が自然数と明記してあるためです
無限公理では∃が使われているだけなので、∃の解釈に付け込む隙があったということです


カンストについては、数学には上限でループする数（p進数）、エラーになる数(自然数における負数)はあるのですが
カンストする数があまり扱われてこなかったと思います
実は自然数がそうというのが私の主張です
∞とカンストはあまりにも特徴が似ています

カンスト時の全単射とかは、意味は全くの別物になりますが、
一言一句変えずに成り立つのも面白いです

わざと無視してるのでしょうか
↓にお願いします
あなたは119で「何進数かが決まっていれば、その最大値は簡単に特定できます」
と書いていますね
なので，2進数にしました
はやく最大値を教えてください

>>151
>一応書いておくと、109も119も138も自然数進数と、自然数進数の10の話です
嘘はいけませんね
109の10は明らかに普通の10ですね

>そして109も119も138も無限大の類似物の認識はありません
>>125とその前後を読んでください
明らかに（明言こそしていませんが）10を無限大の類似物だと認識していますね

さらに言うと，依然として定義されていない自然数進数の10と，普通の10を混用しないでください。
次からはどちらか明示してくださいね
こちらもできるだけそうするので

なんつーか
はやくしろとか
ケンカごしでしか話ができねえ奴ってつまんねーんだよな
数学以前の問題なんだわ
そういう奴は数学板から出て行けよ

つまんねーんだよ

一番喧嘩腰なのは君だね〜

おまいら喧嘩すんな〜ノ

>>153
自然数進数が2進数の時、その自然数の最大値ですよね
もちろん最大値は1です

ちなみにその話題関連でいうと、自然数進数はいつ何のために使うのかという点は押さえておくべき事項です
日常生活において自然数進数の用途はほぼ一点、対象が自然数かどうかを確認するときです
それ以外の用途でわざわざ自然数進数を持ち出す意味がありません

例えば8進数の15+14=31となりますが、これだけだと31が自然数か超自然数か区別がつきません
自然数と確定させるためには、自然数進数でカウントする必要があります

ただ31が自然数か超自然数かどうかに興味がある人なんていないんです
全員が、別に超自然数でも構わないし自然数が混在しても構わないと思ってます

だから誰も自然数かどうか調べようとしないので、自然数進数は基本誰にも使われません
そこに興味があるのは、マニアな数学者と、プログラマぐらいですかね

自然数進数が2進数である、というのはどういうことでしょうか
すべての自然数種類の符号を使った進数が2進数であるというのは支離滅裂です

>>160
どういうとは理由でしょうか、状態でしょうか
ここでは状態について答えます

最大値が1の自然数の公理系では自然数の個数は{0,1}の2個です
N={0,1}
当然最大値は1。
すべての自然数種類の符号は{0,1}の2種類で自然数進数は2進数です。


全ての自然数とは、あくまでその公理系の中にある自然数がすべての自然数です
公理系の外側にどれだけ自然数があってもそれは検出できません
そこが集合と公理系の違いです

最大値が1の自然数の公理系などというものは存在しません
自然数の公理をご確認ください

>>162
個数に関しては、無限公理くらいだと思いますが、
そこにはサイズが2の自然数公理系が作れないとは書いていません
具体的にどの公理ですか？

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86

2つ目をご覧ください

公理系が無限に存在しそれらを一個大きい公理系が存在して包含していると考えれませんか?

>>164
後者があるっていうやつのことですよね
それがまさに無限公理です
無限公理には個数が2個しかないものはダメとは書いていません

個数が2個しかない自然数の公理系が無限公理を満たせばそれでみんな納得できて円満解決です

一見完璧に見える無限公理も2点欠陥があります
�@n+1が解のない式の場合、ループが止まります
�A公理系のサイズより大きいものを入力した時の動作が未定義です

>>166
>>161で、1の後者は何ですか？

「解」という言葉は、文字式に対してではなく方程式に対して使うものです。
例:実数xの方程式x^2=1 の解は±1である。
　自然数nの方程式 n^2=2の解は存在しない。

文字式に対しては「値」や「数値」と言います。
例:n=3のとき　n^2 -2n の値を求めよ。
誤解がないときは「値」や「数値」という言葉を省略してもかまいません。
例:nを自然数とする。√(10-n)が自然数になるようなnはいくつあるか。

>>1さんの主張は集合論を使って説明できます。
(ここでは0を自然数に含むものとする)

自然数の(有限)部分集合Aを
A=｛0,1｝で定める。
Aの要素に対する表記が1対1で存在する。
この表記を2進表記と呼ぶことにする。
Aの全ての要素は2進表記で1つの記号で表せる。
ここで、1+1は(無限公理により)自然数として存在するが、Aの要素ではない。
1+1を2進表記で表すと10である。

一般化して
自然数の(有限)部分集合Aを
A=｛0,1,2,・・・,n｝で定める。
Aの要素に対する表記が1対1で存在する。
この表記を(n+1)進表記と呼ぶことにする。
Aの全ての要素は(n+1)進表記で1つの記号で表せる。
ここで、n+1(の値)は(無限公理により)自然数として存在するが、Aの要素ではない。
n+1(の値)を(n+1)進表記で表すと10である。

いかがでしょう？
この説明であなたの主張に足りていないものはありますか？

そろそろ>>1の「X進数をサポートした自然数の公理系」を定義します

重要な点は以下になります。これらを要素を盛り込んだ論理式を作成します
・値のない式10が存在する
・10は自然数ではない
・10は別の(自身より大きい)公理系上の自然数を指す式である


いろいろ工夫してまとめると「X進数をサポートした自然数の公理系」は以下の論理式を持ちます
∃A（0∈A∧∀x∈A(x∪{x}∈A)）
(Aは集合ではなくクラス)

意味は、「0を持ち、全てのxについてその後者(x+1)を含むA(ペアノの自然数)が存在する」となります

まったくの偶然ですが、自然数の無限公理と同じ論理式となりました。


同じすぎて違いが分からないと思うので少し解説を入れます
・普通の自然数ではAは集合ですが、「X進数をサポートした自然数の公理系」からみるとA、つまりペアノの自然数は公理系より大きいものなので集合ではありません
ただしAが集合の場合はペアノの自然数と同じとなり成立します。(Aは集合ではなくクラス)という注釈は本来必要ありません

・公理系より大きいAにたいして(∀x∈A)を計算すると、公理系に存在するものしか検出できません。つまり(∀x∈A) < Aになります


具体的にサイズが2の自然数の公理系を考えてみます
サイズが2の自然数の公理系が持つ要素は{0,1}
N={0,1}
全ての自然数{0,1}のそれぞれのx+1がペアノの自然数内に存在すればよい
0+1　→　値はペアノの自然数内に存在します
1+1　→　値はペアノの自然数内に存在します
0+1も1+1も成り立つのでこれは上記の論理式を満たしますね。

1+1=10は値のない式であり、この公理系内で評価すれば値なしとなりますが
ペアノの自然数内で評価すると、ただの自然数となります

>>168
解と値についてはありがとうございます！！
そこはまったく区別がついていなかったです。以後気を付けます

>>169
まとめてくれてありがとうございます
この問題は集合で解釈すると、非常に簡単に理解できます

集合論としてもいくつか足りない点があるので、追加しての考慮をお願いします

�@私はX進数は無限の大きさを持つと想定しているので
有限と限定されるのは認められません
私の主張は、あるn進数ではたしかにnは有限ですが
X進数の公理系の数が無限であるとしています。
自然数も同じですよね。自然数は有限値だが個数が無限にある。
なのでX進数を一般化するには無限個のX進数をカバーしてほしいです

�AX進数の個数が無限個の場合、自然数と1対1で対応してしまい>>1の問題が発生します
こちらの回避策を考えてほしいです

結論として何か制限を加えればできそうな気がしますが、そのままでは認められないです


ただし、仮に集合論で説明できても
わざわざ公理系として表現するには2つ理由があります

一つ目は、公理系とした場合のみ、自然数と互換性のあるものができるかもしれないからです。自然数と互換性があるなら面白いですよね
というか自然数とリンクできなければ、わざわざスレたてするほどの内容でもないので
スレを閉じる方向に行くと思います

二つ目は、思想の問題です
そもそもの発端が「2つの公理A,Bを満たす場合、その公理系{AB}は、AとBの積空間となるA＆Bとなる」という理論が必要で探していて、なかったから作った結果できたのが>>1です
だから集合論で説明できてもこのアプローチをやめる気はありません

>>170 >>171
気になるところがたくさんあってどう伝えたら良いか困りますが、、

あなたはペアノの公理とは別の公理(そして自然数に代わる集合)を作ろうとしているようですね。
「X進数をサポートした自然数の公理」は
∃A（0∈A∧∀x∈A(x∪{x}∈A)）
(Aは集合ではなくクラス)
だけですか？

ペアノの公理を参考に、あなたの作りたい「X進数をサポートした自然数の公理」を具体的に書いてみてください。

ペアノの公理(wikipediaより引用)
自然数は次の5条件を満たす。
1. 0は自然数である。
2. 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
3. 0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。
4. 異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
5. 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。

>>172
０より前でなく１より前では?

すいません名前ミスってます
1じゃないです

>>173
なるほど、ペアノの公理どころかZFの公理を改変しようと言う試みですか。「自然数」のみならず「集合」そのものの定義の認識を変えようというのですね。置換公理と正則性公理を外したのはあえてそうしたのでしょうか。

それから、
>>170
>>10は別の(自身より大きい)公理系上の自然数を指す
>>A、つまりペアノの自然数は公理系より大きいものなので集合ではありません
>>173
>> 入力値が公理系より大きい
などなど、「公理系と集合の大小」や「公理系と数値(スカラー)の大小」を論じているようですが、これらの定義(大小の区別のルール)がわかりません。

例として「集合と数値の大小」の考えうる定義をいくつか並べておきます。
A=｛0,1,5｝という集合と、数値4の大小を考える
・最大値で比べる
Aの要素の最大値は5
4<5 なので　4<Aと定める
・平均値で比べる
Aの3つの要素の平均値は2
2<4 なので　A<4 と定める
・要素の数と数値を比べる
Aの要素の数は3
3<4 なので　A<4 と定める
・包含関係で比べる
4はAの要素ではない
このとき A<4 と定める

これらのように定義次第で大小は変化します。
あなたはどういう定義のもとで「公理系より大きい(小さい)」と主張なさっているのか教えてください。

>>176
そうですね。ターゲットにしているのはかなりコアな部分です
未定義だった「入力値が公理系より大きい場合」の∃と∀の追加規定なので
改変というよりは拡張というイメージですが、改変は改変です

置換公理と正則性公理も問題なさそうに見えますね


>>「公理系と集合の大小」や「公理系と数値(スカラー)の大小」
集合の比較は、集合同士の個数の比較になります

公理系と数値の比較は、自然数と10の比較のことだと思います。
これは正確には「全ての自然数(の各要素)」と10の比較です。

A=｛0,1,5}と4の比較だと
・全ての値との比較　0<4, 1<4, 5>4なので、4はAより大きいとは言えない

という結論になります

>>177
>>173に置換公理と正則性公理を加えるのであれば、それはZFの公理系と同じです。以後、ZFの公理系を認めた上で議論するということでよろしいですね。

>> 公理系と数値の比較は、自然数と10の比較のことだと思います。
私から質問しておいて失礼ですが、あなたは「公理系」の意味をはきちがえていると思われます。
公理系とは公理の集まり、またはそれらの公理によって導き出される体系のことです。つまり、そもそも公理系と数値は比較できるものではありません。

それを知ってなお「公理系と数値の比較」を試みるのであれば質問をします。
ここでの「自然数」は通常の自然数(ペアノの公理を満たす自然数)でいいですか？
また、「10」の定義がわかりません。
>>170では
>> ∃A（0∈A∧∀x∈A(x∪{x}∈A)）
(Aは集合ではなくクラス)
とありますが、これによってどう「10」が定義されるのかわかりません。
ZFの公理を認めた上で、あなたの考える「10」あるいは「X進数をサポートした自然数」の満たすべき条件を、ペアノの公理を参考に書いてみてください。
上記2つがなければ、「自然数」と「10」の大小が判断できません。

>>4はAより大きいとは言えない
「大きいとは言えない」とは「大きくない(等しいかまたは小さい)」と解釈していいですか？それとも「小さい(大きくないし等しくもない)」と解釈すべきですか？

>>178
順番は前後しますがまずこちらから
>>4はAより大きいとは言えない
ここで私が言いたいのは、集合と値の比較はしていないということです
公理系と値の比較もしていません

あくまで「全てのAの個々の値と値Xを比べてXはそれら全ての個々の値より大きい」ことをXはAより大きいと表現しました
比較を行っているのはあくまで全て値同士です。集合と値の比較はしていません

「全てのAの個々の値と値Xを比べて、Xはそれら全ての個々の値より大きい」場合以外は
XはAより大きいとは言えません。等しいかどうか、小さいかどうかは定義していません
つまり4はAより大きいとは言えず、等しいとも言えず、小さいとも言えません

わかりにくければ、「全てのAの個々の値と値Xを比べてXはそれら全ての個々の値より大きい」の解釈で読み替えていただければありがたいです

ここは下手に略した表現をしたこちらの問題かなと思います。すみません


>>以後、ZFの公理系を認めた上で議論する
はい。問題ないです。∃と∀の拡張を認めたうえであればという条件が付きますが。
∃と∀の拡張を認めたものをZFと呼んでいいかは私には判断がつきません

残りの項目はあと1日考えて回答します

>>178
公理について話をする前に、知っていたら教えてほしい
もしなければ一緒に考えてほしい問題があります

それは、進数とは何なのか、です

ペアノの自然数もZFもご存じと思いますが
ペアノの自然数でもZFでも進数の概念は定義されていません

数学ではX進数(通常は10進数)を前提とした議論もありますが
その進数という概念はいつ追加されて、どのような根拠や制約をもつのでしょうか


例えば底の変換は無条件にできるのか、何か制限はあるのか
X進数のXの範囲は有限なのか自然数と同値なのか自然数より大きくてもよいのか
個数が３しかない有限集合にX進数の概念は導入可能なのか自然数のみしかダメなのか。非可算集合にも導入できるのか
そもそも自然数の10は存在するのか
結局、進数の公理とはなんなんでしょうか。ないというのは乱暴な感じがします


私が探した範囲では進数の公理は見つかりませんでした(少なくとも日本語のwikiには見つけれませんでした)
>>178さんも普通の自然数の公理系で10を気兼ねなく使っていると思いますが、それはどういう根拠で使われているのでしょうか

>>179
とてもわかりやすい説明ありがとうございます。あなたの考えを理解できました。以後、
「全てのAの個々の値と値Xを比べてXはそれら全ての個々の値より大きい」とか
「Aの要素のうち最大の値よりXは大きい」などと書きましょう。

>> ∃と∀の拡張
とありますがこの意味がわかりません。
どんな論理式のどの変数に対しての∃(存在記号)や∀(全称記号)を考えているのですか？
参考としてwikipediaの∀の記事を引用しておきます。
「Px」という開論理式 (open formula) が与えられたとき、これが意味するところは「……はPである」ということだけで、これだけでは真偽が確定しない。そこで、「Px」に現れている自由変項「x」を量化記号によって束縛することにより、新たに閉論理式 (closed formula) が得られる。このような閉論理式は、しかるべき解釈を施すことにより真偽を確定することができる。一般に量化記号には、「全ての」を意味する全称記号「∀」と、「存在する」を意味する存在記号「∃」の2種類がある。このうち全称記号「∀」によって束縛した場合には「∀xPx」という閉論理式が得られ、これは「全ての（任意の） x について、x は P である」（より簡単には「全ての x は Pである」）という意味になる。

>>180
進数(進法、または位取り記数法)とは、自然数(ペアノの公理による)を表記する方法のひとつです。あくまで「表記方法」なので、位取り記数法によって自然数などの体系を定義しているわけではありません。
ペアノの公理によれば、ただ線を並べたもの
｜
｜｜
｜｜｜
｜｜｜｜
｜｜｜｜｜
｜｜｜｜｜｜
これらは自然数です。
ですが、おわかりの通りこのままではとても使いづらいので、自然数の要素に表記(数字)を対応させてわかりやすくしています。
wikipediaの位取り記数法のページに詳しく載っています。

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E5%8F%96%E3%82%8A%E8%A8%98%E6%95%B0%E6%B3%95

また、負の数や実数や複素数を含む位取り記数法の定義をwikipediaより引用しておきます

各用語の詳しい定義を紹介する。
0 を含む連続した整数の集合 z をとり、その元を位(あるいは桁)と呼ぶ。 特定の位をさしたいときには、0番位や 1番位と単位をつけることにする。 そして、任意の n∈z に対して空でない実数の有限集合 mn をとり、 その元を n番位の仮数と呼ぶ。そして、任意の n∈z に対して実数 Kn を定め、 この Kn を n番位の重み(あるいは意味)と呼び、 Kn+1/Kn を n番位の底(あるいは基数)と呼ぶ。 これらをもとに数を表す方法を記数法(あるいは位取り記数法)という ( mn の元や Kn は複素数でもよい)。 この z, mn, Kn による記数法をK進法(あるいは K進記数法)とする。

>>「自然数」と「10」の大小が判断できません

それを理解するには私の主張の全体像が見える必要があります
私の主張の構成について説明します

まず合意したい前提条件について説明します

�@自然数の公理により自然数を作成します。この公理系を公理系�@、そこに存在するすべての自然数を集合�@とします
�A進数の概念が導入され、暗黙的に進数の公理が追加されます。追加された公理を公理�Aとします
�B自然数の公理+公理�Aが、「X進数をサポートした自然数の公理系」です。
その公理系を公理系�B、そこに存在する全ての自然数を集合�Bとします

集合�@、集合�Bはどちらも自然数の公理を満たすので、どちらも自然数です
ここまでは全員の同意を得られると考えていたんですが...>>181をみると
ここですでにずれてますかね
とりあえずここの合意の段階では�Aの影響は0か極小であるととらえて問題なければそうしてください

以下私が考えたオリジナル要素を述べます
�C公理系�Bから公理系�@の集合�@にアクセスできる。これを法則�Cとする。
�D公理系�Bは公理系�@の真部分集合であり、公理系�@内で集合�B＜集合�@が成り立つ。これを法則�Dとする

この法則�Cは、概要しかみてませんがこのスレでおすすめされた超準解析の超準モデルとかなり似ています(違ったらごめんなさい)
ただ超準解析とは異なる部分もあります。
超準解析では、集合�@より大きい集合を考えることで、大きい自然数と小さい自然数を作ります(違ったらごめんなさい)
法則�Cは、集合�@より小さい集合�Bを考えることで、大きい自然数と小さい自然数を作ります

このスレででてくる「10」の値は、集合�Bには存在しないが集合�@内に存在します。

集合�Bが法則�C、法則�Dを持っているようにしか見えない(>>1)ので、
法則�C、法則�D⊂公理�Aです

以上が全体像になります。

集合�@を自然数と呼ぶか、集合�Bを自然数と呼ぶかで非常に迷って私は集合�Bを自然数と呼びました
これも人によっては混乱に拍車をかけたかなと思います

また私が∃と∀の拡張とよんでいるのは公理系外の要素を渡したときの動作です。
公理系�B内において、集合�B<集合�@となる別の公理系�@の自然数集合�@を公理系�Bで定義された∃と∀に渡すとどうなるかということです。

公理系�B内で集合�@を考えると、パターン�@か�Aになりますが
外延公理を生かしたいと思うので、私はパターン�Aを採用しています
パターン�@(公理系外のものも列挙できる)：∀(集合�@)=集合�@
パターン�A(公理系内のもののみ列挙できる)：∀(集合�@)=集合�B

>>183
>> �@自然数の公理により自然数を作成します。この公理系を公理系�@、そこに存在するすべての自然数を集合�@とします
ここでいう「自然数の公理」は「ペアノの公理」ということでいいですか？

>> �A進数の概念が導入され、暗黙的に進数の公理が追加されます。
たくさん書いていただいてすみませんが、この部分がわかりません。�Aがわからないので�Bがわからず、それ以降あなたのコメントのほぼ全てわかりません。あなたの考える「進数の公理」を、ペアノの公理を参考に具体的に書いていただけないでしょうか？
もしくは、「進数の公理」を新しく作りたいがどのようにすればわからない、という立場ですか？

>>184
>> また私が∃と∀の拡張とよんでいるのは公理系外の要素を渡したときの動作です。
「公理系外の要素」というのは「公理系によって定義される集合外の要素(つまり公理系を満たさない要素)」ということでいいですか？
また、「渡す」という考えがわかりません。
例として、自然数の集合に2.5を渡す(?)としても「2.5は自然数の条件(ペアノの公理)を満たさない」で完結します。何も矛盾はありません。

>>185
>>ここでいう「自然数の公理」は「ペアノの公理」ということでいいですか？
違います。
集合�@はペアノの公理でも構いませんが、集合�BはZFが必須のため
「自然数の公理」はZFです

>> �A進数の概念が導入され、暗黙的に進数の公理が追加されます。
まず、ペアノの自然数でもZFでも進数の概念は定義されていません
一般的には、進数はあくまで「表記方法」なので自然数に影響を与えることはないというのが通常の見方ですね
だから一般的には自然数を10進数で考えても問題ないとされています

私の主張は、進数という概念が自然数に重大な影響を与えているというものです
この主張が理解できないのか、理解はできるけど賛同できないのかがわからないので
そこを伝えてほしいです


>>「進数の公理」を新しく作りたいがどのようにすればわからない、という立場ですか？
スレ立て当初の思惑だと、集合�Bの存在と、それがZFを満たせば十分と思っていました
そのストーリーの場合、「進数の公理」は存在だけ示せばよく、それが何かを示す必要がありません。このため私からは最後まで「進数の公理」を出すつもりはありませんでした

スレ立てしてよかったと思うのは、「進数の公理」を出すのはやっぱり必要かなと考えが変わってきたことです。
ただ元々必要ないと思ってきた項目なので、今は用意していません
手伝ってもらえたらありがたいです

少し考えてみた感じだと、おそらく公理系�Bからは公理�Aは証明できません
やるとするなら超準解析や強制法が必要だと思いますが、私がそれを使ってやるなら2年くらいはかかりそうな感じです

公理系�@からだったら簡単そうなのでそちらのアプローチを考えてますが
何度か修正しつつという感じになると思います

>>�Aと�Bについて
ここで出すべき例は、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学です
(こちらも概要しか知りませんので間違ってたらごめんなさい)

ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学は、どちらも共通の4つの公理を満たすという意味で同じものです。
厳密には間違ってますがここではわかりやすさを重視して、非ユークリッド幾何学は4つの公理しかもっていないとしましょう
ユークリッド幾何学の公理 = {A, B, C, D, E}
非ユークリッド幾何学の公理 = {A, B, C, D}

ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の差は、公理Eがあるかどうかだけです

それぞれの公理系で「全ての三角形」を列挙します
ユークリッド幾何学 = {平面の三角形}
非ユークリッド幾何学 = {平面の三角形, 曲面の三角形}

当然ユークリッド幾何学では、 曲面の三角形が列挙されません
これは、公理Eを追加することより三角形の個数が減った(曲面の三角形がなくなった)ことを意味します

では、(4つの公理というインターフェースから見て)全て三角形の集合である{平面の三角形, 曲面の三角形}の集合の中にある全ての三角形を、ユークリッド幾何学で列挙します
∀{平面の三角形, 曲面の三角形} = {平面の三角形}
当然、ユークリッド幾何学内では平面の三角形しか列挙されません
入力値には曲面の三角形が含まれますが、
ユークリッド幾何学で「全ての三角形」を列挙すると曲面の三角形が消えます

このユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の関係と同じことを自然数にも適用します。ここで重要なのはロジックのみです。実際に{自然数A、自然数B}の2種類の自然数があるかどうかは別問題です。
ここでは2種類の自然数があるとして読んでください。

まずこのロジックが正しいかどうか、そしてこのロジックを自然数に適用できるかの2段階のステップで考えてください。
ロジックを自然数に適用できるかは、このロジックを理解していただいた後に議論しましょう

公理系�Bは、公理系�@に「新しい公理」を加えたものです
公理系�@の公理 = {自然数の公理}
公理系�Bの公理 = {自然数の公理、新しい公理}

それぞれの公理系で「全ての自然数」を列挙します
公理系�@ = {自然数A、自然数B}
公理系�B = {自然数A}

公理系�Bの公理では、 自然数Bが列挙されません
これは、「新しい公理」を追加することより自然数の個数が減った(自然数Bがなくなった)ことを意味します

では、自然数の集合である{自然数A、自然数B}の集合の中にある全ての自然数を、公理系�Bで列挙します
∀{自然数A、自然数B} = {自然数A}
当然、公理系�B内では自然数Aしか列挙されません


>>例として、自然数の集合に2.5を渡す(?)
この例を使うなら、自然数の公理系において、
集合Aの全ての値を列挙することを考えます
A={1, 2, 2.5, 3, 3.5, 4}

自然数の公理系において、値とは自然数のことなので、
「全ての値」は自然数のみが列挙されます
∀A={1, 2,　3, 4}

>>186〜>>188
あなたの主張の雰囲気は伝わってきました。しかし厳密な部分がわかりません。

>> 「自然数の公理」はZFです
この時点でわかりません。ZFの公理は「集合」とは何かを定めるルールです。有理数全体も、実数全体も、複素数全体も、｛BTSのメンバー｝もZFの公理を満たします。あなたはこれら全てを「自然数(集合�@)」として捉えるのですか？

>> 集合Aの全ての値を列挙することを考えます
>>A={1, 2, 2.5, 3, 3.5, 4}
上記と同様に、あなたはこのAを自然数と捉えていますか？

上の２つの質問の応えがどちらもyesなら、それはもはや一般の自然数ではないので、混乱を避けるために「自然数」という表現をやめるのが賢明ですがどうでしょう。


>> 私の主張は、進数という概念が自然数に重大な影響を与えているというものです
この主張が理解できないのか、理解はできるけど賛同できないのかがわからないので

理解できません。「重大な影響を与えている」とは、進数という概念が、ペアノの自然数の公理に何かを付け足しているということでいいですか？
一般的には、前にも書きましたが、進数(位取り記数法)とはあくまで表記法なのでペアノの公理とは無関係です。もちろん私も同意見です。
この一般論を覆そうというのがあなたの目的だが、肝心の「進数の公理」はまだ用意できていない。
というのがあなたの今の立場ですね？

>187と>>188についてはもう少し考えます。

>>189
うーん
このレスを見る限り、>>1を理解していない感じがします。それらの回答は>>1にあるので先にそちらを解決したいです

>>1を見た上で、これらについて教えて欲しいです
もちろん普通の自然数、普通の解釈で構いません

・自然数とx進数の数はどちらが多いですか？
・自然数進数は作れますか？
・自然数進数が作れる場合、自然数進数の10とはなんなんでしょう
・進数では底の変換によりどこまでも大きな進数に変換ができますが、その上限はどこでしょう

一応もう一つおまけで
・全ての自然数は1桁の数で表記できる
これが真か偽かもお願いします

1桁の数というのは要するにただユニークな単一の値であればいいんですが、ペアノの自然数が要求しているのが全く同じくユニークな単一の値であることです

>>190
はい、私は>>1を理解していません。というより、>1の
>> 自然数進数は「全ての自然数」種類の符号を使用する数です。
>>全種類の符号の個数は可算無限個(10進数)、つまり10個(自然数進数)になります
この表現が曖昧なので定義になっていないと考えます。無限集合をどう扱うのかの具体的な記述が必要です。(1対1対応、数学的帰納法、イプシロンデルタ論法などがあります)
>>それらの回答は>1にあるので
とのことですが、>1を読んでも私の質問の回答になっているとは思えません。


あなたの>>190>>191の質問に応えるので、あなたも私の質問に応えてください。

>>・自然数とx進数の数はどちらが多いですか？
xは自然数として捉えます。どちらも無限集合なので、要素の個数では多い少ないを比べることができず、濃度を比べることになります。自然数とxの間に1対1対応が存在します。よってどちらの濃度も等しいです。(加算無限集合)

>>・自然数進数は作れますか？
その質問の解釈によります。
「>1によって定義された自然数進数によって(一般の)自然数を表現できるか？」という意味なら、上記の通り私は>1を自然数進数の定義として不十分だと考えているので応えられません。
「>1とは関係なく、自然数進数という表記を定義できるか？」という質問なら、それは可能です。
実際にやってみると、
2以上の自然数xに対し、x進法によって表される数を自然数進数と呼ぶ。(x進法については>>182参照)
となります。

>>・自然数進数が作れる場合、自然数進数の10とはなんなんでしょう
上の質問と同様です。私は>>1を自然数進数の定義として不十分だと考えているので応えられません。
上ので私の作った自然数進数であれば、
任意の自然数xに対して、自然数進数、つまりx進法によって表される10はxを意味します。

>>・進数では底の変換によりどこまでも大きな進数に変換ができますが、その上限はどこでしょう
ここでの進数を「x進法表記(xは2以上の自然数)」すと捉えます。最初の質問と同様、x進法表記(の集合)と自然数はどちらも加算無限集合なので、上限はありません。

・全ての自然数は1桁の数で表記できる
真です。>>169の通りです。
自然数の(有限)部分集合Aを
A=｛0,1,2,・・・,n｝で定める。
Aの要素に対する表記が1対1で存在する。
この表記を(n+1)進表記と呼ぶことにする。
Aの全ての要素は(n+1)進表記で1つの記号で表せる。
これは(1以上の)任意の自然数nで成り立つ。

次にこちらの質問を並べるので応えてください。
>>189の質問の再掲です

・有理数全体も、実数全体も、複素数全体も、｛BTSのメンバー｝もZFの公理を満たします。あなたはこれら全てを「自然数(集合�@)」として捉えるのですか？

・>> 集合Aの全ての値を列挙することを考えます
>>A={1, 2, 2.5, 3, 3.5, 4}
上記と同様に、あなたはこのAを自然数と捉えていますか？

・一般的には、進数(位取り記数法)とはあくまで表記法なのでペアノの公理とは無関係です。
この一般論を覆そうというのがあなたの目的だが、肝心の「進数の公理」はまだ用意できていない。
というのがあなたの今の立場だということでいいですか？

>>194
ありがとうございます
>>1の問題を共有できていなかったということですか
ここで確認しといてよかったです。

>>・有理数全体も、実数全体も、複素数全体も、｛BTSのメンバー｝もZFの公理を満たします。あなたはこれら全てを「自然数(集合�@)」として捉えるのですか？
ここは勉強不足もあり、多分私の認識が間違っていたと思います。
指摘ありがとうございます
ただ大筋は変わりません。この質問はNoです。
公理�A(進数の公理)によって、集合�B(自然数進数)は、集合�@(ペアノの公理)の真部分集合(もしくは同等のもの)であると規定されると考えています。
それにより集合�Bは自然数です。
集合�Bはペアノの公理によってではなく、その部分集合という意味で自然数です

>>A={1, 2, 2.5, 3, 3.5, 4}
>>上記と同様に、あなたはこのAを自然数と捉えていますか？
明確に初めからNOです。
これは別の公理系(有理数とか実数とか)の公理系にある集合です
それを無理やり自然数の公理系内で∀Aするとどうなるか、という問題です

>>・一般的には、進数(位取り記数法)とはあくまで表記法なのでペアノの公理とは無関係です。
>>この一般論を覆そうというのがあなたの目的だが、肝心の「進数の公理」はまだ用意できていない。
これは半分yes
少なくとも現時点では、>>1が進数が自然数に対して「重大な影響を与えている」証拠だととらえています。その論旨でいえば問題が解決するなら「進数の公理」は必ずしも必要ありません。
それはそれとして、「進数の公理」はあったほうがいいとは考えています


回答いただいたものは後でじっくり見ようと思いますが一つだけ
全ての自然数のはずが、任意の自然数にすり替わっていますが、全ての自然数にできない理由はありますか？
>>・全ての自然数は1桁の数で表記できる
>>これは(1以上の)任意の自然数nで成り立つ。

>>全ての自然数のはずが、任意の自然数にすり替わっていますが、全ての自然数にできない理由はありますか？
ありません。この場合「全ての自然数」と「任意の自然数」は同じ意味だと捉えています。
そのような質問をなさるということは、あなたはこの二つに違いがあると捉えているのでしょうか。

>> 少なくとも現時点では、>>1が進数が自然数に対して「重大な影響を与えている」証拠だととらえています。その論旨でいえば問題が解決するなら「進数の公理」は必ずしも必要ありません。
すみません、全くわかりません。>>1の内容が曖昧であることと、「重大な影響を与えている」がどういう意味で使われているのかわかりません。
>>189の再掲ですが
「重大な影響を与えている」とは、進数という概念が、ペアノの自然数の公理に何かを付け足しているということでいいですか？

>> ただ大筋は変わりません。この質問はNoです。
>>明確に初めからNOです。
では>>183に戻ります。
>> �@自然数の公理により自然数を作成します。この公理系を公理系�@、そこに存在するすべての自然数を集合�@とします
あなたはこの「自然数の公理」はZFだとおっしゃいました。(>>186)そしてそのZFによって定められる集合は「自然数」とは捉えていないとおっしゃいました。(>>195)
つまり>>183の�@(の「自然数」という部分)を訂正する必要があるということになりますがいかがでしょう。

183,184,187,188,195あたりを読んで推測するに、あなたの言いたいことは積集合(A∩B)のことだと思われます。
A=｛有理数全体の集合｝
B=｛自然数全体の集合｝とすると
AとBの積集合(A∩B)=B です。
さらに
C=｛正の偶数全体の集合｝とすると
BとCの積集合(B∩C)=Cです。
「∃と∀に渡す」「∃と∀の拡張」「無理やり自然数の公理系内で∀Aする」などのよくわからない言葉を使う必要はありません。
それでもなお
>>171
>>だから集合論で説明できてもこのアプローチをやめる気はありません
というつもりなら、あなたの考える「進数の公理」 を具体的に示した上で、183,184,187,188,195の内容を練り直してください。現状では、集合論で説明がつく、で終わりです。

>>196,
>>「>1とは関係なく、自然数進数という表記を定義できるか？」という質問なら、それは可能です。
半分ネタのつもりだったかもしれませんが、それで問題ない気がしてきました。
あなたの作ってくれた「自然数進数」は、
10より大きい自然数が存在し、10に対しての演算が自然数として何も問題なくできます
多少手を加えたい部分もありますが、あとで修正すればいい程度の差だと思います

>183　の集合�Bの作り方はあなたがだしてくれた「自然数進数」ほぼその通りです(>1の要素がないので、全く同じではない)
その集合を公理�@の世界で見れば、集合論で説明がつくただの部分集合です。


それを認めたうえで、以下はおそらくNoです
>>現状では、集合論で説明がつく、で終わりです。

それ以外、>196, >197で指摘していただいた事項はどれも>1を前提としたものなので
>1を考慮していない指摘に意味はないです

この見解の相違の原因は、>1の有無です。
一番重要な要素を無視して議論してもすれ違うのは当然です
私が>1の間違いに気づくか、あなたが>1を理解しないと議論が先に進むとは思えません

というわけで、>>1の何が曖昧で、何が問題なのか教えてもらえないでしょうか。ただ曖昧だといわれるだけだと、何が問題なのか皆目見当がつかないのです

>>1を表現するためのいくつかのアプローチでだしていくので、都度指摘していただけたらありがたいです。

>>182　で出してもらった例ですが
自然数とはペアノの公理によれば、ただ線を並べたものです
｜
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｜｜｜｜｜
｜｜｜｜｜｜
「線」という表記が存在していますので、
全く何も変えずこの「線」の表記を全て使った進数をつくります。(0，1、2みたいな一般的な符号に置き換えるのではなく線自体を符号として使います)
私は作れると思うのですが、作れない理由、もしくはあいまいな点について、ヒントだけでも教えてもらえないでしょうか

>>182 でペアノの自然数そのままの線の表記は使いにくいとありましたがとんでもない
ことこの話題に限り、これ以上使い勝手のいい表記はありません

自然数と同じ数であり、存在が自然数により保証されている最高の表記です

>196 さんが忙しそうなので、>>1が成立すると何が起こるかを説明していきます
>>1だけで自明かなと思ってたんですが、どうやらそうではなさそうなので。


その前段階として、数学内にある、誰でも見つけることができる矛盾について説明します。

矛盾とはある命題Pがあるとき
�@Pが真である
�APが偽である
�@かつ�Aが同時に成り立つときに矛盾と呼びます。

実は誰もがよく使う、ある命題は矛盾しています。
それは、「AとBは同じである」という命題です

実際にAとBの「値が」同じであるとき
�@「AとBは同じである」は真(値が同じなので)
�A「AとBは同じである」は偽(A,Bを別のものとして認識しているので)
�@かつ�Aが同時に成り立ちます

実際上記は矛盾なのですが、簡単に解消することができます
�@「AとBは値が同じである」は真
�A「AとBは符号が同じである」は偽
このように、常に何が同じかを明記して場合分けすれば、矛盾が解消します

しかし、「値が」なんて絶対書きたくない、
「AとBは同じである」とかいて矛盾を解消しろというわがままな人たちがいました
そこでひねり出したのが、公理系を分けることです
�@(値を扱う公理系で)「AとBは同じである」は真
�A(符号を扱う公理系で)「AとBは同じである」は偽
このように、公理系を分けてしまえば判定する基準が別になるので
その公理系の中では一意の答えとなり、矛盾が解消します
(一応厳密な話をすると、「AとBは同じである」という命題は間違いで、「{A,B}のサイズは1である」といった命題にする必要があります)

他の例だと素朴集合論と公理的集合論も、矛盾が発生したせいで別の公理系に分離されています
矛盾が発生したらその公理系はダメになるというイメージが強いですが、
実際には公理系を分けるというのが対策としてセオリーです

値と符号を二つの公理に分けることで、ある疑問がわきます

値の公理系にある自然数と、符号の公理系にある自然数
どちらが大きいの？という疑問です
>>1の自然数進数はまさにそこを問う問題です
自然数(値)と、自然数(符号)はどちらが多いのか？
進数を導入するにあたり、結局その疑問に答えなければいけません


値と符号はそれぞれ別の公理系のためそこに答えはなく
本来は場合分けが必要です。
無理やり比較しても明確な基準なんてないので、
その命題は矛盾を引き起こします

結果生まれたのが10にまつわる矛盾です
�@10より大きい自然数がある　は真
�Aすべての自然数より10は大きい(>>1)　は真

これが進数を導入したことによる「重大な影響」です
進数を導入すると、自然数は矛盾します

遅くなってすみません。年末年始も時間がとれず返事が遅くなると思います。あしからず。

>>一番重要な要素を無視して議論してもすれ違うのは当然です
同意見です。少し歩み寄れた気がします。

>>198 前半
概ね同意です。前にも書きましたが、進数(進法、または位取り記数法)とは、自然数(ペアノの公理による)を表記する方法のひとつです。あくまで「表記方法」なので、 自然数の各演算は当然行えます。

>> 私が>1の間違いに気づくか、あなたが>1を理解>>しないと議論が先に進むとは思えません
正確には私の立場は、>1の内容は曖昧なので間違っているとも正しいとも言えない、です。

あなたの立場をはっきりさせたいので質問に応えてください。
・>>1は「(あなたの考える)自然数進数」の定義として完全で絶対的なものと考えている　yes/no
・「重大な影響を与えている」とは、進数という概念が、ペアノの自然数の公理に変更や追加をしているということである　yes/no

>>1の何が曖昧で、何が問題なのか教えてもらえな>>いでしょうか。
それは>>192で伝えています。
>>全種類の符号の個数は可算無限個(10進数)、つまり10個(自然数進数)になります
この表現が曖昧なので定義になっていないと考えます。無限集合をどう扱うのかの具体的な記述が必要です。(1対1対応、数学的帰納法、イプシロンデルタ論法などがあります)

補足説明します。
「自然数」という言葉は、「自然数の集合」を指すこともあれば、「自然数の集合の要素」を指すこともあります。
「自然数の集合の要素」から任意にひとつ(x)を取り出し、これを基数(底)として「x進法」を定める。これに関しては互いに異論はないと思います。
ですが、「自然数の集合(加算無限集合)」を基数とする位取り表記法を定義するには、上の方法では不十分です。

>>「線」の表記を全て使った進数
すみません、言っている意味がわかりません。
「全て」は「線」にかかっているようですが、ここでは「線」しか出てこないはずなので「全て」という言葉は必要ない気がします。ですが、「線」の表記を使った進数、と言われてもよくわかりません。
あなたの望む回答になっているかわかりませんが、私の見解を書いておきます。「線」をn個並べたものがnを表す(nは通常の意味での自然数)とし、この表記を「1進数」と名付ければ、「線」のみで表される進数ができたことになります。

>>203
私も年末年始はちょっとレス返せるかわかりません
無理はしないでくださいね
付き合ってくれるのはありがたいです

>>あくまで「表記方法」なので、 自然数の各演算は当然行えます。
私の主張は「表記方法」である進数自身を対象としています。
あなたはどうも、表記方法を適用した「値」を対象としているように見えます。
ここをもう少し掘り下げたいですね

質問については、>>1を理解していない時点では意味がないと思いますが一応答えます
・>>1は「(あなたの考える)自然数進数」の定義として完全で絶対的なものと考えている
そこまで念押しされるとNOですかね。主旨さえ変わらなければ定義の仕方を変えてもいいし、必要が有れば足してもいいです。そのあたり特にこだわりは無いです
でもあなたの指摘が何を言っているのかよくわからないです
間違っているという指摘なら問題が明確になるのですが…

・「重大な影響を与えている」とは、進数という概念が、ペアノの自然数の公理に変更や追加をしているということである　yes/no
No
直接影響は与えません。問題を解決するには、何らかの修正を加えるのが自然だというだけですね
例えば、表記方法である進数は自然数より常に大きい実数濃度であることを認めるなら特に修正は必要ないですが、それは認めないですよね

>>204
>>「線」の表記を全て使った進数
やっぱりここが核な気がします

進数は２個以上の符号を集めて作る記法です
符号についてはユニークであれば何を使ってもよい
それ以外に条件があるなら教えてください

例えば下記�@、�A、�Bは10個の符号があるので、10進数が作れます(�Bの488は３桁の数ではなく３文字まとめて一つの符号です)
�@ = {c,x,b,m,3,8,f,j,e,:}
�A = {あ,ｓ,く,え,ｈ,げ,ｐ,ご,：,ん}
�B = {3,5,488,51,70,0.9,6,201,4,35}


ペアノの自然数で作られた「線」ですが
ペアノの自然数に限らず自然数では、異なる自然数が異なることが判別できなければいけません。nとn+1、n+2はそれぞれ当然区別がつきます(その相違点を符号として使います)
>>182　では正直線の長さなのか、線の数なのか、線の位置なのかどれを指しているのかはわかりませんでしたが、区別がつくということは自明です
なのでこの線の表記で10進数は当然作れます
線で表現された自然数10個の集合を符号にすれば良いです
�C(線の数) = {|,||,|||,||||,|||||,||||||,|||||||,||||||||,|||||||||,||||||||||}
�D(線の長さ) = {-,--,---,----,-----,------,-------,--------,---------,----------}
�E(線の位置) = {-, -, -, -, -, -, -, -, -, -}

�@〜�Eでそれぞれ10進数を作って72を表現すると
72(10進数)=jb(�@進数)=ごく(�A進数)=201 488(�B進数)=||||||| |||(�C進数)=-------- ---(�D進数)= - -(�E進数)
進数は1桁の数については符号はなんでも良いですが、2桁以上の数については符号の組み合わせのルールが決まっています

線の表記で1進数しか作れないのか、X進数が作れるのかで意見が割れましたので
ここを詰めればかなり理解が進みそうですね

>>204
>>「自然数の集合の要素」から任意にひとつ(x)を取り出し、これを基数(底)として「x進法」を定める。これに関しては互いに異論はないと思います。

読み返してみると、これには異論があります
この方法では、x進数のx種類の符号が未定義であいまいです。

x進数の作り方としては、上記の流れだと下記の�@〜�Bの手順となります
�@x進数を作ることを決める
�Ax個の符号の集合を作る
�Bx進数を作る

どう考えても�Aは必須ですが>>204の方法では�Aが抜けています
�@は必須ではないです
ただx個の集合があれば、個数は全射∀で数えればよいので
�@の工程を踏まずに問題なく作れます
それを説明したのが>>1です。

N進数で必須の要件は>>182でだしてもらったリンクにも書いてあります
>>N 進法とは、数の表現方法の一種で、あらかじめ定められたN 種類の記号（数字）を列べることによって数を表す方法である。

N 種類の符号（記号）はあらかじめ用意しておかなければいけません
それが唯一といってもいいN進数の必須の要件です
>>「自然数の集合の要素」から任意にひとつ(x)を取り出し、これを基数(底)として「x進法」を定める。
この方法では、N 種類の符号が用意されていません

そういう目で見ると、>>169も>>193もおかしいですね
自然数の部分集合Aを作るところまではいいですけど、その後未定義の表記と1対1対応させてます
その表記はどこから生まれたんでしょうか
>>206でランダム符号を外延的に採用しましたが、とてもn進数に拡張できる気はしません
実際には底の変換があるので、n進数だけではなくn+1進数に対応できなければいけません
どんなn進数, n+1進数にも対応できる符号というと…自然数そのものを使うのが一番無難な選択です。その例が例えば>>206の�Cです

それを認めない>204さんは、>1の自然数進数どころか、ただのn進数も作れていないように見えます

明けましておめでとうございます。
日々の生活が元に戻りそうなのでぼちぼち返信します。

まず、数学における「符号」とは、「+」(プラス、正の符号)と「-」(マイナス、負の符号)の２つしかありません。誤解がなくなるよう、あなたの言う「符号」は、「記号」や「数字」と言い換える方が良いでしょう。

>205
すみません、全体的に私の望む応えになっていませんでした。
私が確認したいことは、
もし既存の公理(ペアノやZF)と>1の間に矛盾が生じたとき、その回避法として、既存の公理を修正するのか、>1を修正するのか、どちらなのかをはっきりさせるということです。
私の推測ですが、あなたのしたいことは、
>1の内容は完璧ではないかもしれないが、>1の方針を貫いたまま、既存の公理を崩してでも「自然数進数」というものを作りたい。
ということだと思いますが、いかがでしょう？

>>206
全体的に同意見です。
>> 線の表記で1進数しか作れないのか、X進数が作れるのかで意見が割れました
あなたの言う通り、線の表記で1進数もX進数も定義できます。意見は割れていません。
(本題とは逸れますが、�Cの表記法で表された「| |」が、「2」なのか「11」なのかわかりにくいので、隙間を調整するなどの工夫で回避すれば問題なく定義できます)

>>207
>>この方法では、x進数のx種類の符号が未定義であいまいです。
それについては>169で説明しているので省略しました。誤解を招きすみません。
>>169
自然数の(有限)部分集合Aを
A=｛0,1,2,・・・,n｝で定める。
Aの要素に対する表記が1対1で存在する。
この表記を(n+1)進表記と呼ぶことにする。
Aの全ての要素は(n+1)進表記で1つの記号で表せる。
1対1対応の記号を具体的に定めるのであれば、あなたの>>206の�D(線の長さ)で十分です。他にも正の字をつなげて書いたものや、三角形をつなげて書いたものなどが考えられます。

私が今確認したいことは以下の2つです。
回答をお願いします。

もし既存の公理(ペアノやZF)と>1の間に矛盾が生じたとき、その回避法の方針はどれか
・既存の公理を修正する
・>1の内容を修正する
・どちらも修正する
・どちらも修正せずに矛盾を回避するルールを探す
・上のうちどれか特に決めていない

あなたの>1による「自然数進数」の「自然数」は何を指すのか
・自然数全体の中から任意に一つ選んだ要素(値)
・自然数の集合(加算無限集合)
・そのほかの何か

>>210
明けましておめでとうございます。

線の表記を認めたことは一歩前進ですが、まだまだ理解は遠いですね...
理解したうえでの意見をぜひ聞いてみたいです

符号→記号については、以降記号に変更します

>>もし既存の公理(ペアノやZF)と>1の間に矛盾が生じたとき、その回避法の方針はどれか
矛盾というのはほとんどの場合、区別しなければいけないものを区別できていないときに発生すると考えています
このため私の意見は>>201にある通り、矛盾が発生したら2つの公理系に分ける必要があると考えます
今回の場合でいうと、ペアノの自然数と、進数を適用した自然数の区別が必要なら別の公理に分ける必要があるというのが私の主張ですね

問題は、これがあなたが提示した選択肢のどれに当たるかわからないことです
どれも当てはまる気がするし、どれも違う気がします
私の主観でいいなら、「どちらも修正せずに矛盾を回避するルールを探す」です

また、方法論でいうと、例えば自然数にある+(自然数のみ扱える)と整数の+(自然数と負数が扱える)は別の意味を持つとも言えますが、
自然数の+　→　整数の+　を修正と呼ぶなら「どちらも修正する」が値するかなと思います

>>あなたの>1による「自然数進数」の「自然数」は何を指すのか
これは、「自然数は10個しかない」という文の自然数ですよね
それなら自然数の集合(可算無限集合)の個数です。

ここで注目すべきは自然数ではなく、「10個」のほうだと思いますよ
まずは進数について考えてみてください。
自然数進数の10は自然数ではなく具体的な表記の10(>>206の�Dなら--　-)であり、ある意味自然数とは無関係であることが重要です
あなたも何度も言っている通り、進数はあくまで表記であり自然数とは直接関係ない
この段階で自然数進数の10を自然数だと思って読むと誤読します
この進数を自然数に割り当てる前に、この進数の10という表記が(表記の世界で)存在するかどうか、そこがまずは焦点です。あなたはずっと自然数の話をしていますが、ここでは私は表記の話をしています

その進数を別の集合に割り当てれば、10が存在したりしなかったりとなりますが
ややこしくなるので、いったん進数までで話をとめましょう

>>・全ての自然数は1桁の数で表記できる
>>真です。>>169の通りです。
>>A=｛0,1,2,・・・,n｝で定める。
>>Aの要素に対する表記が1対1で存在する。
>>この表記を(n+1)進表記と呼ぶことにする。
>>Aの全ての要素は(n+1)進表記で1つの記号で表せる。

こちらですが、あなたがそもそも>182で、自然数は線だと定義しました。私もそれをイメージしています
>>ペアノの公理によれば、ただ線を並べたもの
そうであれば、自然数の(有限)部分集合Aは、普通に作れば線の集合になります
A=｛|,||,|||,・・・,n}
これは>206の�Cと全く同じです。>206の�Cを割り当てるのは問題ないんですよね？
なぜAをそのまま進数の表記の集合として使わず、別の記号を割り当てるんですか？
Aの表記を(n+1)進表記と呼ぶというのが、できない理由がありますか？

全ての自然数は1桁の数で表記できるのが真を認めるということですが
念のため言い方を変えて、全ての自然数を1桁に変え切って、2桁以上の数がない状態にできますか？
2桁以上の数がない状態にできた場合は、ペアノの自然数の集合と同じ表記の集合になりますね
ペアノの自然数(線の自然数)では、2桁の数が作れないので

ついでに底の変換についても触れてみましょうか

2進数の1は底の変換により2+1=3進数の1に変換できます
同様に4進数の1に変換できます
同様に5進数の1に変換できます
...
同様にn進数の1に変換できます

同様にどんなn進数の1からも、n+1進数の1に変換できます

進数の個数が有限ならば、最大値があるはずですよね
一番大きな進数は何進数でしょうか？2進数の1を知っているなら答えられますよね

>>212
>> これは、「自然数は10個しかない」という文の自然数ですよね
いいえ。「『自然数』進数」の『自然数』はどう言う意味で使っているかを確認したいのです。

>> 今回の場合でいうと、ペアノの自然数と、進数を適用した自然数の区別が必要なら別の公理に分ける必要があるというのが私の主張ですね
>>自然数進数の10は自然数ではなく具体的な表記の10(>>206の�Dなら--　-)であり、ある意味自然数とは無関係であることが重要です
>>この段階で自然数進数の10を自然数だと思って読むと誤読します
なるほど、あなたの>1で言う「自然数進数の10」は(ペアノによる)自然数ではないということでしたか。それなら全て納得です。集合や表記法を自由に決めてもらってかまいません。あなた(製作者)が「存在する」と言えばその表記法は存在します。

以下、誤解を避けるため、||や|||などを一つ(一桁)の記号として認識する、と明記しておきます。
>>213
>> これは>206の�Cと全く同じです。>206の�Cを割り当てるのは問題ないんですよね？
はい、問題ありません。

>>なぜAをそのまま進数の表記の集合として使わず、別の記号を割り当てるんですか？
Aをそのまま進数の表記の集合として使って問題ありません。

>>Aの表記を(n+1)進表記と呼ぶというのが、できない理由がありますか？
ありません。

>>念のため言い方を変えて、全ての自然数を1桁に変え切って、2桁以上の数がない状態にできますか？
できます。

>>214
>> 進数の個数が有限ならば、最大値があるはずですよね
>>一番大きな進数は何進数でしょうか？2進数の1を知っているなら答えられますよね
「進数」は表記法なので大きいも小さいもありません。「進数」の底(基数)の大小で比べる(例えば2進数より3進数の方が大きい)という意味と捉えて答えます。
(1進数から数えて)進数の個数が有限の時、その最大値が存在して、これをNとする。このとき一番大きい進数はN進数です。

つまり
10進法でNまでの自然数の個数は、N＋1進法のもとでは10個になる。
ってことだろ

>>215
なるほど。自然数進数の自然数ですか。
そんな造語に突っ込んでもと思いますが、この単語は「全ての自然数」を使うから付けたのでもちろん自然数の集合の意味です

ひとまず最初のステップである自然数進数の10は自然数ではないことが理解できて何よりです。

残念ながら以下はNOです
>>「自然数進数の10」は(ペアノによる)自然数ではないということでしたか
私が言ったのは、自然数の公理系の中にある数ではないということで、ペアノによるものではないとは言っていません

自然数進数の10は、表記の世界の中で、ペアノの公理により構成された自然数かつ、進数が適用された数です
進数なので当然、底の変換によりもっと大きな進数に変換できます。もちろん表記の世界の中で
その場合自然数進数の10は1桁の数字になります。もちろん表記の世界で

ここまではまだ表記の世界です

>>216
ニュアンス的にはそんな感じです
複数の公理系の中にそれぞれ自然数を定義したとき、どちらかの方が多いと規定しても矛盾は起きないはずです。
別の公理系なので

非負整数 n ごとに新しい記号 C_n を1つずつ作っておく。
超実数体 R^* において、無限大超実数 ω を1つ固定する。

任意の有限個の自然数 n_0,n_1,…,n_k に対して、
C_{n_0}C_{n_1}…C_{n_k} という記号列を考え、

C_{n_0}C_{n_1}…C_{n_k} ：＝ n_0＋n_1ω^1＋n_2ω^2＋…＋n_kω^k

と定義する。この定義のもとでは、C_{n_1}C_{n_2}…C_{n_k} は超実数である。
具体的には、一桁の C_n が表現する値は非負整数の n であり、
二桁以上の C_{n_0}C_{n_1}…C_{n_k} が表現する値は何らかの無限大超実数となる。

また、

C_0C_3 ＋ C_1 ＝ C_1C_3

C_8C_1 ＋ C_3 ＝ C_11C_1

C_0C_1 ＋ C_0C_1 ＝ C_0C_2

C_0C_1 ＋ C_2022C_2022C_4 ＝ C_2022C_2023C_4

などが成り立つ。

つまり、自然数進法が、桁ごとの計算による代数的構造も含めて
超実数体の中に実装可能である。

このことから、>>1の提唱する自然数進法に、数学的に面白いところは特にないと言える。

>>219
ちゃんと考える前に3つだけ教えてください

�@それはZFを満たしますか？
�Aそれを自然数と一対一対応させると必ずどこかで2桁の数と対応するということでいいですか
�Bそれと自然数の偶数を一対一対応させることはできますか？またそれで自然数の偶数の総数を数えると偶数の個数は何個になりますか？

いつの間にか名前付け忘れたりしてたけど
まあわかるよね。なるべく忘れないようにします

>>217
>> そんな造語に突っ込んでもと思いますが
造語だからこそ、どの人にも意味がわかるように詳しい説明が必要です。曖昧な意味の造語を使われ続けても理解は進みません。

>>この単語は「全ての自然数」を使うから付けたのでもちろん自然数の集合の意味です
なるほど。では次の確認です
2進数の底(基数)は2であり、
3進数の底(基数)は3であるように、
自然数進数の底(基数)は「自然数の集合」ということでいいですか？

>> ひとまず最初のステップである自然数進数の10は自然数ではないことが理解できて何よりです。
>> 私が言ったのは、自然数の公理系の中にある数ではないということで、ペアノによるものではないとは言っていません
>> 自然数進数の10は、表記の世界の中で、ペアノの公理により構成された自然数かつ、進数が適用された数です
すみません、混乱するので以下の質問にはっきりと答えてください。
�@(表記の世界の外で)自然数進数によって表された10は、「進数を適用した自然数」ではない。yes/no/どちらとも言えない
�A(表記の世界の外で)自然数進数によって表された10は、「ペアノの公理を満たす自然数」ではない。yes/no/どちらとも言えない

>>223
>>2進数の底(基数)は2であり、
>>3進数の底(基数)は3であるように、
>>自然数進数の底(基数)は「自然数の集合」ということでいいですか？
なるほど。あなたに対する返答としてはNOです

2進数は2種類の記号の集合を必要とし、2進数の底(基数)はその記号の集合のサイズです
3進数は3種類の記号の集合を必要とし、3進数の底(基数)はその記号の集合のサイズです
自然数進数は全ての自然数種類の記号の集合を必要とし、自然数進数の底(基数)はその記号の集合のサイズです


>�@(表記の世界の外で)自然数進数によって表された10は、「進数を適用した自然数」ではない。yes/no/どちらとも言えない
>�A(表記の世界の外で)自然数進数によって表された10は、「ペアノの公理を満たす自然数」ではない。yes/no/どちらとも言えない
私が答えるなら当然答えはどちらもyes。自然数ではない
ただあなたは>1を理解していない。
>1を理解していないという前提を加えるなら答えはNO。どちらも自然数です
結局質問が悪くて答えられないです。
無理やり答えてもあなたが混乱するという結果しか引き起こさないように見えます



私からもどうしても答えてほしい質問があります
あなたは常々進数の底は有限でなければいけないと主張しています
そうであれば、進数を適用した、無限である全ての自然数の中にはかならず2桁の「10」が含まれることになります
しかし、あなたは>>215で、全ての自然数の中には2桁以上の数がない状態にできることを認めました

「進数を適用した全ての自然数にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題が
真であり偽になりました。これは矛盾です
どういうことか説明してください

>>224
>>集合のサイズ
とは、有限集合なら要素数、無限集合なら濃度、として捉えていいですか？

>> 私が答えるなら当然答えはどちらもyes。自然数ではない
>1を理解していないという前提を加えるなら答えはNO。どちらも自然数です
面白いですね。自然数進数によって表された10が自然数に属するかどうかは、個々人の理解によって変わるのですか。主観によって事実が変わるのなら、それは数学ではありません。

>> 私からもどうしても答えてほしい質問があります
例として(ペアノによる)自然数の10進法による「10」をあげると、
・10進表記ではもちろん2桁です。
・>206の�Cの表記では||||||||||という1つ(1桁)の記号です。
どちらの表記も可能であり矛盾はありません。

>>「進数を適用した全ての自然数にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題
すみません、命題の意味がわかりません。そもそも「進数を適用した全ての自然数」がわかりません。
>>186であなたが言っている「進数の公理」を満たす自然数のことでしょうか？

>>224を読んで、私からも確認があります。
A=｛|,||,|||,・・・｝
という表記は、あなたの言う「自然数進数」(という表記法のひとつ)ですか？
また、>>219の
>> 非負整数 n ごとに新しい記号 C_n を1つずつ作っておく。
これによって作られる
C=｛C_0,C_1,C_2,・・・｝という表記はあなたの言う「自然数進数」(という表記法のひとつ)ですか？

>>有限集合なら要素数、無限集合なら濃度、として捉えていいですか？
yes

>>個々人の理解によって変わるのですか。主観によって事実が変わるのなら、それは数学ではありません。
例えば、-5+1=4になるというのが私の主張
それに対してあなたが、「-符号とは何か理解できない。なので-符号を無視すると5+1=6なので、-5+1=4は間違っている。」等と主張すると、そんな感じの感想になります
前提条件共有できなければ、結論は明後日の方向行きますよという話です

>>・10進表記ではもちろん2桁です。
>>・>206の�Cの表記では||||||||||という1つ(1桁)の記号です。
私の質問は、一つの値ではなく全ての自然数という集合です
2進数を適用した自然数集合={0,1,10,11...}
3進数を適用した自然数集合={0,1,2,10,11...}
10進数を適用した自然数集合={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11...}
基数が有限なら確実に自然数集合の中に2桁の表記（10）が存在します

あなたは>>215で一つも2桁の数がない自然数集合を作れることを同意したんですよね
実際ペアノの自然数の表記には2桁の数がありません
X進数を適用した(一つも2桁の数がない)自然数集合=ペアノの自然数表記={|,||,|||,・・・}

「進数を適用した全ての自然数集合にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題が
真であり偽になりました。これは矛盾です
どういうことか説明してください

>>A=｛|,||,|||,・・・｝
>>C=｛C_0,C_1,C_2,・・・｝
>>という表記は、あなたの言う「自然数進数」(という表記法のひとつ)ですか？

進数というのは、あらかじめ用意された記号の集合をもとに作られる表記法です
�@と�Aの違いは大丈夫ですか？
�@：あらかじめ用意された記号の集合
�A：表記法

進数という表記法は当然10以上をサポートしなければいけません。どちらかといえばそれがメインの機能です
なので、Aがあらかじめ用意された記号の集合ならA'がAの進数表記です
A'=｛|,||,|||,...|| |,|| ||,...||| |,||| ||...｝
C'={面倒なので、あなたが作ってください}

A＝「自然数進数」の表記法ではない(2桁以上の進数表記ができないため)。この集合は、表記の世界で定義されたペアノの自然数の部分集合
A'＝「自然数進数」の表記法です。あらかじめ用意された記号の集合が(表記の世界で定義されたペアノの)自然数の定義を満たし、かつ（値の世界で定義されたペアノの）自然数と同じ個数であり、進数表記できるため

C＝「自然数進数」の表記法ではない(2桁以上の進数表記ができないため)あとこれは自然数ではない
C'＝「自然数進数」の表記法ではない。（あらかじめ用意された記号の集合が自然数の集合ではないため）

>>226
>>yes
では>>224と合わせて、あなたの主張は
自然数進数は全ての自然数種類の記号の集合を必要とし、自然数進数の底(基数)は加算無限濃度である
ということでいいですか？

>> それに対してあなたが、「-符号とは何か理解できない。なので-符号を無視すると5+1=6なので、-5+1=4は間違っている。」等と主張すると
確かに私は>1を理解していない(定義として不十分である)と考えていますが、だからといって無視して議論しているわけではありません。不十分だからこそ、あなたの考えを少しでも理解し、それを反映した>1より厳密な定義をしようと試みています。先の質問も今回の質問もそのためのものです。私の立場はずっと、あなたの考えを理解したいというものです。

>>217や>>224からあなたの主張は、
・(表記の世界の中で)自然数進数の10は、ペアノの公理により構成された自然数かつ、進数が適用された数である
・(表記の世界の外で)自然数進数の10は、ペアノの公理により構成された自然数かつ、進数が適用された数ではない
ということでいいですか？

>> 「進数を適用した全ての自然数集合にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題
もう一度書きますが、命題の意味がわかりません。
「進数を適用した全ての自然数集合」とは>>186であなたが言っている「進数の公理」を満たす自然数の集合のことでしょうか？
また、
2進数を適用した自然数集合={0,1,10,11...}
3進数を適用した自然数集合={0,1,2,10,11...}
10進数を適用した自然数集合={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11...}
X進数を適用した(一つも2桁の数がない)自然数集合=ペアノの自然数表記={|,||,|||,・・・}
これら4つの集合はそれぞれ「進数を適用した自然数集合」ですか？

たくさん質問があってすみませんが、確認のためはっきりした回答をお願いします。

>>227
>> 進数という表記法は当然10以上をサポートしなければいけません。
それは初耳ですね。>1に追加するべきです。AやCがあなたの考える自然数進数ではないとは、驚きです。
A(またはC)とN(ペアノによる自然数の集合)には1対1対応が存在します。これにより、Nの要素はAの要素を使って1つ(1桁)の記号で表せます。このときAやCは加算無限濃度です。
一方「進数という表記法は10以上をサポートする」ということは、A^2とNに1対1対応(上記とは別の対応)を構成することになりますが、そういう認識でいいですか？(3桁(A^3)以上については、A^2が1対1対応できれば順次対応が構成されるので省略します)

>227の後半については
「表記の世界で定義されたペアノの自然数」の定義が書いていないのでよくわかりません。

んー自然数って無限にあるし自然数進数は表記不可能な気もする
だいたい加算の公理に矛盾しそうだし
ペアノの公理5番目はすべての数には次の数(後続数)が存在することを保障しているため
不可能では?

>>228
>>自然数進数は全ての自然数種類の記号の集合を必要とし、自然数進数の底(基数)は可算無限濃度である
yes


>>�@(表記の世界の中で)自然数進数の10は、ペアノの公理により構成された自然数かつ、進数が適用された数である
>>�A(表記の世界の外で)自然数進数の10は、ペアノの公理により構成された自然数かつ、進数が適用された数ではない

�@はおそらく間違ってます。�Aは確実に間違ってます
修正したのが以下です
(表記の世界の外)＝(値の世界)とおきます

�@'(表記の世界の中で)自然数進数の10は、(表記の世界の中の)ペアノの公理により構成された(表記の世界の中の)自然数かつ、進数が適用された数である

�A'(値の世界の)自然数進数の10は、(値の世界の)ペアノの公理により構成された(値の世界の)自然数ではない。自然数ではないので数ではない

>>4つの集合は「進数を適用した自然数集合」ですか？
そのつもりで書いてます

>>「進数を適用した全ての自然数集合」とは
どういえば通じるんでしょう。X進数を適用したN(ペアノによる自然数の集合)とか、
X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)なら通じますか？それと同じものを指します。


私が「〇〇進数」と最後が進数で終わる場合は全て表記の話をしています
「〇〇進数を適用した自然数(集合)」と最後が自然数や自然数集合で終わる場合が、値の話、つまり自然数の話をしています(表記の世界のと注記を付ける場合を除く)

今までのやり取りを見る限り、「〇〇進数」と書いたときに、あなたがそれを自然数だと勘違いするのがよくあるパターンのようですね
上記の�@、�Aの自然数進数の10も、単語が「進数」でおわってるのでもちろん表記のつもりで書いてますが、ここもまたずれそうですね..

疑問が解消したら、以下命題の回答をお願いします。少し表現を変えてみます
>> 「X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題
っ

>>229
>>AやCがあなたの考える自然数進数ではないとは、驚きです。
自然数進数は表記であって、自然数ではない
ここでもまた自然数と勘違いしたということですね
10以上をサポートするのは表記であって、自然数ではないです
Nとの1対1対応は、ここでは否定します。(ただし、表記との対応であれば話は少し変わりますね)

何進数を適用しても、自然数自身が変わるわけではないです
自然数進数を適用した自然数の集合は、全てが1桁の数であり、10以上の自然数は存在しません

ただし、進数を適用していない自然数との違いはあります。
それは自然数自身が、自分が何進数かを知っているということです。

自然数進数をN進数と置いた場合、自分がN進数なのかN+1進数なのかは知っていて
例えばN進数ではN種類の記号の集合が表記の世界に存在していることを知っているということです



>>「表記の世界で定義されたペアノの自然数」
これです。
表記の世界で定義されたということを除けば、値の自然数と全く同じです

1. 0は自然数である。
2. 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
3. 0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。
4. 異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
5. 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。
表記が必要なら表記も追加したほうがいいかもしれないくらいです

>>214で自然数を表記として使えることを認めてもらえたので、
ただ表記の世界で自然数を定義すればよいですね

>>230
全ての自然数には対応する表記が存在し、自然数は無限にあるので
表記も無限にあることになります
というか、無限ではない表記(例えばランダム表記)は自然数の表記として採用できません
つまり、表記の生成ルールは無限でなければいけません。例えば自然数のような。

そして、自然数に自然数進数を適用すると、全ての自然数が1桁の値になります
どうみても全てが1桁の数であるペアノの自然数という表記が存在するので表記は可能です
問題があるとしても、そこではないです

>>228
>231で、「「〇〇進数」と書いたときに、あなたがそれを自然数だと勘違いするのがよくあるパターンのようですね」
と書いておきながら、最初のほうを読み返したら私がぐちゃぐちゃでした。
すみません

「進数」という表現を辞めて、「進数表記」か「進数(表記)」で書くようにしてみます

>> 「X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題

この命題が、自然数に与える重大な影響です
そして、この命題に答えることによって得られるのが「進数の公理」もしくは定理ですね
結局自分で見つけてしまいました

同等のことは今までも言ってきましたが、今のところこの表現が一番しっくりきます
とりあえず真か偽か判定をお願いします

遅くなってすみません。
少しずつ前進している気がします。
>>231
>>yes
わかりました。やっと>1の理解に1歩近づけました。

>>�@'�A'
(表記の世界の中の)ペアノの公理　と
(値の世界の)ペアノの公理　の違いを具体例を交えて教えて下さい。また、
(表記の世界の中の)自然数　と
(値の世界の)自然数　の違いを具体例を交えてを教えてください。

>> そのつもりで書いてます
そういうことでしたら、
「進数を適用した全ての自然数集合にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題は偽です。
反例は、
X進数を適用した(一つも2桁の数がない)自然数集合=ペアノの自然数表記={|,||,|||,・・・} です。

>> 「X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題
「X進表記のN」の中に>228の4つの集合が含まれているなら、上記と同様に偽です。

>> 私が「〇〇進数」と最後が進数で終わる場合は全て表記の話をしています
なるほど。そう認識してこれまでのやりとりを読み返してみましたが、疑問がたくさん残りました。

語句について、ちょうど私も
「〇〇進数」ではなく「〇〇進表記」という言い方を提案しようと思っていました。意見が合いましたね。
例　10進表記で表された4は、2進表記では100と表される。
　16進表記によるbは、10進表記では11である。
「自然数進数」については、
「自然数進表記」あるいは「加算無限進表記」または「加算進表記」と書くのはどうでしょう？どれがしっくりくるでしょうか？

>>232
>> 10以上をサポートするのは表記であって、自然数ではないです
>>Nとの1対1対応は、ここでは否定します。
「サポートする」とは「1対1対応が存在する」と認識していたのですが違うようですね。
「表記が10以上をサポートする」という言葉の意味を具体例を上げて説明してください。

>> それは自然数自身が、自分が何進数かを知っているということです。
急に擬人法を出されてもわけがわかりません。詩を書きたいんですか？説明しようと頑張ってくださるのはありがたいですが、比喩より具体例での説明の方がわかりやすいのでお願いします。

>> 表記の世界で定義されたということを除けば、値の自然数と全く同じです
表記の世界で定義されたということを除かない、値の自然数の意味を聞いているのですが、説明願えませんか？

>>236
話を進めたいので
一旦、命題の話に集中したいです
結局それが一番早いかと思います

以下の命題に答えるということは、次の�@〜�Bのどれかを選んでくださいということです
>> 「X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題

�@進数の基数は有限なのでこの命題は真であり
ペアノの表記｛|,||,|||,・・・}(10が含まれない)はＸ進数のNではない

�A進数の基数は有限とは限らないのでこの命題は偽であり
ペアノの表記｛|,||,|||,・・・}(10が含まれない)はＸ進数のNである

�Bその他
進数の基数は有限だがペアノの表記｛|,||,|||,・・・}(10が含まれない)はＸ進数のNである等



�@を選択したら、「ペアノの表記はX進数のNではない」ことを認めることになりますが反論はありますか？
また�@を選択した場合、Nに「必ず10が含まれる」なら以下が成り立つことになりますがこちらに反論はありますか？
(どんなに底の変換を繰り返しても)「1桁の数にできない表記10が存在する」


�Aを選択したら、X進数の基数が有限ではない場合があるということになりますがが反論はありますか？
これを選択するなら、あなたが今まで主張してきた「X進数の基数が有限」であるというあなたの主張を撤回するということでよいでしょうか

�@でも�Aでもないならその他の�Bになると思いますが、どういうことか説明してください



「X進数の基数が有限」を撤回したうえで、�Aを選択するということであれば、�Aを前提に以下の質問に答えてください

X進数とは記号を複数並べた記号列が、a(m)*X(m) +...+a(1)*X + a0となるものです
�Aの「10」にあたるのは、「|| |」という記号列であり、それが意味するのは
|| | = ||*X+| という式です

||*X+|の答えとなる値は、ペアノの表記｛|,||,|||,・・・}(10=|| | が含まれない)の中には存在しません

つまり、以下が成り立つはずですが、以下が真か偽かそれ以外か答えてください
|| | = ||*X+| =　値無し
もしそれが真なら「1桁の数にできない表記10が存在する」が成り立つことになります

>>238
>> 一旦、命題の話に集中したいです
わかりました。>236>237で私が説明を求めている語句については、使わないか、語句の意味の説明を加えてから使うようお願いします。

その前に語句について提案です。
小学1年から習う｛0,1,2,3・・｝を「通常の自然数」と呼ぶのはどうでしょう？0の有無については必要なら都度明記します。
「通常の自然数」は厳密にはペアノの公理によって定義されますが、ペアノの公理を満たす集合(や表記)は「通常の自然数」の他に無数に存在するのでそれらと分けるためです。一般的には単に「自然数」と言えば「通常の自然数」を指しますが、今回の議論では「X進数をサポートした自然数」「進数の公理を満たす自然数」「表記の世界の自然数」などの語句が登場しているのでこれらと区別するために「通常の自然数」とします。
いかがでしょう。

また、>>228で登場した
X進数を適用した(一つも2桁の数がない)自然数集合=ペアノの自然数表記={|,||,|||,・・・}
は
「一つも2桁の数がない自然数表記」
または省略して
「1桁表記」
または直接
{|,||,|||,・・・}
などと表すのはどうでしょう？(他にいい案があれば教えてください)
背景として二つ。「X進数」のXが何を表すのか不明瞭なこと。(任意の(通常の)自然数なのか加算無限濃度なのかその両方か)
>>182で私が提示した{|,||,|||,・・・}は、ペアノの公理によって定義される自然数の一例です。
ペアノの自然数表記={|,||,|||,・・・}
と書くと、ペアノによる自然数表記が{|,||,|||,・・・}だけだと誤解を生みそうなのでそれを避けるためです。

さて>>238の選択は�Bです。
>>231であなたが、
「一つも2桁の数がない自然数表記」={|,||,|||,・・・}は
「進数を適用した全ての自然数集合」のひとつであり、「進数を適用した全ての自然数集合」とは
X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)だと確認しています。
つまりあなたの認識により
｛|,||,|||,・・・}(10が含まれない)はＸ進表記のNです。

以下の命題なら真です。
xを2以上の任意の(通常の)自然数とし、x進表記で表されたN(ペアノによる自然数の集合)をN(x進法)とする。
「全てのxに対してN(x進法)の要素に(x進表記による)2桁の「10」が存在する」

なお、x進表記にx種類の記号の定義が必要ということなら、具体的に｛|,||,|||,・・・,||･･(x本)･･||}などで定義できます。この定義では、上記の命題の2桁の「10」は「|| |」となります。

>>239
なるほど。まるで伝わってないのがわかりました
{0、1、2…}は1という表記から機械的に2という表記を生成できません
そういう意味でそれ単体でペアノを満たしてるとはいえません
また{0、1、2...}はどうみても10進数を連想しそこには10が含まれます。少なくとも私はそれをペアノの自然数だとは扱っていないため認められません。

つい横道にそれましたが、この話題を続けるなら、命題の話が決着した後にお願いします

>>240
さすがに全く答えになっていないのでもう一度同じ問題に回答をお願いします
>240の前半は、>238の命題が偽であり>238の�Aを選択したということでよいですか？
その前提で読み進めます

またあなたの提示した以下の命題をPとします
>>xを2以上の任意の(通常の)自然数とし、x進表記で表されたN(ペアノによる自然数の集合)をN(x進法)とする。
また、>238の命題をQとします

・Pが�@と同じであれば、�@と�Aの両方を選択するということでありQが真であり偽であるので矛盾します
・Pが�@と同じでなければ、Qの命題と関係ないのであなたは>238の�Aを選択したことになり、あなたが�Bを選んだことと矛盾します
・あなたが「X進表記のN」のことを、Pだと思っているならそれは�@であり、�Aを選択したということと矛盾します


結局あなたが命題Qに真と答えたか偽と答えたのか、�@を選んだのか�Aを選んだのか�Bを選んだのかさえよくわからない状態です
言っていることと内容が全くかみ合っていません
PがQと関係ないなら、関係ない話は出さないでほしいです


また、理解も納得もしていない私の意見を根拠にしないでください
ここでは私の主張の理解度チェックではなく、あなたの意見、もしくは一般的な意見を聞いています
まず以下の命題に対して真か偽を答え、>>238の�@〜�Bのどれかを選択してください
>> 「X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題

ここではX進表記のNについては、私の意見は考慮しなくて大丈夫です

「X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)にはかならず2桁の「10」が含まれる」は真
なぜならばX進表記のNとはPだからです。といいたいならそれで問題ありません
その場合、�@を選択したことになります。�@との差があるならそれを提示してください
また、>>238の「�@を選択したら、..」の部分を回答してください

>>241
>> 少なくとも私はそれをペアノの自然数だとは扱っていないため認められません。
なるほど。あなたの認識はわかりました。
ではせめて、私が｛0,1,2,3・・｝を「通常の自然数」と認識していることはご了承ください。

>>242
>> >240の前半は、>238の命題が偽であり>238の�Aを選択したということでよいですか？
いいえ。

>> 結局あなたが命題Qに真と答えたか偽と答えたのか、�@を選んだのか�Aを選んだのか�Bを選んだのかさえよくわからない状態です
命題Qは偽です。
反例は「一つも2桁の数がない自然数表記」={|,||,|||,・・・}です。(>>236で書いています。)
選択は�Bです。(>>240で書いています。)

>> また、理解も納得もしていない私の意見を根拠にしないでください
それは困ります。
命題Qを考え提示したのはあなたなので、あなたの意見に頼るほかありません。

私からも質問がありますが、混乱させてしまいそうなので一旦あなたの返事を待ちます。

>>243
>>命題Qは偽です
回答ありがとうございます
命題Qについて、私の意見がこうであると予測して選んだわけではなく、
あなたの意見として、(私の意見に多少は納得いく部分もあって)私の意見の内容を根拠として使うのは問題ありません。あくまで内容を根拠としてください
また、後で意見を覆してもなんとも思いません。ただし、一つのレス内ではぶれないようにしてください


命題Qは偽であるという前提で見れば、Pと�Aとの差異が私にはわかりません
>>�A進数の基数は有限とは限らないのでこの命題は偽であり
>>ペアノの表記｛|,||,|||,・・・}(10が含まれない)はＸ進数のNである

�Aは「進数の基数が有限とは限らない」です。
進数の基数が有限の時にPの性質を持つことは�Aの内容に含まれます
X進数の表記を適用した集合は、
集合のサイズ <= X のときに全て1桁の数になります
集合のサイズ > X のときに10が含まれます
今回の場合、自然数の個数は無限なので進数の基数が有限の時にPの性質を持つことは�Aでも自明です

つまり、Pが�Aではないことを表す反例になっていません
あなたが�Aを選んだということなら、>240の内容は全て理解できます

�Aではない理由がP以外にあるならそれを提示してください

ないのであれば、>>の238の「�Aを選択したら..」の回答と、�A(の基数が無限の時)を前提とした「|| | = ||*X+| =　値無し」の真偽判定をお願いします


ちなみに私が�@〜�Bのどれが正しいと思ってるかわかりますか？

すみません、>>244を読んで、どうやらあなたと私で�@〜�Bの「進数の基数は有限」という言葉の認識に違いがあると感じました。先にそれをはっきりさせましょう。

私の>>243の回答は次の二つを前提としています。
・「進数の基数は有限」 とは「進数の基数が無限集合(の濃度)にはならない」という意味である
・「一つも2桁の数がない自然数表記」={|,||,|||,・・・}は「X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)に含まれる(>>231より)

あなたは「進数の基数は有限でない」とは「進数の基数はいくらでも大きくなる」という意味で捉えていると思われますがどうですか？

補足説明します

xを2以上の(通常の)自然数として
進数表記の基数は

2進表記による自然数集合={0,1,10,11...}
3進表記による自然数集合={0,1,2,10,11...}
・
・
x進表記による自然数集合=｛0,1,2,...,(x-1),10,11...｝
(x進表記に必要なx種類の記号の定義は割愛します)
・
・

と、いくらでも大きくすることができます。
しかしいくら基数を大きくしても
一つも2桁の数がない表記の自然数集合={|,||,|||,・・・}
になることはありません。
このことはご理解、納得していただけるでしょうか

>>245
いいですね。そこに気づくとは一歩進んだ感があります

>>「進数の基数はいくらでも大きくなる
これはQの命題が真ならNo
Qの命題が偽ならyesです
10が含まれないＸ進数のNは基数が自然数の個数以上の場合でなければ作れないのでQが偽なら当然基数が無限濃度になりえます


>>・「進数の基数は有限」 とは「進数の基数が無限集合(の濃度)にはならない」という意味である
これが真ならQの命題は真で�@です

>>・「一つも2桁の数がない自然数表記」={|,||,|||,・・・}は「X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)に含まれる(>>231より)
残念ながらこれが真になるのはQの命題が偽で�Aの場合だけです

�@と�Aは同時には成立しません
どちらか選んでください

というわけで改めて聞きます
Qの命題は真ですか？偽ですか？まず答えた上で>>238の「�@もしくは�Aを選んだら…」の質問に答えてください

話を進めたいので真偽値表を作りました
矛盾する組み合わせは選ばないか、矛盾を解消する説明をお願いします

https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vTIGYiseefS4RiYUsdrdMNLxMHE3l_d6mrq6Aqz3RovPcTaT6380avWa7GJ5QGlBs0QjJ3sykcytUZw/pubhtml?gid=654237133&;single=true

>>247
>>「進数の基数はいくらでも大きくなる
>> これはQの命題が真ならNo
>>Qの命題が偽ならyesです
そんなことはありません。
まずはここを議論しはっきりさせましょう。
命題Qの真偽、および一桁表記={|,||,|||,・・・}の認否によらず、
2以上の(通常の)自然数をxとして
「x進数の基数であるxをいくらでも大きくできる」
ことが言えます。
証明としては、任意の自然数xに対してそれより大きいx+1が存在することより示せます。
このことをご理解、納得していただけるでしょうか

>>249
いいでしょう。進数の基数が有限か無限かだけ先にやりましょう

あなたの主張は進数の基数は有限であり無限になはらない。
それに対して進数の基数はどんなx進数でも底の変換によりx+1進数が作れる(>>249)ので無限であることも成り立つ

よってあなたの主張は矛盾するので納得できません


一般に無限とはxからx+1を作れることを言いますが
あなたは違うようなので、有限と無限の定義をお願いします

>>250
>> いいでしょう。進数の基数が有限か無限かだけ先にやりましょう
ありがとうございます。
「有限」「無限」という語句は混乱のもとになるので、これらは使わずに以下のように表現したいと思います。

>> あなたの主張は進数の基数は有限であり無限になはらない。
私の主張は>>246のように、
2以上の(通常の)自然数をxとして
「x進数の基数であるxをいくらでも大きくできる」
しかしいくら基数を大きくしても
一桁表記={|,||,|||,・・・}になることはない。(一桁表記と同一な表現を示す自然数x(進表記)は存在しない)

この主張の前半部分は「進数は有限でない」、後半部分は「進数は有限である」とも言えるので混乱のもとです。以前私が混用してレスしたものがあったかもしれません。すみません。
あなたは私の上の二つの主張に対していかが考えますか？

>>「有限」「無限」という語句は混乱のもとになるので
だめです。有限か無限かは必ず明記してください
最小の無限は自然数と同じ可算無限ですので、無限なら最低でも自然数と同じ無限になります
あなたの主張が自然数より小さい無限といいたいなら別ですが、それならきちんと定義してください

x進数があるときx+1進数を作れるものを無限と呼ぶかどうか決めてください
それが無限でないなら定義を出してください

>>一桁表記={|,||,|||,・・・}になることはない。(一桁表記と同一な表現を示す自然数x(進表記)は存在しない)
これ自体は、基数が無限である場合でも矛盾しません
ただしそれは基数が自然数より小さい無限の場合だけです。それを主張しますか？



Qの命題再掲します
>> 「X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題

以下のA,B２つの命題は逆の関係なので、逆は必ずしも真ならずで同じ命題ではありません
A.Qの命題が偽なら進数が無限である
B.進数が無限ならQの命題が偽である
私が言ったのがAであなたが言ったのはBで別物です。
Aの対偶は、「進数が有限ならQの命題が真」です。これがあなたが>>245で発言したものですね

>>252
>> 最小の無限は自然数と同じ可算無限です
これは正しくは
無限集合の濃度のうち最小のものは、自然数と同じ加算無限濃度である
ですね。

>> だめです。有限か無限かは必ず明記してください
>> x進数があるときx+1進数を作れるものを無限と呼ぶかどうか決めてください
困りましたね。ここでの有限、無限を定義するのは構いませんが、あとで困惑することになりますよ。
なお、一般(学部初年度レベル)では、集合論による無限なのかイプシロンデルタ論法による無限なのか使い分けて明記します。
それでも有限、無限を定義してほしいということなら、あなたの認識を確認した上で定義します。

ひとつずつ確認します。
2以上の(通常の)自然数をxとして
「x進数の基数であるxをいくらでも大きくできる」
このことは正しいと認識していますか？

>>253
ありがとうございます
私は集合論ベースだと思うので、そちら側の説明でお願いしたいです

>>「x進数の基数であるxをいくらでも大きくできる」
>>このことは正しいと認識していますか？
はい、正しいと思ってます。
ただしxはx種類の記号の集合の個数を表すものであるという認識は伝えておきます。
x種類の記号の集合が自然数と一対一対応するというのが考えのベースです

>>254
>> はい、正しいと思ってます。
わかりました。

次の確認です。xは2以上の(通常の)自然数とします。
>> x種類の記号の集合が自然数と一対一対応するというのが考えのベースです
さて、そのような自然数xが存在すると思いますか？

>>255
xは少なくとも自然数としては存在しませんね

>>256
>> xは少なくとも自然数としては存在しませんね
その通りです。
>>246や>>251で説明した通り、
�@x進数の基数であるxをいくらでも大きくすることができる
�Axをいくら大きくしても、1桁表記={|,||,|||,・・・}にはならない。
この2つは矛盾しません。これはとても重要なことです。
ご理解いただけますか？
そして理解してなお、「有限」「無限」という言葉の意味を定義した方がいいと思いますか？

>>257
なるほど。ひとまずそこまでは理解しました

ただしまだ話は終わっていません
いくつか確認事項に答えてもらってから、定義が必要か考えます
>257の前提を用いて以下に答えてください

�@進数は、あらかじめ用意した記号の集合をもとにx進数を作成します
x進数のxが、あるnの時にn+1が作れていくらでも大きくなるなら、その元となる記号の集合も同じ特徴を持ちます
記号の集合の要素はあるnがある時n+1を作成でき,n+1も記号の集合の中に含まれます。
私にはこの記号の集合は自然数と一対一対応し、無限にあるように見えますが記号の集合は有限ですか？無限ですか？

�Aあなたは>>215で、Nのすべてを2桁以上の数がない状態にできると発言しました
>>全ての自然数を1桁に変え切って、2桁以上の数がない状態にできますか？
>>できます。
これは>257と矛盾しますが>215の方を撤回するということで良いですか？

�Bあなたは名前にこだわりがあるようで、実際それにかなり引きずられるようです
あまり適切でない名前を私達は採用してきましたが、それをここでは変更したいです

それは2進数や3進数と言った「Ｘ進数」という単語です。
2進数の記号は{0、1}なのに未定義の「2」という記号が出てきて大変わかりにくいです。また2進数より一つ大きい基数を表すのに未定義の2を使わなければいけないのは大変使いにくい
例えばそのルールなら>>206の�@なら2進数ではなくb進数と呼ぶべきとなってしまいます。2進数を説明するためにまず10進数を理解しなければいけないのはおかしな話です

未定義の記号を使わず、数学的にも誤解の無いと思う表現があります
それは、一桁の最大値をMとした上で、「M+1」進数と呼ぶことです。これなら未定義の記号は出てこず誤解を生みにくいと思います
つまり2進数とよばずに1+1進数と呼ぶということです
いかがでしょう

無限をωとおいて考える巨大数の考えみたいなことしてるな

>>258
>> なるほど。ひとまずそこまでは理解しました
>>いくつか確認事項に答えてもらってから、定義が必要か考えます
わかりました。理解いただいてよかったです。

以下、xを2以上の自然数とします。
>>�@ 前半部分
その通りです。
>> 私にはこの記号の集合は自然数と一対一対応し、無限にあるように見えますが記号の集合は有限ですか？無限ですか？
x進数の基数xが(あるひとつの)自然数である限り、「x種類の記号の集合」は有限です。(全ての)自然数と一対一対応はしません。

>>�A これは>257と矛盾しますが>215の方を撤回するということで良いですか？
一桁表記={|,||,|||,・・・}は存在します。(理論上構成できます)これを用いれば全ての自然数を一桁で表せます。しかし、一桁表記はx進数ではありません。(あなたが>256で確認した通り、一桁表記に対応する自然数xは存在しません)
つまり、>215と>257は矛盾しません。

>>�B 2進数の記号は{0、1}なのに未定義の「2」という記号が出てきて大変わかりにくいです。また2進数より一つ大きい基数を表すのに未定義の2を使わなければいけないのは大変使いにくい
私はそうは思いません。
>> 例えばそのルールなら>>206の�@なら2進数ではなくb進数と呼ぶべきとなってしまいます。2進数を説明するためにまず10進数を理解しなければいけないのはおかしな話です
こちらも、そうは思いません。

○○進数と言ったときに○○に当てはまる表記は、さすがに10進表記(小学1年生が習う普通の表記)で良いと思います。日本国民全員が義務教育で学習しているはずなので、共通認識として問題ないことだと思います。

>> それは、一桁の最大値をMとした上で、「M+1」進数と呼ぶことです。
私はしっくりこないので基本的に使うつもりはありません。あなたがそう呼びたいのであればどうぞ使ってください。そのように解釈します。

>>260
では、私は適宜x進数のx=M+1を使いますね

記号の集合の特徴が有限ということですが
この有限は、最大値Mがあるということでしょうか？
それともM+1進数のようにあるnがある時n+1も記号の集合に含まれるという特徴も持ちますか？

記号の集合が有限であるということが理解できなくて困っています

記号の集合に最大値Mがあると仮定するとM＋1が存在するので矛盾

>255のように記号の集合が無限であると仮定した時にM+1が自然数ではないことを利用しようとしても、あるMがある時M+1は記号の集合に含まれるので矛盾します

M+1進数のM+1が自然数であるという要素をどのように使えば良いでしょうか

>>259
巨大基数ですかね
似ているような似ていないような…

>>261
あなたの言葉を借りて説明します。
>> この有限は、最大値Mがあるということでしょうか？
(1+1)進数による(1+1)種類の記号の中に、最大値(を示す記号)が存在しそれは1です。
(2+1)進数による(2+1)種類の記号の中に、最大値(を示す記号)が存在しそれは2です。
同様に
(M+1)進数による(M+1)種類の記号の中に、最大値(を示す記号)が存在しそれはMです。
ここで注意ですが、(M+1)進数による(M+1)種類の記号の中に(M+1)は存在しません。

以上のように、x進数によるx種類の記号の数は有限であり最大値が存在します。

>> 記号の集合に最大値Mがあると仮定するとM＋1が存在するので矛盾
これは正しくありません。上の注意の通りです。
正しくは、(M+1)進数より基数の大きい(M+1+1)進数の記号の中に(M+1)が存在する。です。

わからなけらば何度でも質問してください。

>>263
前半の最大値Mは意味が違います
問いを明確にすると、最も多い個数の、記号の集合は何個ですか？です。
個数が有限なら最大値をMが存在するはずですが、底の変換によりM+1が存在するので矛盾します

またx進数のxはこの記号の集合の個数を表します
あなたはxの特徴として以下を挙げました(ここではあなたの主張なのでxのままとします)
�@有限である
�Axが存在する時x+1も存在し、いくらでも大きくできる
�Bxは2以上の自然数である

なので当然、記号の集合の個数も、有限であり、2以上の自然数であり、要素aが存在する時a+1が存在しますよね？
�Aと�Bを前提とすると、�@のこの記号の集合の個数が有限であることが示せません
記号の集合の個数(最も大きなもの)が有限であることを示す方法を教えてください

>>264
>> 最も多い個数の、記号の集合は何個ですか？です。
>>記号の集合の個数(最も大きなもの)が有限であることを示す方法を教えてください
「最も多い個数の記号の集合」は存在しません。
基数xをいくらでも大きくできるからです。

>> 個数が有限なら最大値をMが存在するはずですが、底の変換によりM+1が存在するので矛盾します
矛盾しません。
>263で説明した通り
(M+1)進数による(M+1)種類の記号の中に、最大値(を示す記号)が存在しそれはMです。
ここで注意ですが、(M+1)進数による(M+1)種類の記号の中に(M+1)は存在しません。
(M+1+1) 進数による(M+1+1)種類の記号の中に、最大値(を示す記号)が存在しそれはM+1です。
当たり前ですが、底を変換すれば最大値も変わります。

>> �Aと�Bを前提とすると、�@のこの記号の集合の個数が有限であることが示せません
xは2以上のあるひとつの自然数です。
「要素数がxの集合」は有限集合です。

2進表記に必要な記号の集合={0,1}←有限集合
3進表記に必要な記号の集合={0,1,2}←有限集合
・
・
x進表記に必要な記号の集合=｛0,1,2,...,(x-1)｝←有限集合
(x進表記に必要なx種類の記号の定義は割愛します)
・
・

こんな感じです。
基数xをいくらでも大きくできますが、あるxに対するx進表記に必要な記号の集合は必ず有限集合です。一言で言えば
「有限集合」が無数にある。
といったところです。

>>266
それを満たす記号の集合の定義もお願いします
無限に大きくできる(ように見える)記号の集合の定義がランダムってわけではないですよね
記号の集合が存在する根拠を教えてください

あとあなたが>>255で確認したのはあなたが注意点として書いた項目です
M+1進数の記号の中にM+1という記号がありますか？という質問と解釈しておりそれはどの進数でもNoなので>256でNoと答えています
その質問にNoと答えることと、M+1進数が存在しないことには全く関係がないので>255の質問は何の意味もない質問だと考えていますがいかがでしょう
>255の質問がM+1進数が存在すると思いますか？ならyesです。

無数に存在する有限集合についても質問です
その無数にある有限集合の個数は何個ですか(集合内の要素の数ではなく集合が何個あるか)
その無数とは有限ですか？無限ですか？
その無数の集合と自然数は一対一対応しますか
またそれら無数の有限集合の和集合は有限集合ですか

>>267
>> それを満たす記号の集合の定義もお願いします
>240で定義しているので再掲します。
>>なお、x進表記にx種類の記号の定義が必要ということなら、具体的に｛|,||,|||,・・・,||･･(x本)･･||}などで定義できます。

>> その無数にある有限集合の個数は何個ですか(集合内の要素の数ではなく集合が何個あるか)
>> その無数とは有限ですか？無限ですか？
「「有限集合」の集合」が無限集合です。
言い換えると、「「有限集合」の数」が無限です。

>> その無数の集合と自然数は一対一対応しますか
します。

>> またそれら無数の有限集合の和集合は有限集合ですか
Ｕを全体集合、Nを自然数の集合、xを集合族の元(つまり集合)とします。
可算集合族の和集合は、
集合族{A_n}_n∈Nの要素である少なくとも１つの集合に属する要素からなる集合
U_n∈N(A_n) ={x∈Ｕ| ∃n∈N:x∈A_n}
として定義されます。
A_1={0}
A_2={0,1}
A_3={0,1,2}
・
・
・
A_n={0,1,2,...,n-1}
・
・
この集合族{A_n}_n∈Nの和集合は
U_n∈N(A_n) ={x∈Ｕ| ∃n∈N:x∈A_n}
= {0,1,2,...} となり、これは可算無限集合です。

>> あとあなたが>>255で確認したのはあなたが注意点として書いた項目です
違います。
>> M+1進数の記号の中にM+1という記号がありますか？という質問と解釈しており
解釈が間違っています。

>255の質問を説明します。
2以上の自然数xに対し

2進表記に必要な記号の集合={|,||}←有限集合
3進表記に必要な記号の集合={|,||,|||}←有限集合
・
・
x進表記に必要な記号の集合=｛|,||,|||,...,||･･x本･･||}←有限集合
・
・

を構成します。
これらのうち、一桁表記={|,||,|||,・・・}←無限集合
を表す自然数xは存在しますか？

>>268
大分あなたの全体像が見えてきました
ありがとうございます
思ったより共通点も多く、あなたの意見の理解は進んだかなと思いますがやっぱり納得できない点もあります

>>>> その無数の有限集合と自然数は一対一対応しますか
>>します。
M+1進数のM+1の部分は{0-M}の有限集合のサイズを表します
その有限集合が自然数と一対一対応するなら、有限集合の最大値を表すMやサイズを表すM+1も自然数と一対一対応しますよね。
最大値やサイズをもたない有限集合がなければ、「「有限集合」の数」が無限なら「「有限集合のサイズ」の数」や「「有限集合の最大値」の数」も無限で自然数と一対一対応しなければおかしい
「「有限集合」の数」＝「「有限集合のサイズ(M+1)」の数」＝「「有限集合の最大値(M)」の数」です
その解釈ならM+1が有限というのが理解できません


>>解釈が間違っています。
>>2以上の自然数xに対し
>>これらのうち、一桁表記={|,||,|||,・・・}←無限集合
>>を表す自然数xは存在しますか？
進数という観点に立てば、全てが1桁の数字になるのはその集合内の全ての要素より大きい進数が適用された時だけそうなります。
進数という観点では、そのようなM+1が存在することに何か問題があるようには見えません
具体的には全ての自然数（0-M）より大きいM+1進数が存在し、M+1は値のない式であるとなります。その場合、M+1は1桁の数字にすることができないことを除けば自然数と全く同じ性質を持ちます


それが自然数と組み合わせたときに本当に問題が出るなら、矛盾であると結論するのが私の解釈です


>>Ｕを全体集合、Nを自然数の集合、xを集合族の元(つまり集合)とします。
表記の話をしているのに、自然数の話が出てくるのがおかしい
あとはそこが一番大きな溝な感じがします

あなたは数値と、その数値を表す表記の区別がついていないように見えます

数値と表記を分けるのが間違っているというなら、そうかもしれませんが
納得はいかないですね

すみません、ひとつ訂正
>>Ｕを全体集合、Nを自然数の集合、xを集合族の元(つまり集合)とします。
この部分は正しくは
Ｕを全体集合、Nを自然数の集合、A_nを集合族の元(つまり集合)、xをA_nの元とします。
です。

>>270
すみません、全体的におっしゃっている意味がわかりません。

>>その有限集合が自然数と一対一対応するなら、
誤解されています。あるひとつの有限集合が自然数と一対一対応しているわけではありません。「「有限集合」の集合」が自然数と一対一対応しています。

>> 進数という観点に立てば、〜
よくわかりません。
>>269の質問にyes/noでお答えください。

>> 表記の話をしているのに、自然数の話が出てくるのがおかしい
あなたからの質問が、可算集合族の和集合についてのことでしたので、自然数と対応させるのはごく当然のことです。定義の論理式もごく一般的なものです。納得いただけないなら、
>> またそれら無数の有限集合の和集合は有限集合ですか
回答:いいえ。可算無限集合です。
という結論のみご承知ください。

すみません、私の誤解だったようです。
>> M+1進数のM+1の部分は{0-M}の有限集合のサイズを表します
>>その有限集合が自然数と一対一対応するなら、有限集合の最大値を表すMやサイズを表すM+1も自然数と一対一対応しますよね。
>>最大値やサイズをもたない有限集合がなければ、「「有限集合」の数」が無限なら「「有限集合のサイズ」の数」や「「有限集合の最大値」の数」も無限で自然数と一対一対応しなければおかしい
>>「「有限集合」の数」＝「「有限集合のサイズ(M+1)」の数」＝「「有限集合の最大値(M)」の数」です
>>その解釈ならM+1が有限というのが理解できません

この部分を何度も読んで、あなたは「「有限集合」の集合」が自然数と一対一対応している、と考えてくれているようだと考え直しました。失礼しました。

>>「「有限集合」の数」＝「「有限集合のサイズ(M+1)」の数」＝「「有限集合の最大値(M)」の数」です
この部分はその通りです。
サイズとは要素数のことですね。
「「有限集合」の集合」も
「「有限集合の要素数(M+1)」の集合」も
「「有限集合の最大値(M)」の集合」も
どれも加算無限集合です。

>>その解釈ならM+1が有限というのが理解できません
「M+1が有限」とは、
「「有限集合の要素数(M+1)」の集合」が有限集合である
という意味ですか？