解析入門 杉浦p.6,7 例5についてです

(以下、該当箇所の抜粋)
有理数体ℚの部分集合 A={x∈ℚ|x>0, x²<2} は上に有界である。
例えば2はAの上界である。しかしℚの中には s=supA は存在しない。
このような s∈ℚ が存在したと仮定して矛盾が生じることを示そう。

s>0 だから s>s-ε>0 となる ε>0 を取れば、上限の性質から a∈Aが存在して
0<s-ε<a となるから (s-ε)²<a²<2 である。
ここで ε>0 は任意だから、 s²≦2 となる。
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この最後の部分の、s²≦2 である、という部分がわかりません。
s²>2と仮定すると (s-ε)²<2<s² が成り立つが、ここでεをうまくとれば (s-ε)²≧2 となるから...
という方針でいけそうだと思いましたが、うまくいきませんでした。

どなたかご教示お願いします。