含という漢字について

含は、台の上に、∋が、乗っているとして、表されないか
私は、偉大なる、発見を、してしまったかも、しれない

以下、俺のノート。

Gを群とする。

Vを複素数体C上の有限次元ベクトル空間とする。

Wを複素数体C上の無限次元ベクトル空間とする。

W含V

嗚呼なんと…素晴らしい…

Gの表現とは、Vと、Gから一般線形群GL(V)への準同型写像

ρ: G → GL(V)

の組(V, ρ)ことである。つまり、任意のs, t∈Gに対して、

ρ(st) = ρ(s)○ρ(t)

を満たすこと。

Vのことを表現空間という。特に言及する必要がなければ、Vのみとか、ρのみでもGの表現と呼ぶことにする。

Gの2つの表現(V, ρ), (V', ρ')が同値とは、同型写像h: V → V'が存在して、任意のs∈Gに対して

ρ'(s) h = h ρ(s)

が成り立つことである。

Vをn次元とする。
Vの基底(e_i)を取り、

ρ(s)(e_j) = Σ[i=1, n] a_i,j e_i

とすれば、各ρ(s)はn次正方行列

a = (a_i,j)

で表される。

定理:

Vを有限次元ベクトル空間
WをVの部分空間とする。

V = W⊕W'

となるVの部分空間W'が存在する。

>>12
証明:
Vの基底を(e_1, ..., e_n)、Wの基底を(e'_1, ..., e'_m)とする。
(e_i)からl := n - m個のベクトルe_(i_1), ..., e_(i_l)を選べば、

(e'_1, ..., e'_m, e_(i_1), ..., e_(i_l))

をVの基底にできる。

W' = <e_(i_1), ..., e_(i_l)>

とすればよい。□

V = W⊕W'とする。
このとき、任意のv∈Vは

v = w + w' （w∈W, w'∈W'）

と一意的に表せる。
線形写像p: V → Vを

p(v) = w

で定めると、pは

(1) Im(p) = W
(2) p(w) = w （∀w∈W）

を満たし、W' = Ker(p)である。逆に、この(1), (2)を満たす部分空間Wと線形写像p: V → Vが与えられると、

V = W⊕W' （W = Im(p), W' = Ker(p)）

とVの直和分解が得られる。

WをVの部分空間とする。任意のs∈Gに対して、

ρ(s)(W) ⊂ W

を満たすとする。このとき、ρ(s)のWへの制限ρ(s)|Wは、Wの自己同型である。(W, ρ)を(V, ρ)の部分表現という。

定理:
WをVの部分表現とする。このとき、

V = W⊕W'

をみたすVの部分表現W'が存在する。

Gは有限群です。

定義:
Vが、自明な部分表現(0), V以外を持たないとき、Vは既約表現であるという。

>>16
証明:
Wを(V, ρ)の部分表現とする。
W'をV = W⊕W'を満たすVの任意の部分空間とし、線形写像p: V → Vをこの直和分解に関するW成分への射影とする。
線形写像p': V → Vを

p' := 1/|G| 納s∈G] ρ(s)^(-1) p ρ(s)

で定めると、これはIm(p'') = W, p'(w) = w （∀w∈W）を満たすので、Vの直和分解

V = W⊕W'' （W'' := Ker(p')）

が存在する。w''∈W''とすると、任意のt∈Gに対して、

p(t)^(-1) p' ρ(t)(w'')
= 1/|G| 納s∈G] ρ(t)^(-1) ρ(s)^(-1) p ρ(s) ρ(t)(w'')
= 1/|G| 納s∈G] ρ(st)^(-1) p ρ(st) (w'')
= 1/|G| 納s∈G] ρ(s)^(-1) p ρ(s) (w'')
= p' (w'')
= 0

p(t)^(-1)は単射だから、ρ(t)(w'')∈Ker(p') = W''。よって、W''はVの部分表現である。□

定理:
G: 有限群
VをGの表現とするとき、既約部分表現W_1, ..., W_nが存在して

V = W_1⊕...⊕W_n

となる。このような性質をVは直既約であるという。

>>20
証明:
数学的帰納法による。□

今日はここまで。明日はSchurの補題をまでやる。

> このような性質をVは直既約であるという
これはいらない
寝ぼけてた

>>18
Vが0でない

も追加で

所有権を手放すイッチ

Gを群とする。
Gの表現の圏(G-Vec)を以下で定める。

(G-Vec)の対象は、有限次元ベクトル空間Vと準同型ρ: G → GL(V)の組(V, ρ)
(G-Vec)の射(V, ρ) → (V', ρ')は、線形写像f: V → V'で、

ρ' f = f ρ

を満たすもの。ρ(g)(x)をgxと書くなら

f(gx) = gf(x)

ということ。

Schurの補題はこう述べられる。

定理:
f: (V, ρ) → (V', ρ')を(G-Vec)の射とする。このとき

(1) W'⊂V'を(V', ρ')の部分表現とすると、f^(-1)(W')はVの部分表現である。
(2) W⊂Vを(V, ρ)の部分表現すると、f(V)はV'の部分表現である。

>>27
証明: 簡単だから略

>>27
系:

(1) Ker(f)はVの部分表現である。
(2) Im(f)はV'の部分表現である。

さらに、(V, ρ), (V', ρ')が既約表現ならば、その間の射は零射か同型しかない。

>>27
系:
特に、(V, ρ) = (V', ρ')のとき、fは恒等写像の定数倍である。

>>30
V, V'は既約表現です。
ベクトル空間はC上とします。

証明:
fの固有値の1つをλとする。
Ker(f - λI)は0でないので、Schurの補題よりV全体である。□

今日はここまで。明日から指標についてやる

G: 群
R: 環
表現空間としてR加群Mを取ると
Mは、ℤ[G]⊗R上の加群と見なせるのかな？

Schurの補題の応用。

定理:
Abel群の既約表現は1次元である。

>>34
証明:

GをAbel群、ρ: G → GL(V)をGの既約表現とする。
GはAbel群なので、任意のs, t∈Gに対して、

ρ(s)ρ(t) = ρ(st) = ρ(ts) = ρ(t)ρ(s)

が成り立つ。Schurの補題（>>30）をf = ρ(t)に適用すれば、ρは恒等写像のスカラー倍であることがわかる。
したがって、v∈Vを0でないベクトルとすれば、{ρ(s)v | s∈G}で生成される部分空間Wは1次元で、GW⊂W。
ところが、ρは既約表現なので、このようなWは{0}かV自身しかない。
W≠{0}なので、W = V。Wは1次元なので、Vは1次元である。□

指標の理論は読んだがまだ纏まってない
指標やったら誘導表現もやる