実数の定義って結局どれが一番優れてるの？

いくつかあるけど

定義というか構成か？

デデキント流とカントル流（の理解）はマスト
定義よりも実数の基本性質を理解して使えるほうがより重要
詳しくは　森毅　現代の古典解析　３．実数の基本性質　嫁
読んでも実際に理解してるかどうは別の問題
微積分の問題を解いてみる、距離空間（位相空間）の一般論まで敷衍して考えることも大事だけど
意外にルベーグ積分など先に進むと自分の理解が不十分だと判明するので
個人的にはルベーグ積分に触れてみることを勧める
ルベーグ積分の理解が深まれば実数論の理解も深まっているはず

目的次第に決まっとる

完備化による方法が最も応用がある

が、昔自分でやってみたが順序を入れるのが面倒くさかった記憶がある

モデルによる方法と公理による方法があるよな

デデキントの有理数の切断と
カントルの有理コーシー列の同値類が
理解できないようじゃ他の定義も理解できない

それができた上で目的に近い方を選ぶべし

>>7
これ以外にあんの？

無限小数の同値類としてもよいだろう

実数体とは順序体であって空でない上に有界な部分集合が上限を持つようなものをいう[注 1]。実数体の元（＝要素）を実数という。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0
ウィキペディアによるとこれだな

>>9
あるよ　でも時間かけて学習する割には得るものほぼ無し
連続性、順序完備と様々なコンパクトの概念習得に比べたらカスみたいなもの
ノンスタンダードアナリシスとかルベーグ積分論とかの方が学べることが多い
以降の対象範囲が拡がるというメリットもある

>>11
実数が特定できそうもないな

>>13
構成的な定義と同等であるからこれでもよい

>>13
特定はワロタ
モデルに固有の性質は実数論で使わないぞ

アルキメデス的完備順序体として定義して構成と一意性示して終わり

どっちにしろ有限個の公理じゃ
構造が一意に決まらんしな

>>17
どういう意味の一意性か知らないが
同等であるのでこれでよい

超限解析が可能な理由は
意外と知られてないんだな

超限解析が有用な理由を一言で言うと？

ε-δが簡単

超準解析って、標準と超準の区別で初心者が必ずつまづくんじゃね？

標準は無視

直感に近いちか宣伝して実は初学者殺し

>>23
君、区別の仕方言える？言えないんだろ？ｗ

うん、言えない

どのモデルでも存在するのが標準で
モデルによって存在しない場合もあるのが超準

スゲー
天才だ

無限小数って本当にあるの？

関連スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1628784821/l50

>>29
「ある」の定義次第

超越数や超実数
不完全性定理など

>>32
チャイティンのオメガがいちばん数学的内容が多い実数。

細けぇこたぁいいんだよ！ドンッ！！
ってしたのが整数

内容が多いと自慢する奴が一番役立たずの法則

デデキント流とカントル流が定番
実数の基本性質の一つ、連続性と同等の性質を理解し、イプシロンデルタ論法
を使いこなして、微積分初級は終わり、あとはより進んだ解析学に移行

>>35
まったく内部状態を持たないランダム実数選出オラクルが認証や暗号なんやらで最重要。

お前か

実数論は小平邦彦先生の解析入門の最初のデデキント流(だったと思う)を読んだことがあるけど、あまり覚えていない。
その後、困ったことないんだけど、なんかマズいの？

困ってないのなら良いと思う
完備、コンパクト、連結の概念整理は定年以降でもいい、実数論は教科書書くなら整理すれば良い
個性ある研究対象を見つけることが重要、たとえ研究者で無くとも
特殊関数みたいなものを探す

自分で何かの極限があるか証明しようとしなきゃ困らんわな

>>33
かなり具体的な不動点意味論としてもっと流布すればいいのに。

あっそ、で終わり

ttps://people.math.ethz.ch/~salamon/PREPRINTS/acampo-real.pdf
Zから実数構成する方法。

実数の定義だったら、「デデキントの定理を満足する順序体」かな。

歴史的にはどれが一番最初だったの？デデキント？

実数どうしの掛け算を定義するときにはコーシー列の類として扱った方が遥かに便利

実数[{a_n}]と[{b_n}]の掛け算を
ただ[{a_n×b_n}]として定義すればいいだけ

{a_n×b_n}がコーシー列なのは非常に簡単に示せるし、
代表元どうしの掛け算の定義のwell-definednessも一瞬で示せる

というかもう定義はコーシー列による完備化だけでいいじゃん
ほかの定義は下位互換でしかないでしょ
なんかメリットあるの？

まずね、数が集合だと思ってる時点で論外
頭悪すぎ
数に内部構造とか無いから

>>48
生成元とその関係式が内部構造に相当するだろ。

>>49
何言ってるか分からんが、集合Rに構造があるという話と0とか1とかの数に構造があるという話は違う。数には構造がない。

>>50
数が集合でないならばどうやって数をZFC公理系から構築するの？

無知は黙った方がいいよ

数の構築とか言ってる時点でダメ
数に構造はないんだから
お前が言ってるのは>>30みたいなもん

実数(単なる集合)、実数体(代数構造、順序構造、位相構造をあわせ持つ)と言い換えるといいのかな？
まあ、単なる集合と構造を併せて考えたものを実数と呼ぶという暗黙の了解の元で議論するのが俺の理解なんだが、無知蒙昧と言われればそれまでだけど

>>52
いや言葉とかどうでもいいんだよ無知が
ZFC公理系から「どうやって数を定義するの？？？」
って聞いてるんだよ

おまえは並んでいる言葉だけをみて表面上の理解しかしてないだろ

定義そのものにイチャモンつけるゴミってほんとに何も数学わかってないってのが良く分かる

定義には流儀というものがあるし、絶対なものではない
(俺の思う「数」はこうだ！！！ )って言ってもそれおまえの感想でしかないから

数学やるなよそんなゴミ 数学が汚れる

いくら分かりやすく書いても馬鹿には伝わらないんだな

仮に実数をコーシー列の同値類と定義するなら「1は無限集合です」とか「1は数列1,1,1,1,…を要素として含みます」とかが成り立つけど、1にそんな性質はないからな

お前は小学校で「1は集合です」って習ったのか？

>>56
よくわかんねえけど実数をコーシー列を適切な同値関係で割った商集合として"構成"する
って言い方をしたらお前は納得してくれんの？

>>56
ゼロだってプラス1マイナス1が打ち消し合ってるケースからプラス無限大マイナス無限大が打ち消し合ってるケースまで無限の内部状態を持ってる。
「真空」を自明だとでも思ってたら場の量子論なんてやってられん。

純粋数学的に見ても実数のインスタンスひとつひとつが位相構造を持った集合の要素だということは明白。実例が抽象を形作る。

まず学問の話で「学校(それも小学校)で習ったかどうか」を気にする神経がわからん

お馬鹿さんがワラワラ集まってきてワロタ
集合論に毒されてんなぁ

小学生の時はお前ら「1は集合です」とか言わなかったのに
集合論やってから頭悪くなってるよ

はじめにコーシー列ありき。
それを完備化できればよい
standard でも non-standard でも…

>>61
小学生は「質量とエネルギーは等価です」とか言わないのに
アインシュタイン頭悪いよ

こうですか？わかりません

>>61
誤　1は集合です
正　1は集合{{}}として表せます

ちなみに0は{}

帰納的に表現できれば自然数

スレタイからずれるけど実数の連続性ってどれが一番人間の実数に対する感覚に根ざしてんの？
ウィキペディアは>>11で書かれてるけど普通はデデキントの公理使うよね

上限性質かな

>>66
>>11 のは証明が循環しそう

>>68
問題ない

・任意の順序体は有理数体に同型な部分順序体を含む。

従って有理数体に対して
「空でない、上に有界な部分集合が上限を持つよう」
完備化すれば実数体になる

定義には、構成的定義と公理的定義がある。
オレは、公理的定義をすすめる。

有理数体を含むアルキメデス順序体で、連続性と同等の性質を満たすものを実数体というそれで、さっさと先に進め
それ以上は必要になったら勉強すればいい

>>71
実数を定義するのに有理数を使っていいんですか？有理数は実数では？

>>72
有理数は加法乗法を定義すれば整数だけで完結するけど無理数はできず自明でない。

無理数が存在することは自明なの？

全然自明じゃないから苦しい