>>39

ホモロジーとは, 大雑把にいうと, chain complex ∂_n: X_n → X_{n-1} (n ∈ Z) が与えられた時,
H_n (X) = Ker(∂_n)/Im(∂_{n+1}) で定まる群のことをさして言います.

ホモトピーとは, 位相空間 X, Y に対し, 連続写像 F : [0, 1] × X → Y のことを言います.
この時, f(x) = F(0, x), g(x) = F(1, x) (x ∈ X) と置くと, F は f から g へのホモトピーと呼ばれます.

定義だけ述べるとこんな感じですね.