∫√xdx=2/3x^(3/2)+Cを使って∫√(1-x^2)dxの値を求めよ ∫[0→1]

ちゃらららちゃららん♬
計算式と解答をお願いする

パンツ一丁でも暑かったからスッポンポンになったら、思いのほか涼しい
パンツ一枚でこんなに差があるとは予想外だった

>>1
単発質問禁止

この問題を解ける猛者はいるのかな

諸法無我

∫[0→1]√(1-x^2)dx=π/4

途中式は猛者が書くだろう

まちがえた、
　x = (1-tt)/(1+tt),
だった。

>>8
limと積分を交換してもいいのは何故？

2n-2次までとったときの剰余項
　 |∫ t^{2n}/(1+tt) dt | < ∫[0,1] t^{2n} dt = 1/(2n+1)
を任意に小さくできるから…

難問だな

悪魔👿は存在しますか？

不定積分が {x√(1-x^2)+arcsin(x)}/2+C だから、
(1√(1-1^2)+arcsin(1))/2 - (0√(1-0^2)+arcsin(0))/2 = (π/2)/2 = π/4

>>8
> ∫[0,1] 1/(1+tt) dt
アークタンジェントくん「ここまで出て来て俺の出番が無いなんて酷過ぎィ！」

積分範囲が0〜1だから、ベータ関数を使う解法も面白い

x = t^(1/2) とおくと、x: 0→1 のとき t: 0→1 であり、dx = 1/2*t^(-1/2)dtだから、

∫[0,1] (1-x^2)^(1/2) dx
　= ∫[0,1] (1-t)^(1/2)*1/2*t^(-1/2) dt
　= 1/2*∫[0,1] t^(-1/2)*(1-t)^(1/2) dt
　= 1/2*∫[0,1] t^(1/2-1)*(1-t)^(3/2-1) dt
　= 1/2*B(1/2,3/2)
　= 1/2*Γ(1/2)Γ(3/2)/Γ(2)
　= 1/2*Γ(1/2)*1/2*Γ(1/2)/1!
　= 1/4*{Γ(0.5)}^2
　= π/4

>>7
∫[0,1] √(1-xx) dx = (単位円の1/4) = π/4,