分からない問題はここに書いてね 470

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね 469
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1626533729/

(使用済です: 478)

数学@5ch掲示板用
☆掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/

☆激しくｶﾞｲｼｭﾂ問題
http://web.archive.org/web/20181107033930/
http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Club/7442/math/index.htm

ゴミか

次の固有値、固有ベクトルを作る行列Pを求めて、対角行列に変換せよという問題
 [[8 2 -5],
[-6 0 5],
[12 2 -9]]

 (8-λ)(0-λ)(-9-λ)... とガリガリと計算して
= -(λ^3+λ^-10λ+8)
(λ-1)(λ^-2λ-8)
= (λ-1)(λ+4)(λ-2)

 よって　λ = 1, 2, -4 だと導き出したのですが、テキストには固有値がなく、この時点で間違っているのかどうかすら分からず。正解の行列Pに合致しません。
固有方程式の過程と固有値を教えていただきPを求める過程を教えてもらえないでしょうか？
テキスト通りにやったつもりなのですが、現状こんな感じで解けません。

単純計算の答え合わせはwolfram先生に尋ねればいいよ

できた

>>5

固有ベクトルは一意的ではないので、 P も一意的ではありません。

マルチに遅レスｗ

471が埋まったので
だれか472で立て直してくだちい

ここ使えばいいだろ、どうせ問題だしっこ公房と馬鹿アスペしかいない

https://i.imgur.com/ZXwnyyf.jpg

赤い線の式の x に A と可換な任意の行列 M を代入することが出来る。

det(x * E_n - A) * E_n

=

x^n * E_n + x^(n-1) * a_{n-1} * E_n + … + x * a_1 * E_n + a_0 * E_n

=

(x * E_n - A) * (x^(n-1) * C_{n-1} + x^(n-2) * C_{n-2} + … + x * C_1 + C_0)

代入すると、

(M - A) * (M^(n-1) * C_{n-1} + M^(n-2) * C_{n-2} + … + M * C_1 + C_0)

=

M^n * E_n + M^(n-1) * a_{n-1} * E_n + … + M * a_1 * E_n + a_0 * E_n

=

φ_A(M)

が成り立つことがわかる。

A は A 自身と可換であるから、

φ_A(A)

=

(A - A) * (A^(n-1) * C_{n-1} + A^(n-2) * C_{n-2} + … + A * C_1 + C_0)

=

O * (A^(n-1) * C_{n-1} + A^(n-2) * C_{n-2} + … + A * C_1 + C_0)

=

O

が成り立つ。

えー、まだケーリー・ハミルトンやるの？

したがって、

https://i.imgur.com/ZXwnyyf.jpg

の最下部の計算は、明らかに無駄なことをやっている。

>>14


>>12-13

が正しいことをようやく納得したということですね？

はい

A を任意の n 次複素正方行列とする。

ユニタリー行列 P をうまく選ぶと、

P^T * A * P は上三角行列になる。

という定理があります。

明らかに、

ユニタリー行列 P をうまく選ぶと、

P^T * A * P は下三角行列になります。

なぜ、この下三角行列のバージョンの定理は教科書に書かれることが少ないのでしょうか？

A^T に定理を適用して、転置を取ればいいわけですが、

直接、

ユニタリー行列 P をうまく選ぶと、

P^T * A * P は下三角行列になる

ということを証明している本はないようですね。

同じように証明できるのに、上三角行列のほうを優遇しています。

そうですね

>>12
間違っている。まず、任意のスカラーλに対して

det(λI - A) * I

= λ^n * I + λ^(n-1) * a_{n-1} * I + … + λ * a_1 * I + a_0 * I

= (λ * I- A) * (λ^(n-1) * C_{n-1} + λ^(n-2) * C_{n-2} + … + λ * C_1 + C_0)

が成り立つ。特に2行目と3行目に注目すると、

λ^n * I + λ^(n-1) * a_{n-1} * I + … + λ * a_1 * I + a_0 * I
= (λ * I- A) * (λ^(n-1) * C_{n-1} + λ^(n-2) * C_{n-2} + … + λ * C_1 + C_0)　… (1)

が任意のスカラーλに対して成り立っている。
MとAを可換として、λ を A に置き換えたときに、君は証明なしに

M^n * I + M^(n-1) * a_{n-1} * I + … + M * a_1 * I + a_0 * I
= (M * I- A) * (M^(n-1) * C_{n-1} + M^(n-2) * C_{n-2} + … + M * C_1 + C_0)

という等号を導出してしまっているが、この部分は全く自明ではない、と
前スレで既に指摘しているのである。それなのに、君はこの部分を相変わらず
証明なしに等号で結んでしまっている。

a^2+b^2=c^2+2
を満たす正整数の組(a,b,c)は存在するか。

われ思う故に我あり

a^3+b^3=c^3
を満たす正整数の組(a,b,c)は存在するか。

前>>25
>>26存在しないと思う。

f(x)は3次式とする。
xy平面上の曲線y=e^(-x)*f(x)の接線で、傾き-1/2のものは何本あるか。

本年最後の出題です。傑作中の傑作をご用意いたしました。
解いてください。

a,bは整数、p,qは有理数とする。
p+q√3が方程式x^2+ax+b=0の解であるならば、p,qはともに整数であることを示せ。

傑作わははは

紙を折った時、面積が同じなら同じ厚さになりますか？

xy平面上に原点O(0,0)と定点A(1,0),B(0,1)がある。
y=x^3-xのx<0の部分をCとし、C上を動点Pが動く。
∠OPA+∠OPBを最大にする点Pの座標を求めよ。

上限値π
最大値なし

a,bを相異なる実数の定数とする。
xy平面上の曲線C:y=(x^2021)(x-a)(x-b)について以下の問いに答えよ。

（1）Cとx軸とで囲まれる領域の面積S(a,b)を求めよ。

（2）bがa+b=2022を満たしながら動くとき、S(a,b)の取りうる値の範囲を求めよ。

今日中に解答ください。よろしくお願いします。

2021!/(2^2021)は整数か。

今日中に解答ください。よろしくお願いします。

一般にn!/2^nが整数となるのはn=0のみ
∵) 反例があるとして最小反例は容易に偶数となる
nを最小反例として
[ n/2 ] + [ n/4 ] + ... ≧ n
とすればnが偶数だから[n/2]=n/2
∴[ n/4 ] + [ n/8 ] + ... ≧ n/2
n>0よりn>n/2となり最小反例より小さい反例が得られたから矛盾

あけおめ

本年初の出題です。分からないので教えてください。よろしくお願いいたします。

【問題】
C[2022,n]が奇数になる最小のnを求めよ。

ことよろ

>>38
a,bを実数の定数とする。
方程式sin(ax)=sin(bx)を解け。

>>39
いやどす

>>39
分からないので教えてください

>>37
こちらこそ分からないので教えてくだい

ミルナーのモース理論の以下の記述が分かりません
何を読めばわかるとかでも構わないので分かる人いたら教えて下さい(和訳だとp111です)

断面曲率K(U,V)は「光学」の術語で言い表せる
観測者をp∈Mとし，そこから単位ベクトルU∈TMp方向にある1点q=exp(rU)を見る
単位ベクトルW∈TMpに対応するqにおける長さLの小さな線分は，観測者には長さ
L(1+r^2/6*K(U,V))+(rの高次のベキ)
に見える

新年良問出題大会です

a,b,cを実数の定数とする。
実数xが|ax^2+bx+c|≦1を満たしながら変化するとき、|cx^2+bx+a|の取りうる値の範囲を求めよ。

A を実3次直交行列とする。

det(A) = 1 とする。

L_A : R^3 ∋ x -> A*x ∈ R^3 とする。

L_A はある軸の周りの回転であることを証明せよ。

>>45

解けました。

φ_A(λ) = det(λ*I_3 - A) = λ^3 - tr(A)*λ^2 + c_1*λ - det(A) = λ^3 - tr(A)*λ^2 + c_1*λ - 1

φ_A(0) = -1 < 0
lim_{λ->∞} φ_A(λ) = +∞
φ_A は連続関数であるから、中間値の定理によって、 φ_A(λ) = 0 となるような正の実数 λ が存在する。
λ に属する固有ベクトルで長さが 1 であるようなものを t1 とする。
A*t1 = λ*t1
t1^T * t1 = t1^T * A^T * A * t1 = (A*t1)^T * (A*t1) = (λ*t1)^T * (λ*t1) = λ^2 * t1^T * t1
両辺を t1^T * t1 で割ると、
1 = λ^2
λ は正の実数であるから、 λ = 1 である。

グラム・シュミットの直交化法により、 t1, t2, t3 が正規直交基底で右手系をなすようなものが存在する。
3次直交行列 T を T := {t1, t2, t3} で定義する。
T^{-1} * A * T は明らかに行列式が 1 であるような直交行列である。
T^{-1} * A * T * e1 = T^{-1} * A * t1 = T^{-1} * t1 = e1 であるから T^{-1} * A * T の第1列は e1 である。
T^{-1} * A * T の3個の列ベクトルは正規直交基底であるから、 T^{-1} * A * T の第2列、第3列の第1成分は 0 である。
よって、 T^{-1} * A * T = {{1, 0, 0}, {0, a, b}, {0, c, d}} と書ける。
2次正方行列 {{a, b}, {c, d}} は行列式が 1 であるから、回転行列である。
よって、 {{a, b}, {c, d}} = {{cosθ, sinθ}, {sinθ, -cosθ}} と書ける。
よって、 T^{-1} * A * T = {{1, 0, 0}, {0, cosθ, sinθ}, {0, sinθ, -cosθ}} と書ける。
これより、 L_A が、 t1 を方向ベクトルとする原点を通る直線を軸とする角 θ の回転であることが分かる。

>>46

Mathematica風の書き方をするなら、

T := {t1, t2, t3}

ではなく、

T := {t1^T, t2^T, t3^T}^T

と書かないと駄目ですね。

でも、 T := {t1, t2, t3} と書いても、文脈から T は第i列が ti であるような行列であると分かると思います。

馬鹿

>>44
分からないので教えてください

>>44
分かりません
どなたか解いてください

見たことある問題ｗ

わからないんですね

どうぞどうぞ元予備校非常勤婆

お願いします。

Oを中心とする半径1の円に外接する正n角形P1P2...Pnと円内の点Aがある。
OA=aとして、�僊PkPk+1を辺PkPk+1を軸として回転させた立体の体積をV(k)とし、k=1〜nのV(k)の合計をVnとする。lim(n->∞) Vnを求めよ。　(Pn+1=P1とする)

よし分かった

わかるんですね（笑）

わからん

↓以下の事実を直感的に説明できますか？


A を 3次実対称行列とする。

L_A : R^3 ∋ x -> A*x ∈ R^3

とする。

ある座標系に関して、 L_A で表わされる3次元空間の点の移動を考える。

原点を動かさずに、うまく座標軸を回転させるとその座標系に関して、この3次元空間の点の移動は、

x_1 -> a*x_1
x_2 -> b*x_2
x_3 -> c*x_3

と表わされる。

>>58

この事実は、代数的に証明してみて初めて分かることですか？

わからないんですね

(1) n 次実対称行列 A は、直交対角化可能です。
(2) n 次実正方行列 A は、固有ベクトルのみからなる基底が存在するとき、対角化可能です。

L_A は、(1)の場合が一番分かりやすいです。
L_A は、(2)の場合も分かりやすいです。

(1), (2)以外の場合、 L_A はどんな写像になるんですか？

n = 2 として、 A が回転行列である場合には、(1)でも(2)でもありませんが、 L_A は分かりやすいです。

(1)でも(2)でもない場合に、 A を分かりやすい行列に分解することはできますか？

前>>27
>>32
y=x^3-x
y'=3x^2-1=1
x=√2/√3=√6/3
y=6√6/27-√6/3=(2-3)√6/9=-√6/9
∴P(√6/3,-√6/9)

>>54
立体の形状は簡単につかめるでしょ
だから体積も簡単に出るでしょ
和をとって極限もいけるでしょ
はい出来た、この通りにやってね

A を n 次複素正方行列とする。
A の異なる固有値に対する固有空間が直交するならば、 A は正規行列であることを証明せよ。

A の異なる固有値を α_1, …, α_k とする。

α_1 に対する固有空間を V_{α_1}
…
α_k に対する固有空間を V_{α_k}

とする。

V_{α_1} の正規直交基底、…、V_{α_k} の正規直交基底をすべて並べたものは、正規直交系をなす。

この正規直交系が基底になることはどうやって示すのでしょうか？

佐武一郎著『線型代数学』

特異値についても一応、例として書いてあるんですね。

>>67
なんか成り立たない反例がありそうな気がします。
反例をお願いします。

固有空間は元の空間を分割しますから当然かと思います

>>67

V_{α_1} + … + V_{α_k} ⊃ C^n が成り立たない例があるような気がします。
V_{α_1} + … + V_{α_k} ⊃ C^n が成り立たない例を教えて下さい。

佐武一郎著『線型代数学（新装版）』を調べました。
やはり、
>>67
は成り立たないのではないかと思います。


p.175

定理7

複素正方行列 A がユニタリー行列によって対角化できるためには、 A が正規行列であることが必要十分である。

A がユニタリー行列によって対角化されるためには、明らかに、 A の相異なる固有値に対する固有空間が互に直交し、かつ V がそれらの
直和になることが必要十分である。

訂正します：

佐武一郎著『線型代数学（新装版）』を調べました。
やはり、
>>66
は成り立たないのではないかと思います。


p.175

定理7

複素正方行列 A がユニタリー行列によって対角化できるためには、 A が正規行列であることが必要十分である。

A がユニタリー行列によって対角化されるためには、明らかに、 A の相異なる固有値に対する固有空間が互に直交し、かつ V がそれらの
直和になることが必要十分である。

>>73

わざわざ、「かつ V がそれらの直和になることが」と書いてあるので、この条件は省けないのではないでしょうか？

>>66
が成り立たない例をお願いします。

>>61

https://youtu.be/qTIwqnweaf8

求めていた答えを見つけました。

前>>64
>>32(別解)
A(1,0),B(0,1),P(p,p^3-p)
加法定理よりcos(∠OPA+∠OPB)=cos∠OPAcos∠OPB-sin∠OPAsin∠OPB
=(→OP・→AP)(→OP・→BP)/(OP・AP)(OP・BP)-sin∠OPAsin∠OPB
=｛p(p-1)+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p)^2-(p^3-p)｝/｛p^2+(p^3-p)^2｝√｛(p-1)^2+(p^3-p)^2｝√｛p^2+(p^3-p-1)^2｝-√1-｛p(p-1)+p^2(p^2-1)^2｝^2/｛p^2+(p^3-p)^2｝｛(p-1)^2+(p^3-p)^2｝√1-｛p(p-1)+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p)^2-(p^3-p)｝/｛p^2+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p-1)^2
これを微分して=0を与えるpがこれを最小にして∠OPA+∠OPBを最大にするんじゃないか？

>>66

A := {{1, 1, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 0}}

とすると

A は正規行列ではありません。

そして、 A の異なる固有値に対する固有空間は直交します。

したがって、

>>66

はやはり成り立ちません。

a,b,cを実数の定数とする。

（1）|ax^2+bx+c|≦1を満たす実数xが存在するために、a,b,cが満たすべき必要十分条件を求めよ。

（2）実数xが動くとき、|cx^2+bx+a|の最小値をm(a,b,c)とおく。a,b,cが（1）の条件を満たしながら動くとき,m(a,b,c)の最小値を求めよ。

>>75

任意の n 次実正方行列 A が A = Q * S と直交行列と対称行列の積に一意的に分解されるってすごい定理じゃないですか？

>>79

この定理は、どの線形代数の教科書にも載せるべき驚くべき定理ではないでしょうか？

伊理正夫著『線形代数汎論』には書いてありました。

「
連続体の線形な変形を扱うとき、ユニタリ変換（回転や鏡映）を非本質的な変形とみなすと、どんな変形も、適当な直交座標軸を選べば、軸方向の伸縮として表せるということを意味している。
」

ジョルダンの標準形もいいですが、

>>79

この定理を最終目標にして線形代数の本を書くというのもいいかもしれませんね。

実2次形式のシルベスターの標準形って何か意味ありますか？
直交標準形だけでいいように思います。

>>78
結論が気になるのですがこれが分かりません。調べてみるとminに限界があることまでは分かりましたが…
実際解こうとしても、放物線の軸の位置で場合分けしても場合分けだらけでそれ以上進めませんでした。何か別の発想が必要だと思うのですが分かりません。
よろしくお願いします。

なぜ、内積を以下のように定義しないのでしょうか？
C^n の標準内積を先に勉強した読者にはこの定義が分かりやすいと思います。


V を C 上のベクトル空間とする。
V × V から C への関数 f が、ある V の1つの基底 v_1, …, v_n に対して、、

f(v, w) = x_1*conjugate(y_1) + … + x_m*conjugate(y_n)

（ただし、 v = x_1*v_1 + … + x_n*v_n, w = y_1*v_1 + … + y_n*v_n とする。）

とかけるとき、 f を V 上の内積という。

疑問のレベルがどんどん下がってるね

>>84

通常の内積の定義と一致しますが、こちらのほうが分かりやすいです。

>>78
この問題を解説よろしくお願いします。

了解

Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』が明快すぎます。

ならそれ読んでればいいだろ
何でわざわざ「分かりにくい本」を読んで批判してんの？

なんでそんな表現をするのか分からないからというある意味でメタな視点の疑問だろうな
こういう系の質問は似たようなものを連投できるようだし、キリがないようなら禁止すべきかもしれない

頭が緩い奴

>>78
どなたか解説お願いします
文字が多くなりすぎて計算では処理できず方針が立ちません

量紋ですね

(1)は有名問題ですね
解法が天下り的なんで知ってるかどうかですな

そうなの？aの正負で場合わけして最小値(もしくは最大値)が1以下(-1以上)になればええとちゃうの？

>>96
だよね。
a=0,b=0 なら単純に　|c|≦1でxは任意の実数でよい。
a=0,b≠0なら、cが何であっても|bx+c|≦1となるxは存在する。
a≠0の場合は　>>96の通り。

佐武一郎著『線型代数学新装版』

p.29 「われわれはこれらの結果を見越して最初からこの形の行列によって複素数を定義したのである。」

これが何を言っているのか分かりません。
解説をお願いします。

>>87　>>93
出題者では無いが、出題者が想定している解答方針は

|ax^2+bx+c|≦1
を
ax^2+bxy+cy^2 = t, |t|≦1,y=1
と読み替えさせるものだと思われる。

・yを導入することで、どのような見方が可能になるのか？
・tの変化で、図がどのように変化するか？

この辺に注目すれば、見通しが良くなると思う。

佐武一郎著『線型代数学新装版』

p.29 「われわれはこれらの結果を見越して最初からこの形の行列によって複素数を定義したのである。」

この文の直前で、なぜ、 {{a_1, -a_2}, {a_2, a_1}} によって、 a_1 + a_2 * i を表現するのかを説明していると思われます。

それがさっぱり分かりません。

説明をお願いします。

J := {{0, -1}, {1, 0}} とおくと、

J^2 = -E = {{-1, 0}, {0, -1}} になることから、

{{a_1, -a_2}, {a_2, a_1}} = a_1 * E + a_2 * J が複素数を表現するというのは明らかで、妙な説明など付け加える必要などないと思うのですが。。。

>>100

それと、 p.27の問2により、 s を任意のゼロでない実数、 t を任意の実数として、
2×2 行列 {t, -(t^2+1)/s}, {s, -t}} を J として用いることができることも分かります。

2×2 行列 {t, -(t^2+1)/s}, {s, -t}} は2乗すると、 -E になるからです。

佐武一郎さんは、 s = 1, t = 0 を選択したわけです。

>>99
あーなるほど
x=1を代入すると（2）になるってことでもあるんですね
こんなのよく思いつくなーと感心します
99さんもよく見破りましたね…

キーとなるのは、p.27の問2です。

X^2 = -E となるような X さえ手に入れてしまえば、 a + b*i を a*E + b*X で表わすことができるのは明らかだからです。

不可解なのは、訳のわからない説明をなぜ、さらに付け加える必要があったのか、です。

>>99
二変数になるので入試問題としては不適格

[NGID:Ixv1Zj7J]の馬鹿自慢

>>100

誰も説明できないということは、佐武一郎さんの説明に問題があるのかもしれませんね。

>>107
低脳自慢に著者を巻き込むな

佐武一郎著『線型代数学』

代数学の基本定理

と

実係数の多項式が実1次多項式と実2次多項式の積に分解されるという定理

が同値であると書いてありますが、意味不明です。

フェルマーの定理とフェルマーの小定理はどちらも真な命題なので同値ですが、わざわざそんなことを書く人はいません。

相変わらずバカだなぁ

自己紹介乙
>わざわざそんなことを書く人はいません。

佐藤二朗と佐竹一郎はNG

佐武一郎さんの『線型代数学』を読んでいると、数学力がしっかりしているなと感心します。
齋藤正彦さんの本では、そのような感じは全く受けません。

実数上で連続な関数fが
任意のxに対し
f(x+1)*f(x-1)-f(x)^2=1
を満たすとします

xが整数ならばf(x)も整数であるとき
関数fは
f(x)=((3+√5)^x+(3-√5)^x)/(2^x*√5)
を横に半整数分平行移動させたもの以外には存在しないのでしょうか

sin(πx)ずらすとか

sinだとf(x)^2の方が必ず大きくなるのでは

いやf(x)が条件満たすときf(x+sin(πx))も条件満たすんじゃない？

あ、sin(2πx)ずらさないとだめかな
x,x+1,x-1でのずらし量が同じで整数のときずらし量0になってればいい

ほんとだ、たしかに満たしますね
面白いです

元の形状が
f(x)=((3+√5)^x+(3-√5)^x)/(2^x*√5)
以外のものはあるんでしょうか

-でもありそうだけどな
(a^x-a^(-x))/(a-(1/a))
とタイプでできそう

友達から急にLINEで送られてきた問題
トレジャークエスト
“天神の遺産”

暗号を解き、ワールドのどこかに隠された財宝を見つけよ。
・難易度：低
・財宝の質：低

暗号本文
X,Y,Znear
X!=13763753091226300×10^27
(ax^3)-(bx^2)+c-1=0
a=X,b^2=4489,c=((64^-1)+(169^-1))×10816
→Y
AB=62,AC=73,A=52°
Z=ABC

出題者から
ヒントは一切ありません。範囲としては代数学・解析学・幾何学の基礎なのでとても簡単です。（出題者は一時間で解き終わった）

天神は端を嫌う
何かのコピペなのか知らないけどさっぱり分からん

>>120
マイナスだと
f(x)^2-f(x+1)*f(x-1)=1
になるんですよね

すべての実数xについて
f'(x)=f(x+1)
を満たす微分可能な関数f(x)を求めよ。

微分して横にずれるんならsinでしょ

定数関数でもいいだろ

微分記号が見えてなかったわ
y＝0 とかかな

>>122
せやね
あかんね
そもそもよくよく考えたら
・ac-b^2=1というa,b,cを選ぶ
・f(1).=a,f(0)=b,f(-1)=cとなる[-1,1]で定義された連続関数をなんでもいいからひとつ選ぶ
・f(x+1)f(x-1)-f(x)^2=1を漸化式と思って延長する
で「xが整数のとき整数値」以外の条件は全部満たされるから結局この問題
「f(x+1)f(x-1)-f(x)^2=1を漸化式と思って整数全体に定義域を広げても全て整数値をとる(a,b,c)の組みがどれくらいあるのか」って話だな
いわゆる“Somos dequence”のタイプの問題
確か最初の何項かが整数なら後全部整数になるとかそんな形で解決してたような
Laurant phenomenon
とかいうタイトルの論文に書いてあったような

f(x)^2-f(x+1)*f(x-1)=1
に関しては

0,1,-1,0,1,-1,0,1,-1,…
f(x)=(2sin(2πx/3))/√3

0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,…
f(x)=sin(πx/2)

0,1,1,0,-1,-1,0,1,1,…
f(x)=(2sin(πx/3))/√3

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,…
f(x)=x

0,1,3,8,21,55,144,377,…
f(x)=((3+√5)^x-(3-√5)^x)/(2^x*√5)

0,1,4,15,56,209,816,…
f(x)=((2+√3)^x-(2-√3)^x)/(2√3)

って感じで無限に存在するんですけど

f(x+1)*f(x-1)-f(x)^2=1
は今のところ

1,2,5,13,34,89,233,…
f(x)=((3+√5)^x+(3-√5)^x)/(2^x*√5)

しか見つけられてないんですよね

>>119
できた
そもそも>>127で書いた通りf(-1),f(0),f(1)をf(1)f(-1)-f(0)^2=1となる整数に選んでしまえば残りは[-1,1]で連続になるように好きに選べるから事実上f(-1),f(0),f(1)の選び方の自由度しかない
f(n)を整数上だけに制限したものをa[n]とおく
a[n]として許されるのは(a[-1],a[0],a[1])=(1,1,2)と選んだ場合とそのシフトと変換a[n]→a[n](-1)^nを施して得られるものしかない
まず0が出てこれないのは容易
変換を施して隣接2項が共に正であるようにとれる
すると漸化式より全項正
a[n]<√(a[n]^2+1)=√(a[n-1]a[n+1])
により“凸”である正の整数列だから最小値を持つ
シフトしてa[0]が最小としてよい
もしa[1],a[-1]≧a[0]+1なら
a[1]a[-1]-a[0]^2≧2a[0]+1>1
で矛盾
よってa[1],a[-1]のいずれかはa[0]に等しい
やはり必要ならシフトしてa[-1]=a[0]としてよい
このとき
1 = a[1]a[-1]-a[0]^2 = a[0](a[1]-a[0])
によりa[0]=1,a[1]=2
またこのとき条件が満たされるのは>>114の一般項の表示から明らか

ちょい訂正
整数だけに制限されてれば正負入り混じる事が可能だけどf(x)は0を取れないから実数全体に延長できるためには全部同符号でなければならない
なので一般解は
(f(-1),f(0),f(1))=(1,1,2),(-1,-1,-2)
のいずれかを[-1,1]で0にならないよう繋げて実数全体に延長したものを整数シフトしたもの
やね

>>129-130
なるほど、では1,1,2タイプしか存在しないのですね
ありがとうございました

>>123
これってゼロ以外は無い？

だからsin

あれ、sin無理じゃない？

そっか無理だな
すまん

>>132
遅延微分方程式。普通の微分方程式より多くの解がある。

>>136
へえ、やはり研究されてるんだね
でも全てのxで定義されてる非自明解ってほんとにあるの？

f’(x)=f(x+π/2)ならsinxがあるわけですからなんかあるんじゃないですか？

f(x)=e^(ax)cos(bx)の係数調整でいけるんかな
ランベルトのW関数使って-W_n(-1)=a+bi
(例えばn=0のときa=0.3181315…, b=-1.3372357…)
近似計算だと途中で指数的に誤差デカくなって全域で上手くいってるのかよく分からんけど

ランベルトの複素関数的性質よく分からんけど
e^(a)cos(b)=a
e^(a)sin(b)=b
を連立してるだけだから問題は無さそう…？

p<qである有理数p,qに対し、p<a<qを満たすできる限り初等的な無理数aの例を1つ挙げ（p,qで表し）、またaが無理数であることを説明せよ。

z=ax^2+bxy+cy^2は二次曲線

x=1とy=1の切り口の比較やね

>>141
これってpとqを内分する無理数を上手く取ることはできませんか？

pとqの間を1:√2とかでわければOK

>>145
ありがとうございます
√を使って内分するとできるんですね
理解できました

nCkが整数であることを、「組み合わせの数だから整数になる」という言い方を使わず、数式だけで説明するにはどうしたらいいですか？

パスカルの三角形

二つの級数 Σa_n, Σb_n が与えられたとき、 a_i * b_j = a_{ij} とおく。いま、自然数の組 (i, j) の全体を一列に並べると級数 Σc_{ij} が定まる。
これらの級数について次の定理が成り立つ。

定理15.
Σa_n と Σb_n とが絶対収斂するならば、 Σc_{ij} も絶対収斂して

Σc_{ij} = Σa_n * Σb_n.

特に、 c_n = a_n*b_1 + a_{n-1}*b_2 + … + a_1*b_n とおけば、 Σc_n は絶対収斂し

Σc_n = Σa_n * Σb_n.

後半の証明ですが、

|c_n| = |a_n*b_1 + a_{n-1}*b_2 + … + a_1*b_n| ≦ |a_n|*|b_1| + |a_{n-1}|*|b_2| + … + |a_1|*|b_n|

d_n = |a_n|*|b_1| + |a_{n-1}|*|b_2| + … + |a_1|*|b_n| を第 n 項とする級数 Σd_n は収斂級数 Σ|c_{ij}| 「部分級数」であるから収斂する。

よって、 Σ|c_n| は収斂する。

Σc_n は Σc_{ij} の「部分級数」であるから Σc_{ij} と同じ値に収斂する。

ゆえに、

Σc_n = Σc_{ij} = Σa_n * Σb_n.

訂正します：

後半の証明ですが、

|c_n| = |a_n*b_1 + a_{n-1}*b_2 + … + a_1*b_n| ≦ |a_n|*|b_1| + |a_{n-1}|*|b_2| + … + |a_1|*|b_n|

d_n = |a_n|*|b_1| + |a_{n-1}|*|b_2| + … + |a_1|*|b_n| を第 n 項とする級数 Σd_n は収斂級数 Σ|c_{ij}| の「部分級数」であるから収斂する。

よって、 Σ|c_n| は収斂する。

Σc_n は Σc_{ij} の「部分級数」であるから Σc_{ij} と同じ値に収斂する。

ゆえに、

Σc_n = Σc_{ij} = Σa_n * Σb_n.

Σc_n = Σc_{ij} = Σa_n * Σb_n

が成り立ちますが、

Σ|c_n| ≦ Σ|c_{ij}| = Σ|a_n| * Σ|b_n|

ですよね。

これって不思議じゃないですか？

Σ|c_n| < Σ|c_{ij}| となるような例を教えて下さい。

12345...2021 × 9999 ＋ 2022
を計算したときの、各位の数字の和
って求まりますか？

点Ｐから△ＡＢＣの各辺ＢＣ,ＣＡ,ＡＢに垂線を下した時の交点をＬ,Ｍ,Ｎとする。
点Ｐを中心とする円に対してＬ,Ｍ,Ｎを反転させた点をＬ’,Ｍ’,Ｎ’とする。

（１）ＡＬ,ＢＭ,ＣＮが一点で交わるのは点Ｐがどういう条件を満たすときか？

（２）ＡＬ’ＢＭ’ＣＮ’は一点で交わることを示せ。

答

わかるんですね（笑）

劣等感婆だろｗ

>>153
12345…2021って何？

123456789101112131415……2018201920202021
ってこと？

x>0 に対して -x-coshxsinhx+2(sinhx)^2/x<0 になりますでしょうか。

A, B を n 次複素正方行列とし、 A*B = B*A が成り立つとする。

(I_n + A + (1/2!)*A^2 + (1/3!)*A^3 + …) * (I_n + B + (1/2!)*B^2 + (1/3!)*B^3 + …) = (I_n + (A + B) + (1/2!)*(A + B)^2 + (1/3!)*(A + B)^3 + …)

が成り立つ。

A, B が 1 次複素正方行列の場合と同じように証明するにはどうすればいいですか？

>159
-x^2-xcoshxsinhx+2(sinhx)^2<0 on (0,∞)
が3階微分で示せたのでできました。
もし取り組んで下さった方がおりましたらありがとうございました。

>>160

あ、何も変更する点はないですね。

>>147
nCk=n(n-1)…(n-k+1)/k!
で分子は連続するk個の整数なのでkで割った余りは0,1,2,…k-1を一つずつ取る。
分子はk以上の数の積。よってiの倍数(1≦i≦k)をいずれも含みnCkは整数。

うそくさ

>>162
うそくせー

>>164すまん間違ってた…。取り消します。

>>147
nの階乗を素因数分解した時、素因数pの指数qは、
q = [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + [n/p^4] +... = Σ[t=1,∞]([n/p^t])
で計算できます。

C[n,r]=n!/((n-r)! r!) なので、C[n,r] を素因数分解した時、素因数pの指数qは、
q = Σ[t=1,∞]([n/p^t] - [(n-r)/p^t] - [r/p^t])
で計算できますが、一般に、
[(a+b)/k] ≧ [a/k] + [b/k]
である事を考えれば、q≧0が分かる。

C[n,r]の任意の素因数について、指数が非負であることが示せるので、C[n,r]は整数だと結論できます。

平面上に２点Ａ，Ｂを結ぶ直線ＬとＡ，Ｂの中点Ｏがある．
ＯＡ＝1,ＯＢ＝1とするき定木のみを用いてＬ上に作図できる点を考えるとき
任意の有理数を作図することは可能なのでしょうか？

>>147
パスカルの三角形で帰納法使えばいいんじゃないかな

それが普通だよな

ア・ゲ・クローシュ著『代数学教程2』に、

「一般に、有限または無限でさえあってよいが素数の任意の集合をとり、既約形の分母がいまとった集合に属する素数だけで割り切れる有理数系を
考えれば、同じく環を得るであろう。」

と書いてあります。

1/7 + 6/7 = 1/1

です。 1 は素数では割り切れません。

これはどういうことでしょうか？

>>152
疑問の意図が読み取れてないかもしれないけど例えば
an:1,1,0,0,0,...
bn:1,-1,0,0,0,...
なら
cn:1,0,-1,0,0,0,...
だからΣ|c_n| < Σ|c_{ij}|になるんでは

nは自然数で、n≧2とする。
(n^2+1)/(n+1)は整数になるか。

(n^2+1)/(n+1) -(n-1) = 2/(n+1) ∈ (0,1)
ならない

a,bが互いに素な整数のとき、
ax+by=1
となる整数x,yを具体的にa,bで表すことは出来るのでしょうか。存在について証明する入試問題は見たことがあるのですな

あれ、これ前のスレでもあったような

オイラーのφ関数使って
x=a^(φ(b)-1),y= (a^φ(b)-1)/b
(後者はオイラーの定理から整数になる)

あ、y=(1-a^φ(b))/b か

ア・ゲ・クローシュ著『代数学教程2』に、

「加法の結合律から同様にして、正の整係数 n をもつ、元 a の倍元 n*a の概念に導かれる。」

と書いてあります。

n*a の定義に加法の結合律なんて必要でしょうか？

さすが本物のアスペは一味違う

(a * a) * a ≠ a * (a * a)

となるような演算の例をあげてください。

ab:=a+1

>>181
非可換環で、そのある元 a に対して、

(a * a) * a ≠ a * (a * a)

となるような演算の例をあげてください。

環なら可換だろうが非可換だろうが結合律が定義に入ってるだろうが
なんでそんな馬鹿なん？

分配多元環で、そのある元 a に対して、

(a * a) * a ≠ a * (a * a)

となるような演算の例をあげてください。

分配多元環で、そのある元 a に対して、

(a * a) * a ≠ a * (a * a)

となるようなものは存在しますか？

クローシュの本には、環の定義から結合律を除いた公理を満たす集合を非結合環と書いていますね。

微分可能な増加関数f, gが
f(1)>g(1),
x≧1で f'(x)≧g'(x)
をみたすとき、x≧1で f(x)>g(x) といえますか。

言える

f(x)=f(1)+∫(1->x)f'(t)dtの形で比較

松坂和夫著『代数系入門』の第3章「環と多項式」に加法群の自己準同型全体の集合が環になるということを例でチェックしています。

加法群 A から A への単なる写像の集合も環になりますが、なぜその部分環である自己準同型環をわざわざ例で扱っているのでしょうか？

あ、分配法則が成り立ちませんね。

あっ、馬鹿アスペ二号ですね

a * (b + c) = a * b + a * c が成り立ちませんね。
(b + c) * a = b * a + c * a のほうは成り立ちますね。

>>193

松坂和夫さんは、いかにもこういうことを注意書きしそうですが、していません。

らしくないですね。

なぜ人の言うことを聞く気がないのに質問するのでしょうか？

聞こえの良い回答を摘まみ食いしたい根性から卒業できないからじゃね？

>>194
どうしてそこで左分配則だけが成立する代数系を調べてみよう、なんて思わないんだろ。

左分配則だけが成立する代数系てなんかあるんですか？

流れがわからないけど
和は普通の和
積は常に第1引数（第2引数）を返す2項演算
みたいなのを考えれば変なのが作れるんでは

次の二項係数の比の極限を求めよ。
lim[n→∞] C[n^2+2n,n]/C[n^2+3n,n]

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim%5Bn%E2%86%92%E2%88%9E%5D+C%5Bn%5E2%2B2n%2Cn%5D%2FC%5Bn%5E2%2B3n%2Cn%5D&;lang=ja

>>201
それは分かります
求める過程が分かりません

勘でスターリング

三角形ABCの中に点Pを取った時にAB+AC>PB+PCを証明せよという問題が分かりません。
大学の教養教育の問題です。誰か助けて

>>204
高校1年で習う範囲
チャート式にそのまんまの例題が載ってるから本屋行って見てきたら

>>204
わからないんですね

>>204

点 B と P を結ぶ直線と線分 AC との交点を Q とする。

三角不等式より、

BA + AQ > BQ = BP + PQ
PQ + QC > PC

これらの不等式の左辺同士、右辺同士を足し合わせて大小を比較すると、

BA + AQ + PQ + QC > BP + PQ + PC
BA + AQ + QC > BP + PC
BA + AC > BP + PC

>>207
ありがとうございます！

今日も「解いた側」の圧勝かぁ・・・。
毎日毎日、ラクラク解ける問題ばかりだから常勝なんだよね・・・。
たまには、解けない解けないっと悩んで負けてみたい、それが今の切実な悩み。

>>198

「左分配則」というのが

>>193

のどちらの等式を指すのでしょうか？

それが、 a * (b + c) = a * b + a * c のほうだとすると、

加法群 A から A へのすべての写像の集合の積（写像の合成）を * として、

加法群 A から A へのすべての写像の集合上の新たな積 × を、

a × b := b * a

と定義すればいいのではないでしょうか？

>>200
C[n^2+2n,n]/C[n^2+3n,n]
=[(n^2+2n)...(n^2+n+1)]/[(n^2+3n)...(n^2+2n+1)]
=1/[(1+(n/(n^2+2n))...(1+(n/(n^2+n+1)))]
=1/[(1+(1/(n+2))...(1+(1/(n+1+(1/n))))]
よってC[n^2+2n,n]/C[n^2+3n,n]の逆数は
Pn:={1+(1/(n+1)}^nより大きくQn:={1+(1/(n+2)}^nより小さいが
いずれもn→∞でeに収束するので求める極限は1/e

>>211
PnとQnの大小が逆だったが趣旨は特に変わりないはず

連続関数f(x)が
・f(0)=0
・a≦f(b)を満たす任意の正の数a,bに対して f(a)≦f(b)
をみたすとき、x≧0においてf(x)≦x といえますか。

fの定義域をエスパーするのも問題のうち？

ほっとけ、>>187だろ

>>200
スターリングで求めるなら
与式= {(n²+2n)!(n²+2n)!}/{(n²+3n)!(n²+n)!}
= √{2π(n²+2n)} * {(n²+2n)/e}^{n²+2n} * .. / .. .. + o(1)
= (1+2/n)^{2n²+4n} * (1+3/n)^{-n²-3n} * (1+1/n)^{-n²-n} + o(1)
= (1+4/n+4/n²)^{n²} *(1-3/n+9/n²-...)^{n²} *(1-1/n+1/n²-...)^{n²} * e^{8-9-1} + o(1)
= { 1 +1/n² + O(1/n³) }^{n²} * e^{-2} + o(1)
= 1/e + o(1)

>>210
イヤイヤ、そういう技術的定義の問題ではなく、
左分配則が成り立たない代数はどう特徴づけられるか、を考えたらどうですか、という老婆心。

例えばとして、こんな命題（真か偽かは知らんよ）を考えて見たくならない？。

集合Aには二つの演算 + と * が定義されており、
+に関しては可換群をなし、 * と + については右分配則は成立するが左分配則は成立しないとする。
ことのとき、適当な可換群XをとればXからXへの写像の全体Bにかくかくしかじかの演算（今話題にしている演算のことね）を定義すれば、
AとBは次の意味で同型である、

なんて話。
書き足りない部分は適当に想像して補ってね。

>>217
＞書き足りない部分は適当に想像して補ってね。

すぐ著者のせいにする松坂くんにそれは酷というものだ

p を素数とする。
G を Z_p を成分とする行列式が 0 でない 2 次正方行列全体からなる乗法群とする。

#G を p の式で表わせ。

荒らしに構うなということ

>>219
A = [ a ,b ; c, d ], a ,b , c, d ∈ Z_p
ad ≠ bc (mod p)

(1) ad = 0
a=0, a≠0 で場合分けして, (a, d) の組は p + (p-1) = 2p-1 通り
b,c は 1,..,p-1 つまり (b,c) : (p-1)² 通り

(2) ad ≠ 0
ad=k(≠0) と a(≠0) を固定すると d=k*a^{-1} で一意に定まるので (k, a) : (p-1)² 通り
ここで bc=k' (≠k) と置く
(2-1) k' = 0
b=0, b≠0 で場合分けして, (b,c) : 2p-1 通り
(2-2) k' ≠ 0
(k',c) つまり (b,c) : (p-2)(p-1) 通り

(1),(2) より
#G = (2p-1)(p-1)² + (p-1)²(2p-1 + (p-2)(p-1))
= p(p+1)(p-1)²
(もっとエレガントな解法がありそう)

検算(PARI/GP)
? p=prime(17)
= 59
? cnt=0; for(a=1,p,for(b=1,p,for(c=1,p,for(d=1,p, if((a*d-b*c) % p != 0, cnt++))))); cnt
= 11908560
? p*(p+1)*(p-1)^2
= 11908560

>>221

正解です。

n∈Z⊂Z_p に対して [[1 n][0 1]]∈G だから、正解は #G=∞ じゃないの

Z_pはp進整数環でなくZ/pZのことだと思う

ついでに，

k=F_qをq元体，V=k^2をk上の2次元ベクトル空間とする．
G=GL(2,k)の元は(v,u), v,u はVの１次独立な元と書ける．
v∈Vは0でない任意の元ととれるから，選び方はq^２−１．
uはVの直線kv上にない元だから，選び方はq^2-q.
よって，#G=(q^２−１)(q^２−q).

同様の考え方で
#GL(n,k)=(q^n-1)(q^n-q)...(q^n-q^(n-1))
も分かる．

G を群とする。

i を整数とする。

(a * b)^i = a^i * b^i
(a * b)^{i+1} = a^{i+1} * b^{i+1}
(a * b)^{i+2} = a^{i+2} * b^{i+2}

がすべての a, b ∈ G に対して成り立つとする。

このとき、 G は可換群であることを示せ。

ab = ( RHS of �A ) × ( RHS of �@ )^(-1) = a^(i+1)ba^(-i)
ab = ( RHS of �B ) × ( RHS of �A )^(-1) = a^(i+2)ba^(-i-1)
∴ a^(i+2)ba^(-i-1) = a^(i+1)ba^(-i)
∴ ab = ba

(a * b)^i = a^i * b^i
(a * b)^{i+1} = a^{i+1} * b^{i+1}
(a * b)^{i+2} = a^{i+2} * b^{i+2}

(b * a)^i = a^{-1} * (a * b)^{i + 1} * b^{-1} = a^{-1} * (a^{i+1} * b^{i+1}) * b^{-1} = a^i * b^i

なので、

(a * b)^i = (b * a)^i

同様にして（i を i + 1 に置き換えて、同様の式変形をすると）

(a * b)^{i + 1} = (b * a)^{i + 1}

c := (a * b)^i = (b * a)^i とおく。

(a * b) * c = (a * b) * (a * b)^i = (a * b)^{i + 1} = (b * a)^{i + 1} = (b * a) * (b * a)^i = (b * a) * c

∴ a * b = b * a

>>228

我ながら、いい解答ですね。

ところで、この問題の次の問題が以下の問題です：

G を群とする。

i を整数とする。

(a * b)^i = a^i * b^i
(a * b)^{i+1} = a^{i+1} * b^{i+1}

がすべての a, b ∈ G に対して成り立つとする。

このとき、 G は可換群であるとは言えないことを示せ。

(a * b)^0 = a^0 * b^0
(a * b)^1 = a^1 * b^1

は任意の群で成り立つ。

群の中には非可換群が存在する。

もし、

>>230

の問題が試験で出題された場合、

>>231

この解答でOKですか？

あいかわらずアホだなぁ

>>230

の問題は別に任意の i, i + 1 に対して成り立つことを仮定していません。

ある i, i + 1 に対して仮定が成り立つが、 G は非可換でありえるということを示せば十分なはずです。

だからそういう当たり前の束縛をキチンと書けないからアホなんだよ
>>226はエスパーしてやったがそういう当たり前の束縛をキチンと記述できないのがアホの証なんだよ

>>225

この2つの問題はある教科書に載っている問題です。

>>236
教科書に載ってる文章だろうがなんだろうが>>235を読んで「ああ、そうだ、その通り」って思えないからさらにアホなんだよパープー

この教科書の著者は不注意な人ですね。

おまえが言うなｗ

先人に対してなんの畏敬の念も持てないクソ

吉祥寺より西の音大を卒業したピアノレッスンプロとかならすべての時代で比較しても最高峰のピアノの弾き手気分丸出しで高ビーにご指導なさりますかもしれませんね。

a^2+b^2=c^2を満たす正整数の組(a,b,c)全体からなる集合をSとする。
(d-e)^2+e^2=f^2を満たす正整数の組(d,e,f)全体からなる集合をTとする。
このときS∩Tについて述べた以下の�@から�Bのうちで正しいものを選び、その理由を述べよ。

�@空集合である
�A空集合でない有限集合である
�B無限集合である

△ABCにおいて、BD:DC=1:2に内分する点D、CE:EA=1:2に内分する点E、AF:FB=1:2に内分する点Fをとる。
ADとBEの交点をP、BEとCFの交点をQ、CFとADの交点をRとする。以下の比を求めよ。
(PQ+QR+RP)/(AB+BC+CA)

以下のような、 G とその上の２項演算の例をあげてください。

G を空でない集合である。
G に結合法則を満たす２項演算が定義されているとする。
この２項演算に関して、 G には右単位元が存在するとする。
この２項演算に関して、 G には G の任意の元に対して、その左逆元が存在するとする。
この２項演算に関して、 G は群ではない。

訂正します：

以下のような、 G とその上の２項演算の例をあげてください。

G を空でない集合である。
G の上の２項演算は結合法則を満たす。
この２項演算に関して、 G には右単位元が存在する。
この２項演算に関して、 G には G の任意の元に対して、その左逆元が存在する。
この２項演算に関して、 G は群ではない。

訂正します：

訂正します：

以下のような、 G とその上の２項演算の例をあげてください。

G は空でない集合である。
G の上の２項演算は結合法則を満たす。
この２項演算に関して、 G には右単位元が存在する。
この２項演算に関して、 G には G の任意の元に対して、その左逆元が存在する。
この２項演算に関して、 G は群ではない。

訂正します：

以下のような、 G とその上の２項演算の例をあげてください。

G は空でない集合である。
G の上の２項演算は結合法則を満たす。
この２項演算に関して、 G には右単位元が存在する。
この２項演算に関して、 G には G の任意の元に対して、その左逆元が存在する。
この２項演算に関して、 G は群ではない。

あ、わかりました。

G = {e, a}

e * e = e
e * a = e
a * e = a
a * a = a

と G とその上の２項演算を定義すると G は
>>247
の条件をすべて満たします。

有限集合 G の上に associative product が定義されていて、right cancellation law および left cancellation law が成り立つとする。

このとき、 G は群であることを証明せよ。

結合律と左簡約律により積準同型G→Aut(G)を得る
右簡約律よりこれは単射なのでGは有限群Aut(G)の積閉集合として有限群になる

運用板にて
https://agree.5ch.net/test/read.cgi/operate/1600543268/26
> [ 運用情報 ] 当分お断りしております。

> 26 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM [sage]： 2020/12/27(日) 06:19:42.85 ID:TP6kegao0
> どうしたら書きこめる？
> 三角比を使わずに解いたって、伝えてくれ。

>>249

a を G の任意の元とする。

S_a : G ∋ x -> x * a ∈ G
T_a : G ∋ x -> a * x ∈ G

とする。

right cancellation lawにより、 S_a は単射。 G は有限集合だから、 S_a は全単射。
left cancellation lawにより、 T_a は単射。 G は有限集合だから、 T_a は全単射。

T_a は全射だから、 S_a(x) = a を満たす x ∈ G が存在する。
b を G の任意の元とする。
S_a(T_b(x)) = T_b(S_a(x)) = T_b(a) = S_a(b)
S_a は単射だから、 T_b(x) = b
∴ x は G の右単位元である。

b を G の任意の元とする。
T_b は全射だから、 T_b(y) = x を満たす y ∈ G が存在する。
∴ b は右逆元をもつ。

以上より、 G は群である。

解答出ても意味わからんのやろなぁwwwwww

有限集合 G の上に associative product が定義されていて、right cancellation lawが成り立つとする。

群にならない G の例をあげよ。

あ、簡単ですね。

G = {a, b}

a * a = a
b * a = a
a * b = b
b * b = b

とすれば、結合法則は明らかに成り立ちます：
○, △ を任意の G の元とする。
（○ * △） * a = a
○ * (△ * a) = ○ * a = a
（○ * △） * b = b
○ * (△ * b) = ○ * b = b

a * b = b だから b は単位元ではない。
b * a = a だから a は単位元ではない。

よって、 G には単位元が存在しない。

∴ G は群ではない。

ID:h0H/Iv3uさんの本名がわかりません
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1642584063/

こちらの質問に回答よろしくお願いします

無限集合 G の上に associative product が定義されていて、right cancellation law および left cancellation law が成り立つとする。

群でない G の例をあげよ。

あ、瞬間的に答えが思い浮かびました。

N （1以上の整数の集合）
演算は通常の加法

演算に関して閉じているのは明らか。
結合法則が成り立つのも明らか。

単位元は存在しません。

n > 2 とする。
位数 2*n の非可換群を作れ。

2面体軍

正六面体軍

1〜5のうち、AとBの単語の関係が、CとDの単語の関係と等しくないのはどれか。

1　A:整数　B:偶数　C:男性　D:太郎
2　A:食べる　B:果物　C:読む　D:新聞
3　A:速い　B:遅い　C:高い　D:低い
4　A:東京　B:日本　C:松江　D:島根県
5　A:風邪　B:発熱　C:徹夜　D:眠気

答えが1らしいのですが、どう解けばいいでしょうか。　

A is to B what C is to D って構文を思い出した

aを実数とし、α=a+ia^2と表される複素数αを考える。ここでiは虚数単位である。
aが0≦a≦1を動くとき、複素数平面上の点P(αexp(α))が動いてできる曲線の長さを求めよ。
ただし複素数βが表す複素数平面上の点XをX(β)と書く。

太郎がマンコつきチンコなしの場合などを考えれば、他と全然違うのはカンですぐに分かるんじゃない
公的試験ならめんどくさい人たちが噛みついてくる可能性があるから、太郎が♀の場合を考慮する必要がある

偶数は整数の一部
太郎は男性の一部
だから1番もABとCDの関係が等しいと思ったのですが

>>243
メネラウスの定理より、
(PQ+QR+RP)/(AB+BC+CA)=(1/2)(3/7)=3/14

>>262
数学の問題か？

スレタイを「分からない数学の問題はここに書いてね」にしようか

くだらねぇ問題はここへ書け
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/

昔はこっちのスレもにぎわってた
テンプレに載る2大質問スレだった

漸化式 a[n+1]=(Aa[n]+B)/(Ca[n]+D) , a[0] ∈ 複素数　

複素数a[n]がすべて同一円周上にあるためのA,B,C,D,a[0]の条件は？

αを複素数の定数とする。
複素数平面上の原点O(0)とA(α)を結ぶ線分OA上を点P(z)が動く。

（1）直線OAを表すαの式を求めよ。

（2）w=z^2-zが表す図形はどのようなものか述べよ。

α、β(α≠β)を0とは異なる複素数とし、複素数平面上の3点O(0)、A(α)、B(β)と、△OABの外接円Cを考える。
OからABに垂線を下ろし、その延長とCとの交点をP(w)とする。
wをαとβで表せ。

272は軌跡の限界が分かりません。
273は円C上にあることをどう式にしたらいいか分かりません。
ご教授よろしくお願いいたします。

>>266
偶数は整数の半分だけど太郎は男性の半分ではないからでは？

教授である

1から10までの数字を4つ選んで和が28になる組み合わせは何通りか。(同じ数字は一度しか使えない)
10.9.8.1 10.9.7.2 10.9.6.3 10.9.5.4
10.8.7.3 10.8.6.4 10.7.6.5
9.8.7.4 9.8.6.5
上の9通りにしか思いつかないんだが、答えは11通りになってる。何が抜けてる？

>>266
太郎が男性とは限らない
蓋然性と可能性の違い

そんなこといったら
松江だって市のことじゃなくて女の名前かもしれんし

1が正解である理由を教えてほしいと言ってるのにその屁理屈いるか？
まあ問題がガバガバなのはわかるが

前>>267訂正。
>>243
Aを起点にメネラウスの定理より、
(AF/FB)(BC/CD)(DR/RA)=1
(1/2)(3/2)(DR/RA)=1
DR/RA=4/3
対称性よりEP/PB=4/3
Ｂを起点にメネラウスの定理より、
(BP/PE)(EC/CA)(AP/PD)(DC/CB)=1
(3/4)(1/3)(AP/PD)(2/3)=1
AP/PD=6
AR:RP:PD=3:3:1
RP=(3/7)AD
対称性よりPQ=(3/7)BE,QR=(3/7)CF
図を描き考えた。
∴(PQ+QR+RP)/(AB+BC+CA)=(7/9)(3/7)=1/3

>>277
プログラムに検索させてもその９通りになった。

> cm[rowSums(cm)==28,]
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 8 9 10
[2,] 2 7 9 10
[3,] 3 6 9 10
[4,] 3 7 8 10
[5,] 4 5 9 10
[6,] 4 6 8 10
[7,] 4 7 8 9
[8,] 5 6 7 10
[9,] 5 6 8 9

>>279
ちなみに坂東太郎といえば利根川のことである。

tを実数の定数とする。
|α|+tα+α*=|α-i|
を満たす複素数αを求めよ。
ただしα*はαの共役複素数である。

>>281
作図して計測して比をだしたけど、一定の値にならなかった。
https://i.imgur.com/Y8jQzBv.png
https://i.imgur.com/1jZYeoq.png

>>277
【発展問題】
1から100までの数字を4つ選んで和が123になる組み合わせは何通りか。(同じ数字を何度使ってもよい。)

わかるんですね（笑）

前>>281
>>285やっぱり1/3にはならないか。
AF=BP=PQとか一致しすぎだもんね。

前>>288
>>286
1+0.5+1/3+(123-1.5-1/3)=123
30+30+31+32=123
∴無数通り

前>>289訂正。
>>286
1+1.5+5/2+118=123
30+30+31+32=123
∴無数通り

前>>290
>>243
Aを起点にメネラウスの定理より、
(AF/FB)(BC/CD)(DR/RA)=1
(1/2)(3/2)(DR/RA)=1
DR/RA=4/3
対称性よりEP/PB=4/3
Ｂを起点にメネラウスの定理より、
(BP/PE)(EC/CA)(AP/PD)(DC/CB)=1
(3/4)(1/3)(AP/PD)(2/3)=1
AP/PD=6
AR:RP:PD=3:3:1
RP=(3/7)AD
対称性よりPQ=(3/7)BE,QR=(3/7)CF
BE/AB,CF/BC,AD/CAは定まらないが、
(AD+BE+CF)/(AB+BC+CA)=8/9とすると、
(PQ+QR+RP)/(AB+BC+CA)=(8/9)(3/7)
=8/21
=0.380……

>>277
【発展問題】
1から100までの整数を4つ選んで和が123になる組み合わせは何通りか。(同じ数字を何度使ってもよい。)

わかるんですね（笑）

分からないんですね（苦）

α、βは任意の実数kに対してα≠kβを満たす、0とは異なる複素数とする。
複素数平面上の3点O(0)、A(α)、B(β)と、△OABの外接円Cを考える。
Oから直線ABに垂線OHを下ろし、直線OHとCとの交点でOでないものをP(w)とする。
wをαとβで表せ。

289080

>>295
お願いいたします。

問題　僕は今コロナですが、567つの非自明な真性特異点を持つ複素関数を一つ考えて欲しいです

kを実数の定数とする。
複素数αについての方程式
|α|α+ik(α-α*)=1
を解け。

>>299
複素数αに対して、α*でαの共役複素数を表すものとする。

どうしても解けない
明日受験なんだ。
みんな助けて・・・
過去問に回答が付いてないんだ。
https://i.imgur.com/c1OyHf3.jpg

>>301
(円全体の面積-真ん中の正方形の面積)/2
=(100pi-100)/2
=50pi-50

3秒で解けるが何をそんなに悩んでるんだ？

>>302
理解できた！
ありがとー
これで明日は憂いなく受験できるよ

>>299
どこが分からないのだろう？
素直にα=x+iy (x,、yは実）と置き、与えられた方程式をｘ、yの方程式として書き直せばいいだけ、かな？

前>>291
>>301
左下の一辺5の正方形の斜線部分を、
上に移動して埋めあわせ、
左下から二段目の一辺5の正方形の斜線部分を、
右上に移動して埋めあわせると、
ちょうどワカメちゃんかちびまる子ちゃんみたいなおかっぱ頭の髪型になるから、
髪=半円-額となり、
π10^2/2-5×10=50π-50
∴�C

>>304
|α|α+ik(α-α*)=1
√(x^2+y^2)*(x+yi)=2ky+1
(x+yi)=(2ky+1)/√(x^2+y^2)
右辺は実数。よってy=0。
x|x|=1
x=1
したがってα=1

入試問題としての難易度も適度で、答えの美しさもあいまって、これは傑作です。

自演乙

>>295
難問で手が出ません。
どなたかよろしくお願いいたします。

>>295 ４点が同一円周上にある条件と二直線が垂直になる条件を複素数で表して計算すると
α,βの共役をα'β'とする
w=(α'β'(α-β)^2+αβ(α'-β')^2)/{(α'β-αβ')(α'-β')}

>>309
ありがとうございます
同一円周上にある条件を式にするのはどういう方針でいけばいいですか？

エアリー関数を
Ai(x)=∫_C exp((z^3/3) - xz) dz
積分路C=C_1+C_2
C_1：z=r exp(-πi/3)　(r：＋∞ → 0)
C_2：z=r exp(πi/3)　(r：0 → +∞)
と定義する。

このとき、適当な変数変換を導入して次の式を示せ
Ai(x)=(x^(1/2)/(2π) ) ∫[-∞, +∞] exp(i(x^(3/2))((y^3/3) +y))dy

という問題なのですが、どう変数変換してもできません。
個人的には結論の式の係数の分母の2πが誤植ではないかとさえ思っています。分かる方よろしくおねがいします。

>>310
0,α,β,zが同一円周上⇔４点の複比(cross ratio、非調和比）が実数

⇔(β-z)(α-0)/(α-z)(β-0) が実数 ⇔(β-z)(α-0)/(α-z)(β-0)＝(β'-z')(α'-0)/(α'-z')(β'-0)

４点の配置がどういう順番であっても
円周角の定理の逆か対角の和がπになる条件になっている

詳しくは「同一円周上 複素数」で検索すればたくさん解説されてる

微分方程式
y''=xy
を解け。

エアリー関数

x^(2)y''-xy'+y=0
この微分方程式の解き方を教えてください

R*をRの乗法群とし、Q*をQの乗法群とする。R*/Q*を考える。√2Q*はR*/Q*の元ですが、√2Qの代表元としてもっとも自然なのは√2です。
R*/Q*の任意の元としたとき、このようなもっとも自然な代表元は存在しますか？

確認したいんですけど、
2元2次の恒等式(最高係数は2次で文字は対等に存在)の未知数の係数を数値代入法で解いた場合、
1元2次と同じようにn+1個の異なるx.yの組で成り立てば恒等式である、と言えますよね？

a,b,cはa^2+b^2=c^2を満たす正の実数とする。
(a/c)+(b/c)の最大値を求めよ。

【訂正】
正の実数a,b,cがa^2+b^2=c^2を満たしながら変化するとき、
(a/c)+(b/c)の最大値を求めよ。

>>319
a/c+b/c=(a+b)/c
={√(c^2-a^2)+a}/c
={√(1-(c/a)^2)+a/c
1>a/c=t>0とおいて
√(1-t^2)+t
この先が分かりません

a/c=X, b/c=Yっておいたら
条件式はX^2+Y^2=1かつX,Y≧0
求めるのはX+Yの最大値だから、X+Y=kっておいてX,Y平面で考えるのが一番簡単

>>320の方針で行くんなら
・√(1-t^2)+tを微分してグラフ描く
・√(1-t^2)+t=kっておいて√(1-t^2)=k-tを両辺2乗して出てくるtの2次方程式が
0<t<1かつk-t>0の範囲に解をもつためのkの範囲を求める
.t=cosθ(0<θ<π/2)でおく
とかがいいんじゃない

>>315
x, x log x　が独立解

t=log x とおくとtについて２次の定数係数

>>322
僕は教科書の公式みたいなのに当てはめてときたいんですが
px=-1/x,qx=1/x^2としてから進まないです

方程式x^p+y^p=1^pでp次平均ノルムにおける単位円を表すとき、円周率π_pを
π_p=2∫[0,1](dx^p+dy^p)^(1/p)で表すと、
lim[p→∞]π_pはどうなるの？
p=2のときは普通にユークリッドノルムの円の円周率の3.14………になるけど

アーベル群が位数 m および n の部分群を持つとき、位数が m と n の最小公倍数であるような部分群を持つことを示せ。

G を位数が3の倍数ではないような有限群とする。
(a * b)^3 = a^3 * b^3 がすべての a, b ∈ G に対して成り立つとする。
このとき、 G はアーベル群であることを示せ。

n を法とする既約剰余類群が巡回群になるのは n がどんな場合か？

おもんない

群 G において、

a^5 = e
a * b * a^{-1}

を満たす G の元 a, b が存在するという。

o(b) を求めよ。

(1)しか解けませんでした
解答教えて下さい
https://i.imgur.com/FRjVQ2X.jpg

必死こいてマルチもいいけど、単発スレ立てたら？

任意の正の実数s,tに対して
(s+t)/2 ≦ √(st)+{k/√(st)}
が成り立つような実数kの最小値を求めよ。

任意のkでt→∞でLHS>RHS

xy平面の4格子点（原点O,A,B,C）が
（１）同一円周上にあり
（２）4角形OABCは等脚台形（長方形も含む）ではない

を満たすもので半径が一番小さいものは？

√5

>>335
（１）（２）を満たす4角形OABCの面積の最小値は１？
面積3のは見つかったけど。。面積3より小さい例があれば教えて

a,bはa>b>0を満たす実数の定数とする。
x>0で定義された関数f(x)=x^a-x^bについて以下の問いに答えよ。

（1）f(x)はa,bの値によらず少なくとも1つの極値を持つことを証明せよ。

（2）a=π,b=eのとき、f(x)の極値を全て求めよ。

335 これか。面積最小性の証明は計算で試みたが複雑になりそうでやめた
O(0,0)A(1,0)B(2,1)C(1,3) 外接円半径 R=√10/2
4角形OABCの面積 S=3

自由群、生成元と関係式について詳しく書いてある本を教えて下さい。

雪江明彦著『代数学1群論入門』以外でお願いします。

>>338
y'=0を与えるxをa,bで表すことができません。何回微分してもだめなのでしょうか。よろしくお願いいたします。

>>341
へ？
f'(x) = ax^(a-1) - bx^(b-1) =x^(b-1) {ax^(a-b) - b}
だから、x=0とx= (b/a)^{1/(a-b)} でf'(x)=0 じゃね？

>>342
易問だったんですね
b乗で括れるのが見えませんでした
ありがとうございました

>>340
和書なら鈴木通夫「群論」上（岩波）
洋書なら昔の本が色々ある

>>344
ありがとうございました。

a[1]=2,a[2]=3
a[n+1]=a[1]a[2]...a[n]
で与えられる数列{a[n]}の一般項を求めよ。

群論用のソフトを使おうとすると、生成元とか知っていないと使えないですよね。

a[3]=6
a[n+1]/a[n] =a[n] → a[n+1]=a[n]^2 (n≧3)

よって、n≧3 では a[n] = 6^{2(n-3))}

x>0において、e^(x*ln(x))-(x*ln(x))^eの増減を調べよ。

pを実数の定数とする。x>0で定義された関数
f(x)=px(e^x)-ln(x)
を考える。

（1）f(x)が極値を持つかどうかを調べよ。

（2）xy平面上における曲線y=f(x)がx軸と交わるようなpの範囲を求めよ。

正四面体の切断面が直角三角形となることはあるか。

S_4

=

{id,
(1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4),
(1 2)*(3 4), (1 3)*(2 4), (1 4)*(2 3),
(1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3),
(1 2 3 4), (1 2 4 3), (1 3 2 4), (1 3 4 2), (1 4 2 3), (1 4 3 2)}

です。

f を G の自己同型写像とします。

そのとき、例えば、

f((1 2)*(3 4)) ∈ {(1 2)*(3 4), (1 3)*(2 4), (1 4)*(2 3)}

となるのは f が自己同型写像であることと、対称性から明らかだと思いますが、このようなことは証明する必要はありますか？

一辺1の正n角形型の道路があり、各頂点には0以上n未満の整数が書かれた紙が落ちている。
ある頂点をスタートとして落ちている紙を拾い、「拾った紙に書かれた数字の距離だけ道路を時計回りに進み、そこに落ちている紙と持っている紙を交換する操作」を繰り返す。
どの頂点から始めても有限回の移動でスタート地点にピッタリ戻ってこれますか？(落ちている紙に0が書かれている場合は即座に元の紙を拾いなおします。スタート地点が0ならその場でゴールです）

また、ゴールまでにかかる周回数の上限などについて言えそうなことがあったら教えてください。

>>352

H := {(1 2)*(3 4), (1 3)*(2 4), (1 4)*(2 3)} の各元の S_4 における代数的性質は全く同じです。
さらに、 H の各元と H の元でない元との代数的性質は何らかの点で異なるはずです。

以下、4桁の10進法の整数Nに対し、pqrsでNの各桁の数字を表すものとする。
例えば整数N=3289において、p=3,q=2,r=8,s=9である。
M=pqrsと表される4桁の正整数で、(pq)^2+(rs)^2=Mとなるp,q,r,sを全て求めよ。

（1）連立方程式
x=2y^2-1
y=2z^2-1
z=2x^2-1
を解け。必要ならばy=cosθとおけ。

（2）連立方程式
x=3y^2-1
y=3z^2-1
z=3x^2-1
を解け。

統計の質問です。生徒20人のテストを似たような問題で、�@授業前、�A授業後、�B授業1カ月後の3回行いました。
効果があったかどうかを平均点の比較で、対応のあるｔ検定で５％水準で調べたところ�@と�A、�@と�Bでは�Aと�Bの全てで有意差が見られました。
つまり、「授業を行う前に比べて授業後や授業1ヶ月後では優位に効果があったが、授業後と授業１カ月後に有意差があると言うことはテストの内容そのものは忘れやすいという結果になった。」と言いたいのですが、
3回の比較では検定の多重性の問題があると指摘されました。
そして、「分散分析でまず有意差があることを示すことが必要」「フリードマン検定に替えたら？」などと言われました。
ボンフェローニ法やHolm法で修正することもできそうですが、多重性の調整をどうやって行えばよいのかさっぱりわかりません。修論につかうんでなんとか教えていただけないでしょうか。

for any fixed positive integer n,
2,2^2, 2^2^2,2^2^2^2,......( mod n)

is eventually constant.

iは虚数単位で、nは正整数とする。
（1）lim[n→∞] |1+(i/n)|^nを求めよ。
（2）lim[n→∞] {1+(i/n)}^nの実部および虚部を求めよ。

>>359
cos(1)+i sin(1)

知り合いに出されたガチャの問題がわかりません。

0.4%で出るURのキャラを60回引いて2枚出した時の確率を求めよです。

インターネットを駆使し、1枚出る時の確率は、分かったのですが、、
2枚になった途端分からなくなりました。

■1枚の時（多分合ってます）
0.4% ＝ 4/1000
1000/1000 ー 4/1000 = 996/1000 （外れる確率）
(996/1000)^60 = 0.78624936087（60回外れる確率）
1 - 0.78642936087 ≒ 0.213 → 21.3%（1枚当たる確率）

>>361
二項定理から
確率pの試行がn回中k回だけ当たる確率は
（当りk回、ハズレn−k回の組合せの数）
×（当り確率のk乗）
×（ハズレ確率のn−k乗）
＝nCk・p^k・(1−p)^(n−k)

確率 4/1000 が 60 回中 2 回だけなら
(60×59/2)・(4/1000)^2・(996/1000)・58
≒0.022445789
で、約2.24％

60 回中 2 回以上は 約2.43％
60 回中 1 回だけは 約18.95％
60 回中 1 回以上は 約21.38％

>>362
ありがとうございます。二項定理なるものがあるんですね。
すみません。実は知り合いじゃなくて、問題出してきたの兄なんです。
頭が良い回答すぎて私の回答でないことがバレちゃいます。（中3です）

私の計算を発展させる形（似た形）で2枚当たる確率を求めることは可能でしょうか。
最初は21.3%（1枚当たる確率）が2回起こる確率かと思って計算したのですが、

21.3% = 213/1000
213/1000 × 213/1000 = 45,369/1,000,000
45,369/1,000,000 = 0.045369 ≒ 4.5% になりました。

これは、何を求めたことになっちゃってるのでしょうか。。

試行30回の時の確率を2倍にすればいけるかと思ってもみたのですが、
以下は結果的に試行60回の時の確率を求めてるに過ぎないのでしょうか。。

(996/1000)^30 = 0.886707032
1 - 0.886707032 ≒ 0.113292968 ≒ 0.11 × 2倍 → 0.22（22%）

xyz空間に球C:x^2+y^2+z^2=1と球D:(x-r)^2+y^2+z^2=r^2がある。
いまDの一部もしくは全体が、Cの外部かつx>0の領域にあるとする。領域「Cの外部かつDの内部」の体積V(r)に対し、lim[r→+0] V(r)/r^3を求めよ。

n次多項式f(x)で、以下の条件を満たすものは存在するか。

（条件）
任意の正整数kに対して、f(k+1)=k*f(k)が成り立つ。

>>365
※存在するならば全て求めよ。存在しないならばそのことを証明せよ。

>>364
r<1/2でV(r)=0だけど？

>>365
f(k+1)/k!=f(1)
f(k)=f(1)(k-1)!
limf(k)/k^n=a_n ⇒ f(1)=a_n=0 ⇒ f(x)=0

【すいません改題します】
xyz空間に球C:x^2+y^2+z^2=1と球D:(x-r)^2+y^2+z^2=r^2がある。
いまDの一部もしくは全体が、Cの外部かつx>0の領域にあるとする。領域「Cの外部かつDの内部」の体積V(r)に対し、lim[r→(1/2)+0] V(r)/r^3を求めよ。

>>369
【さらに訂正します。すみません。】
【すいません改題します】
xyz空間に球C:x^2+y^2+z^2=1と球D:(x-r)^2+y^2+z^2=r^2がある。
いまDの一部もしくは全体が、Cの外部かつx>0の領域にあるとする。領域「Cの外部かつDの内部」の体積V(r)に対し、lim[r→(1/2)+0] V(r)/{r-(1/2)}^3を求めよ。

分からない問題について質問するスレで、
改題ってどういうことよ？
おかしくない？

>>371
いやでも本当に分からないんです
領域「Cの外部かつDの内部」の体積が具体的に計算できないので難しいです
はさみうちしようと思ったのですが具体的にはさむ関数を見つけられませんでした

「分からない問題を改題する」っておかしいか？

Aut(S_n) と S_n は n = 6 でないとき、同型であることを証明せよ。

>>374
何か昔やったかなあ
可遷性とか使うんだっけ？
ギヴアップ

>>370
∞。

お前は作問のセンスがないな。ｗ

>>376
【さらに訂正します。】
xyz空間に球C:x^2+y^2+z^2=1と球D:(x-r)^2+y^2+z^2=r^2がある。
いまDの一部もしくは全体が、Cの外部かつx>0の領域にあるとする。領域「Cの外部かつDの内部」の体積V(r)に対し、lim[r→(1/2)+0] V(r)/{r-(1/2)}^2を求めよ。

異常だな