>>750
a(a-1)+b(b-1)=c(c-1) この式を４倍して2を加えて変形すると　(2a-1)^2 + (2b-1)^2 = (2c-1)^2 +1
X=2a-1,Y=2b-1,Z=2c-1と置くと　X^2 + Y^2 = Z^2 +1　を得るが、この形になれば、
原始ピタゴラス数のナンバリングに関連して投稿した内容がそのまま流用できます。

つまり、X^2 + Y^2 = Z^2 +1　が成立するなら、(2X+Y+2Z)^2 + (X+2Y+2Z)^2 = (2X+2Y+3Z)^2 +1　が成立し、
Xを-Xに変えた (-2X+Y+2Z)^2 + (-X+2Y+2Z)^2 = (-2X+2Y+3Z)^2 +1　等も成立
結果、(x,y,z)　が　X^2 + Y^2 = Z^2 +1　の解ならば、(±2x±y+2z,±x±2y+2z,±2x±2y+3z)　も解になるという論法です。

変数変換して、(a,b,c)が、A(A-1)+B(B-1)=C(C-1)　の解ならば、
( 2a+b+2c-2, a+2b+2c-2, 2a+2b+3c-3),
(-2a+b+2c ,-a+2b+2c-1,-2a+2b+3c-1),
( 2a-b+2c-1, a-2b+2c , 2a-2b+3c-1),
( 2a+b-2c , a+2b-2c , 2a+2b-3c )らも解で、これらと、
(a,b,c)→(-a+1,b,c)等の変換の組み合わせで、全ての解を網羅できるはずです。