>>46
AH = AB sin(B) = AC sin(C),
AB/sin(C) = AC/sin(B) = 2R,　　(←正弦定理)
AH = 2R sin(B)sin(C),
S = 2R sin(B)sin(C) + 2R sin(C)sin(A) + 2R sin(A)sin(B)
　≦ (2/3){sin(A) + sin(B) + sin(C)}^2
　≦ 9/2.

〔補題〕
0 ≦ A, B, C ≦180° のとき
　sin(A) + sin(B) + sin(C) ≦ 3sin((A+B+C)/3),
(略証)
和積公式
　sinα + sinβ = 2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)
　　　　　≦ 2sin((α+β)/2),
を2回使う。
　sin(A) + sin(B) + sin(C) + sin((A+B+C)/3)
　　≦ 2sin(A/2 + B/2) + 2sin(C/2 + (A+B+C)/6)
　　≦ 4sin((A+B+C)/3),　　　　　　　　(終)

佐藤淳郎 (訳) 「美しい不等式の世界」 朝倉書店 (2013)
　演習問題1.80