集合論以前の数学は数学じゃない←ほんとか？

ほんと〜？

体

k

kが体とは、次を満たすこと。

a, b∈kに対して、

a + b∈kとab∈k

が定まって、以下を満たす

(1) (a + b) + c = a + (b + c)

(2) ∃0∈k, ∀a∈k, a + 0 = 0 + a = a

(3) ∀a∈k, ∃-a∈k, a + (-a) = (-a) + a = 0

(4) a + b = b + a

(5) (ab)c = a(bc)

(6) a(b + c) = ab + ac

(7) (a + b)c = ac + bc

(8) ∃1∈k, ∀a＼{0}, 1a = a1 = a

(9) ∀a∈k＼{0}, ∃a^(-1)∈k, aa^(-1) = a^(-1)a = 1

(10) ab = ba

ただし、0のみから成る集合は、体には含めない。

Def:

kを体とする。
1以上の自然数nに対して

1 + 1 + ... + 1 (n回) = 0

となる最小の自然数nが存在すれば、kの標数はnであるという。
そのようなnが存在しない場合、kの標数は0であるという。

Prop:

体の標数は、0であるか素数である。

おいハゲ、俺のスレを荒らすな

Lemma:
体は整域である。すなわち

ab = 0 ⇒ a = 0 or b = 0

>>20
証明:

ab = 0とする。
a = 0なら証明することは無いので、a ≠ 0とする。
a^(-1)が存在するので両辺にかけると

b = 0

>>18
証明:

kを体とする。
kの標数が0でないなら、素数であることを示す。
標数が0でないなら、

n1 = 0

となる自然数nが存在する。

n = ab (a, b∈Z)

とすると、>>20より、a1 = 0 or b1 = 0である。
標数の定義より、nはn1 = 0をみたす最小の自然数なので、非自明な約数を持たない。

Def:

K, kを体とする
k⊂Kを満たすとき、Kはkの拡大体であるといい、K/kは体の拡大であると言う。

Def:

K/kを体の拡大とする。
任意のx∈Kに対して、k係数のある多項式f(X)∈k[X]が存在して

f(x) = 0

を満たすとき、Kはkの代数拡大体、またはK/kは代数拡大であるという。
逆に、あるx∈Kで、k係数のいかなる多項式の根にもならないものが存在するならば、Kはkの超越拡大体、またはK/kは超越拡大であるという。

K/kを体の拡大とする。
任意のx∈Kとa∈kに対して、xのaによるスカラー倍をaxと定めることで、Kはkベクトル空間になる。

Def:

Kのkベクトル空間としての次元を

[K : k]

と書き、K/kの拡大次数と言う。

kを体とすると、kからkへの環準同型は、零射であるか同型である。
実際、

f: k → k

を準同型とすると、fの核はkのイデアルになるが、体のイデアルはkか(0)しかないので、fは零射か単射である。
fは1次元kベクトル空間の間の線型写像でもあるので、単射なら同型である。

Def:

K/kを体の拡大とする。
自己同型写像σ: K→Kで、kへの制限が恒等写像になるもの全体を

Aut(K/k)

と書く。

ハゲーーーーーーーーー！

>>23
演算とかも一致してないといけないんじゃないの

ハゲ論破されててワロタ

>>29

kがKの部分環であるとき

と読み替えて下さい。

Prop:

|Aut(K/k)| ≦ [K : k]

Prop:

L/M, M/Kを体の拡大とするとき、L/Kも体の拡大で、[L : M], [M : K] < ∞なら

[L : K] = [L : M][M : K]

age

age

ハゲから最期の鳴き声が聞こえた