数学に完成はありますか？

数学という学問にそれ以上研究することがない、または学ぶ必要がなくなるという事は起こり得るのでしょうか？

また、仮に数学に完成が存在するとしたら、体感で現代の数学の完成度は何%だと思いますか？

ｎ

不完全性定理によりそんなことは起こらないことが証明されている

Q.E.D

x^2 - 2ax + b = (x - a)^2 - a^2 + b

糞スレ

厨二病スレ

>>1
重要な未解決の問題が全て解決出来なければ、完成あるいは終わりということにはならない。

リーマン予想は、ゼータ関数に関する予想だが、様々なゼータ関数が定義されている。
合同ゼータ関数はベイユが定義し、予想を提出した。
ベイユ予想の解決のため、代数幾何という数学の分野が、スキーム論に書き換えられることになった。
重要な未解決問題の解決には、大幅な数学の変革、あるいは新しい理論が必要になると思われる。
この新しい理論は、未解決問題を解決するかもしれないが、全く新しい未解決問題を生み出すだろう。
こう考えると未解決問題は無くなることはない。

>>3
お教えいただきありがとうございます。

ある体系がその体系に矛盾が存在しないかを証明できないというもののようですが、それは数学に完成や終わりがないことと同義なのでしょうか？

例えば数学とは異る体系が生み出され、それが数学の完全性を示すという形で完成する可能性はないのでしょうか？

>>7
未解決問題の解決が、新たな未解決問題を生み出し続けることは保証されているのでしょうか？

>>8
ゲーデルの不完全性定理は、
無矛盾な体系は、自身が無矛盾であることを証明出来ない
ということと、
肯定も否定も証明出来ない命題が存在する
ということを主張する。
もしある未解決問題が肯定も否定も証明出来ないモノだったら、この未解決問題は永久に解決出来ないことになる。

>>10
実際に肯定も否定も証明できない未解決問題というものは存在している、または存在する可能性が示されているのでしょうか？

>>11
ゲーデルな定理の主張の１つが、
肯定も否定も証明出来ない命題が存在する。
というモノだよ。

不完全性定理はヒルベルトの想定した枠組みではそうなるってだけで
それではだめだから修正したほうがいいという意味でやったんじゃなかったのか
数学的帰納法を追加すれば不完全では無くなるらしいが、すべてはしらん

数学基礎論三つの神話
ゲーデルは，1930年には，ヒルべルトの有限の立場の証明がラッセルのプリンキピアで必ず形式化できるということに確信をもっていなかった．
しかし，遅くとも1933年までには，その意見は大きくかわり，ヒルベルト計画は不可能であると確信するようになる(全集III1933o)．
また，第1，2不完全性定理によりヒルベルト計画の認識論的な意味はほとんどなくなってしまった，という意見を表明するようになる(全集III1933o，1938a)．
しかし，哲学的な意味を離れると，より明瞭なものに数学を還元するということは，それ自体が数学的に非常に重要な問題であるとし，ゲンツェンの無矛盾性証明を，そのような仕事として評価する．(全集III，1938a)

注意しないといけないのは，ゲーデルは自分の定理により，無矛盾性証明の不可能性が厳密に証明できたとは決して言っていないことです．
ゲーデルは，終生一貫して自分は数学の体系はそれ自身の無矛盾性を証明できないことを厳密に証明したが，それが即，有限の立場で無矛盾性が証明できないということの厳密な証明であるとは言えない，という立場を貫きます．

有名なゲーデルの高階原始汎関数による算術の無矛盾性証明の論文の1972年版では，
“しかしながら，この驚くべき事実(ヒルベルト計画の不可能性)はゲンツェンによって数論の無矛盾性証明に使われたε。までの帰納法を検討することにより，非常に明確となっている"と続けています．
それに続いて，ε。までの帰納法が“直接的に明らか"とは言えないことを議論し，その事実が逆に数論の無矛盾性証明がすでに有限の立場を越えていることを示すのだと結論します．
そして，そのために自分は高階原始汎関数という抽象概念を導入することにより有限の立場を拡張して無矛盾性を示すのだと続けるのです．
そして，それによってヒルベルトの意味での無矛盾性証明の不可能性が明らかになったとするのです．今でもゲンツェンの方法の拡張は研究されており，ごく最近革命的な進歩が達成されつつあるようです．
https://shayashiyasugi.com/wwwshayashijp/susemi.html

>数学という学問にそれ以上研究することがない、
>または学ぶ必要がなくなるという事は起こり得るのでしょうか？

問題が無くなる、ということは無い
しかし、問題の解決が進展しなくなる、という可能性はありえる

数学自体が無限だとしても、人の知的能力は有限だから

>また、仮に数学に完成が存在するとしたら、
>体感で現代の数学の完成度は何%だと思いますか？

限界を自覚する前に、今、何％と予測することはできそうもない
そもそも限界を自覚できるかどうかも定かでない
限界を自覚したとして、あの頃は何％くらいだった、と評価する場合
そもそも、「量」をどのように定義するかという問題がある
定義そのものは、いくらでもできそうだが、割合は定義によって変わる値
であることは理解すべきである

>>14
ゲーデルは自然数論はそれ自体の無矛盾性証明をするには弱いと示したまで
もちろん、より強い理論を使えば、自然数論の無矛盾性証明はできる
そして、どの程度強い理論まで認めるかは、個々人の立場によるが、
コンセンサスが得られるかどうかは定かでない

>>13
>数学的帰納法を追加すれば不完全では無くなるらしいが

正しくは以下
「順序数ε0までの超限帰納法を使えば、自然数論の無矛盾性が証明できる」

「完全な理論」は存在し得るが、そのような理論は
そもそも何が公理であるのか、判定する手続きを持たないので
人が扱い得るようなものではない

>>11
まず、
「いかなる理論でも肯定も否定も証明できない未解決問題」
は存在しない

なぜならその問題の主張、もしくはその否定を公理とした理論では
肯定もしくは否定が証明できるからｗ

一方で
「何が公理であるか判定できる手続きを有する理論で
　理論内のいかなる命題の真偽も決定できるようなものは存在しない」

つまり、
「何が公理であるか判定できる手続きを有する理論」は不完全であるし
「理論内のいかなる命題の真偽が決まっている完全な理論」はそもそも
「何が公理であるか判定できる手続き」を有しないことになる

>>15
私も感覚的には人類の存在する間に数学の問題がなくなる事はないだろうと納得はできるのですが、それはあくまで私達のスケールで見たときに、数学という分野の広大さに圧倒されているだけのようにも思います。

数学に完成がない根拠として不完全性定理を用いることに関してはどのようにお考えでしょうか？

もちろん
でしゅ（酒）