分からない問題はここに書いてね 471

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね 470
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630008892/

(使用済です: 478)

数学@5ch掲示板用
☆掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/

☆激しくｶﾞｲｼｭﾂ問題
　(略)

ここは分からない問題を書くスレです
分かる問題を書くスレではありません

問題出しっこスレではありません

Σsin(nx)/nが広義一様収束することを示せ

>>4
訂正
(0,2π)で広義一様収束

x^5-5x+pが4次以下の整数係数多項式の積として表せるような整数pを全て求めよ。

スレ違い・板違いだったらすみません。

ものすごく広い（例えば床面積が東京ドーム1000個分くらいの）立方体の部屋があると仮定してください。
その部屋の床の中心に仰向けになって天井を見たとして、天井全体は視界に収まるものでしょうか？

もしこれが、単に面積が広いだけで、天井までの高さが一般的な部屋なら、広過ぎる天井は視界に収まりません。
しかし立方体となると、天井の一辺の長さがそのまま天井までの高さになるので、
天井が大きくなればなるほど天井は遠ざかります。
遠くの物は小さく見えるので、どれだけ巨大な天井であっても、視界に収まることになるのでしょうか？

昼飯、天丼もいいな

>7
立方体なら大きさは変わっても角度は変わらないだろ
だから寝転んでるときの視野の角度に収まってるなら大きさは関係ないのでは？

>>7
視野角で検索

>>7
イタチ

>>9,10
確かに「寝転んでるときの視野の角度」、視野角を設定しないと、抽象的過ぎますね。
すみません。
人間の有効視野の角度は30度くらいらしいので、一応30度とさせてください。

あとは、「遠くの物が小さく見える」を、数字的に表す数式とかがあったら助かるのですが、ありますでしょうか？
「見える大きさ」は距離に反比例するとか何とか、そういうのがあったら教えていただけるとありがたいです。
視力自体は個人差ありますが、距離に応じた「見える大きさ」の違いそのものは、個人差って無いような気がします。

>>11
やはり板違いでしょうか。
一応上で述べたような期待（数式があったら助かるという期待）があったので、ここに書きましたが、すみませんでした。

>>12
視覚の話

>>12
｢見える大きさ｣の定義がないからなんともいえない
例えば今見えているものの見た目の大きさを定規で測るとしても定規をどの位置に置いたかで変わるし
https://i.imgur.com/h4FlLw7.png

>>8
俺は 鍋で煮てアキレスtendonを食べた。

>>4
どなたかお願いします

>>17
その“から”のところが数学やろ

>>13,14
レスありがとうございます。

ググったら、
見た目の大きさ＝現物大÷距離
というのを見つけたのですが、これって正しいのでしょうか？

あと、視野角は30度と設定したので、内角が30度、75度、75度の、高さが変動する三角形を想定して、
（内角が30度の頂点を「頂点Ａ」として）
「頂点Ａの対辺の長さ」＝「視界に収まる範囲」とすることができそうです。
さらに「視点と天井との距離」＝「三角形の高さ」になるので、そこからいろいろわかりそうなのですが、
数学オンチなのでこの辺が限界です。
どなたかご助力いただけたら幸いです。

問題を単純化してみると以下のようになります。

視界に収まらない（頂点Ａの対辺よりも長い）、何か横長の物体があるとします。
もしその物体の長さが一定であるなら、その物体を遠くにずらしていけば、いずれ視界に収まるでしょう。
しかし「物体の長さ」＝「視点と物体との距離」として変動する場合、
視界に収まる（「物体の長さ」＝「頂点Ａの対辺の長さ」となる）ことはあり得るのでしょうか？

>>7
立方体の底面の中心に人がいるとすれば、視野角θとして天井の頂点を見る時にθは最大で
tanθ = √3/2で、tan30°=1/√3 より大きいので視野の外側になる。

>>20
本当にどうもありがとうございます。
30度の視野角には収まらないというお話、とてもよくわかり、心の底からスッキリしました。

さらに自分でもよく考えてみたところ、
「視点と物体との距離」＝「物体の長さ」という前提はそのままに、
視野角（頂点Ａの内角）を変動するものとした場合、
変動する「頂点Ａの対辺の長さ」が、
「二等辺三角形の高さ」（＝「視点と物体との距離」＝「物体の長さ」）よりも長いか短いかによって、
物体がその視野角内に収まるかどうかがわかると気付きました。

つまり、底辺と高さが等しい二等辺三角形の頂角の角度がわかれば、
その角度が、物体を過不足無く視界に収められる視野角であるということです。

長文な上に次から次へと、本当に本当にすみません。
問題については本当にこれで最後にします。
底辺と高さが等しい二等辺三角形の頂角の角度を、教えていただければ幸いです。

正の整数全体の集合から正の整数全体の集合への関数全体の集合と正の整数全体の集合から {0, 1} へ関数全体の集合は濃度が等しいことを示せ。

>>22
#2^N ≦ #N^Nは自明
また#N×#N = #Nと#N≦#2^Nより
#N^N≦#(2^N)^N)=#2^(N×N)=#2^N
よってSchroder–Bernstein theoremにより成立

>>17
a^4 - 3aab + b^2 = 5　から
　(aa+b)^2 - 5(aa-b)^2 = -20,
いわゆるペル方程式
　(aa+b, aa-b) = (0,2)　(5,3)　(15,7)　…
　(a, b) = (±1, -1)　(±1, 4)　(±2, 1)　(±2, 11)

>>21
底辺と高さが直角に交わっているのであれば、直角二等辺三角形になるので頂角の角度は45度です。

正の整数全体の集合から {0, 1} へ関数全体の集合と正の整数全体の集合から {0, 1} へ関数全体の集合の高々加算な部分集合全体の集合は濃度が等しいことを示せ。

>>25
本当にありがとうございます。
ようやくスッキリできました。

皆さんお騒がせしてすみませんでした。
おかげ様で疑問が解消しました。
本当にありがとうございました。

>>26
#{2^ωの高々ω元集合}
≦ #(2^ω}^ω
≦ #2^(ω×ω)
= #2^ω
逆は明らか

(^ω^)

a, b を実数, α を複素数とするとき
微分方程式 y`` + ay + by = eαt の特解
を次のように場合に分けて求めよ
(1) α2 + aα + b≠場合に特解を A e(αt )の形で求めよ
(2) α2 + aα + b = 0 で重解でない場合に特解を At e(αt) の形で求めよ
(3) α2 + aα + b = 0 で重解の場合に特解を At^2 e(αt) の形で求めよ
どこで重解であるかどうかで違うかを説明してほしいです

ほんとに度々すみません。
今度こそ本当の本当に最後にします。

どうやら「頂角」という言葉について、私の説明不足による齟齬があったようで、
自力でいろいろ調べたりしてみた結果、私の知りたかった角度は、だいたい54度くらいであるらしいことがわかりました。
これで全ての疑問が解けて、心の底からスッキリしました。
皆さん本当にありがとうございました。

Show that there is a unique function h : Z_+ → $R_+ satisfying the formula
h(1) = 3,
h(i) = √(h(i - 1) - 1) for i > 1.

Explain why this example does not violate the principle of recursive definition.

Show that there is no function h : Z_+ → $R_+ satisfying the formula
h(1) = 3,
h(i) = √(h(i - 1) - 1) for i > 1.

Explain why this example does not violate the principle of recursive definition.

次のような形の漸化式で、f(a_n, a_{n-1})の値が負になるようなnが存在するかしないかを証明するのが少しだけ大変な例を教えて下さい。

a_1 = a
a_2 = b
a_{n+1} = √(f(a_n, a_{n-1}))

>>35
結局、f(a_n, a_{n-1})の値はすべてのnに対して負でないということが証明の結果分かるような例をお願いします。

（偏）微分方程式で、右辺に既知の作用素が入っているようなものの解法ってありますか？
たとえば、未知関数を u(x, y) として
既知の関数 f(u, x, y), g(u, x, y) と既知の汎関数を T[u(x, y)]として

u_x = f(u, x, y) + T[u(x, y)](u)
u_y = g(u, x, y) + T[u(x, y)](u)
のような形の連立偏微分方程式　（初期条件 u(x_0, y_0) = u_0)
の解が存在するかどうかを調べたいのですが、教科書をみても
右辺に汎関数が入っているような偏微分方程式を見たことがありません

こういう偏微分方程式の解法あるいは扱っている教科書があれば教えてください。

>>24
aa-b=X,　aa+b=5Y　とおけば
　XX - 5YY = 4,
整数列 x(n), y(n) を
　x(n) = {(2+√5)^n + (2-√5)^n}/2,
　y(n) = {(2+√5)^n - (2-√5)^n}/(2√5),
とおくと
　x(0) = 1, x(1) = 2,　x(n+1) = 4x(n) + x(n-1),
　y(0) = 0, y(1) = 1,　y(n+1) = 4y(n) + y(n-1),
　x(n) = 2y(n) + y(n-1),
　y(n) = {2x(n) + x(n-1)}/5,
　x(n)^2 - 5y(n)^2 = (-1)^n,
を満たす。
これを使えば 一般解は次のように表わせる。
　X = 2x(2n),　Y = 2y(2n),
　X = x(2n) - x(2n-1),　Y = y(2n) - y(2n-1),
　X = x(2n) + x(2n+1),　Y = y(2n) + y(2n+1),

(1)y''-2y'+y=e^(t)/t^2
(2)y''-2y'-3y=t(e)^t
Ft=2×2の行列に置き換えてdetFtを求めるやり方を教えてほしいです
どのような行列に置き換えるのかがわからないです

x^2 y''(x)-3xy'(x)+4y(x)=0
これの一般解の求め方を教えてください
x=e^tとして変数変換するやりかたでやりたいです

やれば

>>33
あかんやん
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%9A%28x-1%29+%3D+x&;lang=ja

>>40
x=e^t とおくと
D = (d/dt) = (dx/dt)･(d/dx) = x･(d/dx),
DD = xx･(d/dx)^2 + x･(d/dx),

xx･(d/dx)^2 - 3x･(d/dx) + 4
　= DD - 4D + 4
　= (D-2)^2,
与式は　(D-2)^2　y = 0,
　y = (c。+ c1･t) e^{2t} = {c。+ c1･log|x|}x^2,

袋の中に赤球、青球、白球の3種類の球が1個ずつ入っている。
いまA君は1点の点数を持っている。袋から球を1つ取り出し、以下の操作を行う。

【操作】
・取り出した球が赤球であれば、A君の点数を2倍し、赤球を袋に戻す。さらに袋から球を1つ取り出し、【操作】を続ける。
・取り出した球が青球であれば、A君の点数にpを加え、青球を袋に戻す。さらに袋から球を1つ取り出し、【操作】を続ける。pは正整数の定数である。
・取り出した球が白球であれば、その時のA君の得点を最終得点とし、【操作】を停止する。

最終得点の期待値が1000点を超えるようなpを、非負整数mを用いて100m≦p≦100(m+1)の形で評価せよ。

>>43　補足
　D-2 = (d/dt) - 2 = e^{2t} (d/dt) e^{-2t},
　(D-2)^2　y = e^{2t} DD (e^{-2t}･y) = 0,
　DD (e^{-2t}･y) = 0,
　e^{-2t}･y = c。+ c1･t,
　y = (c。+ c1･t) e^{2t},

>>44
ありがとうございます
Dとは何の意味の記号でしょうか？
行列をあらわしてますか？

D-1=(d/dt)-1って書いてあるやん
微分作用素でしょ

演算子法か何かの記号？

>>45
野生の感でｍ=12

整列集合間の順序同型写像は一意的な気がするのですが、証明を教えて下さい。

http://2chcopipe.com/lite/article/52145061/image/3066621
マッチ棒クイズです
何方か答えて下さい
今のところ以下のような解答が出てますが、どれも10進法以外なのでスッキリしません
「廿=20」
「1C=28」

>>52
0=00

>>53
平行移動です

X = Z_+ × Z_+ × … とする。

No one has ever constructed a specific well-ordering of (Z_+)^ω.

構成することが不可能であることが証明されているのでしょうか？
それとも、構成できる可能性はあるということでしょうか？

8=o8

>>51
X, Y に順序同型写像 f1, f2 が存在するとして
f1, f2 : X→Y, g1, g2 : Y→X
g1.f1 = g2.f2 = id_X, f1.g1 = f2.g2 = id_Y
S := { x∈X | f1(x)≠f2(x) } と置く.
S=∅ が言えればよい.

S≠∅ と仮定して c:= min(S), f1(c) < f2(c) とする. ( f2(c) < f1(c)の場合も同様 )
g2.f1(c) < g2.f2(c) = c より f1( g2.f1(c) )= f2( g2.f1(c) )
f2.g1.f1.g2.f1(c) = f2.g1.f2.g2.f1(c) {∵ f2.g1.〜 = f2.g1.〜 }
f1(c) = (f2.(g1.f1).g2).f1(c) = f2.(g1.(f2.g2).f1)(c) = f2(c) {矛盾}
よって S=∅ が示された.

>>57
うまいですね。ありがとうございました。

>>45
k回目までは 赤球／青球であり、(k+1)回目が白球である確率は
　(2^k)/3^(k+1),
白球は出ないものとして【操作】をk回くり返した後の得点の期待値は
　(1+p)(3/2)^k - p,
n回までの得点の期待値は
　Σ[k=0,n] (2^k)/3^(k+1)・{(1+p)(3/2)^k - p} = (n(1+p)+1)/3 - (2/3){1 - (2/3)^n}
n→∞ とすると発散する。
最終得点の期待値は ∞

>>52
等式にせよだから何にもしなくていいやん？
成立させろとは言ってないんやし

>>59
【操作】をk回繰り返した後の期待値って、k回のうち赤球青球が出る順番によらずその値になるの？

うむ。
(2^k とおりの得点の総和) ÷ 2^k
で求まる。

A を非可算集合とする。
整列可能定理を使うと、整列集合 J で、 J から A への全単射が存在するようなものが存在することが分かる。

何も説明がないのでおそらく自明なことだと思われますが、なぜでしょうか？

もしかして、 J として特に A を取り、恒等写像を考えるということでしょうか？

整列可能定理により、 A が整列集合になるような A の順序が存在する。この順序集合を J とおく。
id : J → A は全単射である。

>>45
先程上げていただいた解答によるとp=1でも最終得点の期待値が∞になるとのことでした
私的には直観に反することなのですが、本当にp=1でも∞になるのでしょうか
私自身導出と計算ができないので、どなたかご説明いただけますと幸いです

むしろ当たり前やろ
p点もらえるのなんておまけでしかない
p=0でも青は“引き直し”と考えて×2の確率が1/2、終了の確率が1/2
1回目終了の確率1/2、得点1点
2回目終了の確率1/4、得点2点
3回目終了の確率1/8、得点4点
....
コレ足し合わせるだけで無限になる

f(x)＝e^(2-5x)

この関数をラプラス変換する場合どのような手順で行うのでしょうか？

すみません
自己解決しました
一応ですがe^2/(e+5)で正しいでしょうか？

>>69
https://www.wolframalpha.com/input/?i=laplace+transform+f%28x%29%EF%BC%9De%5E%282-5x%29&;lang=ja

松坂和夫著『集合・位相入門』の以下の定理の証明で、選択公理は使われていますか？

定理4
R^n の部分集合（≠空集合）は、それが（開）球体の和集合として表わされるとき、またそのときに限って、開集合である。

証明

…
逆に、 O （≠空集合）を R^n の任意の開集合とする。 a を O の任意の点とすれば、適当な正数 ε(a) に対して B(a ; ε(a)) ⊂ O が成り立つ。
いま、 O の各点 a に対してこのような球体 B(a ; ε(a)) をとれば、
…

適当な正数 ε(a) を決めるときに選択公理を使っているように思うのですが。

内部の定義を書いてみなさい

>>73

a を O の任意の点とすれば、適当な正数 ε(a) に対して B(a ; ε(a)) ⊂ O が成り立つ。

>>73
内部の定義は知っています。

分かっていない、開集合の定義書いてみ

U の任意の点 a に対し、 B(a ; ε) ⊂ U を満たすような正の実数 ε が存在するとき、 U を R^n の開集合という。

Oは開集合なんだろ

>>71
a毎にε(a)を決めるには
例えば ε(a) := max{ 1/n | n∈N , B(a ; 1/n) ⊂ 0 } としたらよい.
こうやって具体的に選択関数が定まるなら選択公理を使う必要はない.

そもそも a毎にε(a)を決める必要なんて無いのである.
添字集合 Λ := { (a,ε) | a∈O, ε∈(0,1), B(a ; ε) ⊂ 0 } として
λ添字の開球 B_λ を λ=(a;ε) ⇒ B_λ := B(a ; ε) と定義すれば
{ B_λ | λ∈Λ } が求める球集合族である.

>>78
何が言いたいのか分かりません。

>>79
なるほど、ありがとうございました。

>>80
もういいよｗ

わからないんですね

予備校をクビになった劣等感婆ですね

はい

どうした、今頃ｗ

>>80
定義だよ

>>87
「任意に固定した一点a」の近傍だけ考えてない？>>71の疑問は「Oの各点aに対して(ry」の部分だろう

そう書けよ

(ryって何？

アホは任せた

R上のlower limit toplogyやK-topologyって何に役立ちますか？

>>90
以下略、以下省略

略と省略には洗濯公理は必用ですか？

マジレスだったか、すまん

∪B(a,ε(a))=Oと言ってるだけだろ、選択公理をどこで使うんだ？

0≦θ≦πで、y=-x/tanθ+(θ/π×tanθ) の直線の通過領域(包絡線)を求めよ。

包絡線にarctanθが入ってしまって合っているかわかりません、、お教えください。。

f(x)=2^(4x+1)+3･2^(2x)とする。
f(x)=2^2021を満たすxの値をa、f(x)=3･2^(2x+1)+2^2021を満たすxの値をbとする。
このとき、a+bの値を求めよ。

2^2a=A、2^2b=Bとおいて条件式をつくり、2A-2B+3=0を導いたのですが、そこからが不明です。
むしろこの路線で合っているのかどうかも不明です。

専ブラ使ってないとついうっかり怪しいコテハンをつけちゃうよね

a=2^(1010)=b

お前ら和歌山県出身の下村拓郎様（35歳、元自衛隊）をご存知か、この方は将来素晴しい人物になるから覚えておいて損はないぞ

自己紹介 乙

>>98
合ってます。

題意より
　f(a) = (2A+3)A = 2^2021,
　f(b) - 6B = (2B-3)B = 2^2021,
これは B：A で加重平均しても変わらない。
　2AB = 2^2021
　AB = 2^{a+b} = 2^2020,
　a + b = 2020,

なお
　b - 1010 = 1010 - a = arcsinh(3/(2^1012))/log(2),

合ってなかった…
　AB = 2^{2a+2b} = 2^2020,
　a + b = 1010,

なお、
　b-505 = 505-a = arcsinh(3/(2^1012))/(2log(2)),

なんだパーかｗ

X=2^xとおくと
2X^2+3X-2^(2021)=0->X=a
2X^2-3X-2^(2021)->X=b

>>106
間違い

　2A - 2B + 3 = 0,
を使うなら
　f(a) = (2A+3)A = 2B･A,
　f(b) - 6B = (2B-3)B = 2A･B,
から直ちに
　2AB = 2^2021,
　AB = 2^{2a+2b} = 2^2020,
　a + b = 1010,
ですね。

[√{2^(2022)+9}]/2

めんどけせーな問題ごっこ爺さん

>>98
自演爺さん

　A = [-3 + √{(2^1012)^2 + 9}] /2,
　B = [ 3 + √{(2^1012)^2 + 9}] /2,

　A = [-3 + √{(2^1012)^2 + 9}] /4,
　B = [ 3 + √{(2^1012)^2 + 9}] /4,

Fn(x) (n≧2)を任意の実数xで微分可能な定数関数ではない関数とする。このとき、任意の実数xで
F1(x)=F2(F1(x))
F2(x)=F3(F2(x))
…
Fn-1(x)=Fn(Fn-1(x))
Fn(x)=F1(Fn(x))
を満たすならば F1(x)=F2(x)=…=Fn(x)=xである。
は正しいですか？

>>114の最初の「Fn(x)(n≧2)は"〜"」は「nは2以上の自然数として、Fn(x)が"〜"の条件を満たすとき」ということです。

すなわち、F2(x),F3(x),…,Fn(x)のみが条件を満たすのではなく、F1(x)も条件を満たします。
回りくどくなってしまってすいません

>>114
前に出てた証明応用するだけやん

sup im Fi = b、iinf im Fi= ai とおけばFiは定数でないのでai<bi
条件より(ai,bi)においてF(i+1)(x) = x
∴ a(i+1)≦ai、b(i+1)≧bi
∴aiは全て共通、biも全て共通
ai = a、bi = bとおく
b<∞とするとF1(x) = x on (a,b)、特にf'(b) = 1
一方でh>0のとき(f(b+h) -f(b))/h≦0
∴f'(b)≦0
矛盾
よってb=∞
同様にa=-∞

X, Y を位相空間とする。
A を X の部分空間とする。
B を Y の部分空間とする。

A × B の積位相は、 A × B の X × Y の部分空間としての位相と一致することを示せ。

松坂和夫著『集合・位相入門』はなぜ分かりやすいと言われているのか分かりません。
James R. Munkresの本を読んでしまうと、『集合・位相入門』が以下にわかりにくいかが分かります。

X を順序集合とし、順序位相を位相とする位相空間とする。
Y を X の部分順序集合とする。
Y の順序位相と、 X の部分空間としての位相は一般に一致しないことを示せ。

[NGID:MXBMXSuV] は馬鹿アスペ一号なのでスルー推奨

>>107
なんだパーかｗ

https://youtube.com/shorts/HJmfu8pQi6c?feature=share
お願いします

下の図のような
目盛りしかない時計があります。
ただし、12の目盛りがどれか分かりません。
長針は 丁度目盛りを指しています。
短針は 時計回りに50°進んだ向きを指しています。

下の図が表わしている時刻は
何時何分ですか？

9時40分

正解です!!
短針は 00分のとき目盛りを指し、1時間に1目盛(30°)進む。
いま短針が目盛りから50°進んでいるから 100分(40分)で、
長針は「８」を指している。

正解ですｗｗｗ

「正解です」 ← これ禁止な

「合ってます」も追加

ダメーー

ヌレの趣旨分かってない香具師がいると聞いて

おまわりさんこいつです

需要は十分あるので、分かる問題スレを立てた方がいいと思います

>>123
360°/12=30°
｛(50°-30°)/30°｝×60分=(2/3)×60
=40分
12×2/3=8
∴長針はちょうど8を差していて、
短針は9と10のあいだを2:1に分ける。

爺さんの問題スレにしたら

中学校レベルの数学の質問です。
正三角形ABCにおいて、ABの中点をM,ACの中点をNとする。MNの中点をPとするとき、角BPCの角度は何度か。
これ、余弦定理使わないとできませんよね？

んなことはない

会ってます

この問題がわかりません
y=(x(t)
y(t))
A=(a(t) b(t)
c(t) d(t))
f=f((t)
g(t))
としてy=Afとする
この時y'=A'f+Af'となることを示せ

(x, y, z) = (1, 2, 0) + t * (1, -1, 2) + s * (-1, -2, 1) の表わす平面の方程式を求めよ。

この問題ですが、 t, s に適当に値を代入して、平面上の同一直線上にない3点を求め、それら3点を通る平面の方程式を求めるという解法で解けますが、
この問題を解く、機械的な手順（アルゴリズム）はありますか？

>>140
(1,-1,2)x(-1,-2,1)が法線ベクトル、法線ベクトルを単位ベクトルにして(1,2,0)と内積を求めたら原点と平面との距離
平面の方程式は原点と平面上へのベクトルとの内積が平面との距離と等しいを表す式

(1,-1,2)　(-1,-2,1) の両方に垂直な (-1,1,1)^ が法線ヴェクトル。
これと与式の内積をとれば
　(x,y,z)(-1,1,1)^ = (1,2,0)(-1,1,1)^
　-x+y+z = 1.

>>139
普通に積の微分の公式と線形性だけで良いのでは

>>141-142
ありがとうございました。

R^n の部分空間 U の基底を v_1, …, v_k とする。

v_1, …, v_k から U = {x ∈ R^n | A * x = 0} となるような A を求めるにはどうすればいいでしょうか？

R^n の部分空間 U の生成元を v_1, …, v_k とする。
U の基底を求めるにはどうすればいいでしょうか？

会ってます

>>136
　arccos(-1/7) = π - arcsin((4/7)√3) = π - arctan(4√3)
　= 2arccos(√(3/7)) = 2arcsin(2/√7) = 2arctan(2/√3)
だろうけど、中学校レヴェルで解くのはチト難しいんぢゃね？

>>140
　(x,y,z) = (1+t-s, 2-t-2s, 2t+s)
より s,t を消去して
　-x+y+z = 1,

>>144
Uの基底に
　v_{k+1}, …, v_n
を追加して R^n の基底を作り、>>145 で直交化する。
　w_{k+1}, …, w_n
これはUの直交補空間U~の基底になる：
w_i は v_1, v_2, …, v_k のすべてと直交する。
これを並べた行列をAとする。

>>145
　Gram-Schmidt するんだろうね…

>>144

第1行が v_1
…
第k行が v_k

となるような k × n 行列を B とする。

B * x = 0 の解空間は、 U の直交補空間である。

ガウスの消去法により、 U の直交補空間の基底は容易に計算できる。

U の直交補空間の基底を u_1, …, u_{n-k} とする。

第1行が u_1
…
第n-k行が u_{n-k}

となるような n-k × n 行列を A とする。

A * x = 0 の解空間は U の直交補空間の直交補空間である。

U の直交補空間の直交補空間は、 U と等しいから、 A が求める行列である。

>>147　ありがとうございます。cosθ=-1/7を満たすような角度ということまでは
わかったのですが、その先がわかりませんでした。

その先は
　|cos(π/2 + 1/7)| = sin(1/7) < 1/7,
　|cos(π/2 + 0.144)| = sin(0.144) > 0.144 - (1/6)0.144^3 = 0.1435 > 1/7,
より
　π/2 + 1/7 < θ < π/2 + 0.144
　98.1851°< θ < 98.2506°
かな。電卓によれば
　θ = 98.2132107°
らしい。

>>151
sinとarcsinを間違えてる

0 < sin(1/7) < 1/7 = sin(θ - π/2) < sin(0.144)
から
　1/7 < θ - π/2 < 0.144
　π/2 + 1/7 < θ < π/2 + 0.144

>>118
∪(O_X×O_Y) ∩ (A×B) = ∪(O_X∩A×O_Y∩B )
左辺 = A × B の X × Y の部分空間としての開集合
右辺 = A × B の積位相

正定値対称行列(a_ij)と非正定値対称行列(x_ij)に対して
Σa_ij x_ij≦0
が成り立つのですがどう示せばよいでしょうか

数学の未解決問題とかさ、たまたま人類が10進数使ってるから解決してないだけで、2進数とか60進数使ってたら問題にすらなってないのが殆どじゃね？

π進数ならπは有理数(キリっ)

>>155
多分写し間違いだと思うので
Σ[ijk] a_ij*x_ik*x_jk ≧ 0 を示す.

直交行列により A = {a_ij} を対角化して
P^t.A.P = diag(α_1, α_2, ..., α_n) =: D (α_i > 0)
X.P =: (v_1,v_2,...,v_n) (v_i: 列ベクトル)
と置く.

Σ[ijk] a_ij*x_ik*x_jk = tr( X^t.A.X ) = tr( X.P.D.P^t.X )
= tr( D.(XP)^t.(XP) ) = Σ[ij] D_ij * {(XP)^t.(XP) }_ji
= Σ[i] α_i * (v_i・v_i) ≧ 0

>>143
Aが正方行列なのを使うのかとおもいましたがそこからわからないです

・両辺計算して比べる
・関数の場合の積の導関数の公式の証明をまねる
お好みで
ちなみに、Aは別に正方行列じゃなくても同様だからあんま関係ない

以下を直接証明せよ。

det A = 0 ⇒ A の列ベクトルは一次従属である。

正解です↓

↑正解です

会ってます

「非正定値」って「正定値ではない」って意味かと思ってた
固有値が正だけじゃなく、負、ゼロが混じってたりするよって

たしかに紛らわしいね。
最初に使うときは定義を書いとかないと
誤解されそう

非負値だろ

↑不正解です

[NGID:boyD5L/U] は問題爺さんではなく馬鹿アスペ一号

f(x,y,t)=ax^t+by^tとする。
t,pは実数定数
f(u,v,p)=1で定義される変数uとvをある範囲で動かす時f(x/u,y/v,t)=1で定義される曲線の包絡線がf(x,y,tp/t+p)=1になることに気づきました。uとvの範囲はかなり限定的です。
結構綺麗な関係なので数学的に何か意味があるのだとは思いますがそこら辺が分かるような書籍、ジャンル、論文等ご存じのかたは教えてください。

変分法

>>173
なるほど綺麗な導出ありがとうございます。
包絡線の問題に変分が有効なのですね。
もう一つ気になっていることとして初めは対等でないように見えるtとpが最終的に対等な関係になるという事の綺麗な説明があったりはしませんでしょうか？逆数の和の逆数になるというのもどういう視点で見れば綺麗か疑問です。

1/z = 1/x + 1/y

ルジャンドル変換

>>161
これAの成分で具体的に書こうとするとrankによって場合分けが必要で意外と面倒？

rank A = r　⇒　A の列ベクトルの中で一次独立なものはｒ個。
でもいいか

つまり、有限次元であることが必須です。
無限次元ならば反例が (いくらでも) あります…

無限次元の行列式とは？

>>179
古屋さんのその本ですが、非抽象的に書くという拘りのある変わった本ですね。

>>179
これは行列式の性質を使って証明していますね。

もっと簡単な証明はありませんか？

これ以上簡単な証明はないやろ
アホが簡単と勘違いしてるアホ式変形やってるみっともない方向違いの証明ならあるだろうが

>>182
そうですね。
本書のはしがきに
　内容は、高等学校程度の数学の知識があれば、数学的な考え方になれて
いなくても、十分に理解できるものである。
とあります。
「数学的な考え方になれていなくても」とは「大学で学んでいなくても」
の意味でしょう。
言い換えれば、高校生・高卒の人が読んで分かる本を目指しているわけです。

前>>134
>>136
AM=BM=AN=CN=1,
BC=2とすると、
AP=√3/2で、
BCの中点をOとするとOP=√3/2だから、
ピタゴラスの定理よりBP=CP=√(1+3/4)=√7/2
cos∠OPB=cos∠OPC=√(3/7)
cos∠BPC=2cos^2∠OPB-1
=2(3/7)-1
=-1/7
arccos(-1/7)=1.7141439rad
1.7141439×180°/π=98.213210……°

マクローリン展開
　1/√(1-xx) = 1 + (1/2)x^2 + (3/8)x^4 + (5/16)x^6 + (35/128)x^8 + ……
より
arcsin(1/7) = ∫[0, 1/7] 1/√(1-xx) dx
　= [ x + (1/6)x^3 + (3/40)x^5 + (5/112)x^7 + (35/1152)x^9 + …… ](0,1/7)
　= 0.1433475689　(rad)
　= 8.213210701°

>>136
作図して計測すればいい、簡単だろｗ
https://i.imgur.com/3uKHEgl.png

> Angle(B,P,C)
rad deg
1 1.714144 98.21321

S_n の元を互換の積として表わす場合、それらの互換の数の偶奇は一定であるという定理の証明に、
差積という n 変数の多項式を使うことがありますが、こういう使い方って邪道じゃないですか？

お前ルールなんか知るかバカ

多項式など持ち出すのは場違いですよね。

邪道というより王道だな

算数の問題ですがお願いします。

///////////////////////////////
AとBを自然数とし、
A×BをA＋Bで割った商を
A◎Bと表すことにします。

例えば、6◎4 は、
6×4を6＋4で割った商なので
6◎4＝2、となります。

Cをいろいろな自然数にかえて
8◎C を計算するとき
考えられる 8◎Ｃ のうち
最も大きいものはいくつですか。
/////////////////////////////////

答えは ７ なんですが
ひたすら計算していって
多分7なんだろうなぁと分かるのですが
８以上にならない説明ができません

できれば算数の範囲の説明で教えて欲しいです。

ならんけど？

main = do
print [ ( c, mod (8*c ) ( 8+c ) ) | c<-[1..100]]

[(1,8),(2,6),(3,2),(4,8),(5,1),(6,6),(7,11),(8,0),(9,4),(10,8),(11,12),(12,16),(13,20),(14,2),(15,5),(16,8),(17,11),(18,14),(19,17),(20,20),(21,23),(22,26),(23,29),(24,0),(25,2),(26,4),(27,6),(28,8),(29,10),(30,12),(31,14),(32,16),(33,18),(34,20),(35,22),(36,24),(37,26),(38,28),(39,30),(40,32),(41,34),(42,36),(43,38),(44,40),(45,42),(46,44),(47,46),(48,48),(49,50),(50,52),(51,54),(52,56),(53,58),(54,60),(55,62),(56,0),(57,1),(58,2),(59,3),(60,4),(61,5),(62,6),(63,7),(64,8),(65,9),(66,10),(67,11),(68,12),(69,13),(70,14),(71,15),(72,16),(73,17),(74,18),(75,19),(76,20),(77,21),(78,22),(79,23),(80,24),(81,25),(82,26),(83,27),(84,28),(85,29),(86,30),(87,31),(88,32),(89,33),(90,34),(91,35),(92,36),(93,37),(94,38),(95,39),(96,40),(97,41),(98,42),(99,43),(100,44){

あ、商か
失礼しました
なら当たり前やん
8C<8(8+C)なんだから

>>195
あ、なるほど。
単純でした。

(8×C)は8×（8＋C）より小さい
だから
(8×C)÷(8＋C)は8より小さくなる
で良いのか。

あるがとうございました。

(別法)
n次の対称群S_n の元をσとする。
　i<j, σ(i)>σ(j)
となる (i,j) の個数を N_σ とする。
1回互換するたびに 奇数だけ変わることが分かる。

暇な爺さん

前>>186
>>193
8×c/(8+c)
=(7c+56+c-56)/(8+c)
=7+(c-56)/(c+8)
c∈Ｎ,c≧56のとき、商は7

次の固有値、固有ベクトルを作る行列Pを求めて、対角行列に変換せよという問題
[[8 2 -5],
[-6 0 5],
[12 2 -9]]

(8-λ)(0-λ)(-9-λ)... とガリガリと計算して
= -(λ^3+λ^-10λ+8)
(λ-1)(λ^-2λ-8)
= (λ-1)(λ+4)(λ-2)

よって　λ = 1, 2, -4 だと導き出したのですが、テキストには固有値がなく、この時点で間違っているのかどうかすら分からず。正解の行列Pに合致しません。
固有方程式の過程と固有値を教えていただきPを求める過程を教えてもらえないでしょうか？
テキスト通りにやったつもりなのですが、現状こんな感じで解けません。

>>201
固有値と固有多項式
https://sagecell.sagemath.org/?z=eJwrzUtJTcvMS00BABLKA7M=&;lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==

アレ失敗
https://sagecell.sagemath.org/?z=eJxLtFXITSwpyqzQUFCIjrZQ0DHS0TWN1VGI1jXTMdABsqINjUBilrGxmrxc0Yl6yRmJRYnJJalFmcUlmcnxBfk5lXn5uZmJORqaOrxciXqpmempeWWJOaWpxRqasQAHNxzK&;lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==

計算サイトで固有値は正解なことがわかりました。
λ = 1, 2, -4 からそれぞれの連立方程式をテキストではつくり、x,yzを算出してるのですが一の場合は計算があうのですが、2と-4 であるp2とp3の求め方がテキストに書いてなくて、解き方が理解できてません。
過程を教えてくれると助かります。

https://www.wolframalpha.com/input/?i2d=true&;i=eigen+vectore+of+%7B%7B8%2C2%2C-5%7D%2C%7B-6%2C0%2C5%7D%2C%7B12%2C2%2C-9%7D%7D&lang=ja

nを2以上の正整数として、一辺の長さ1の正方形を横にn個並べ、それを縦にもう一段重ねて横n,縦2の長さの長方形Sを作る。
いまS内の各正方形を白か黒に塗る。このとき、以下の条件を満たすような正方形の塗り方は何通りあるか、nで表せ。

（条件）
S内の一辺の長さ2の正方形で、その内に黒で塗られた一辺の長さ1の正方形がちょうど2個あるものが、偶数個ある。

非対称行列では固有ヴェクトルは直交せず
　p1 と p2　15.79317°
　p2 と p3　17.71547°
　p3 と p1　19.47122°
よくまとまっています。
　P^(-1) の行ヴェクトルの方は
　q1 と q2　129.23152°
　q2 と q3　120°
　q3 と q1　108.43495°
かなり平面的ですね。

(距離のない)一般の空間で考えてみるのも
趣があります。

長さ2の正方形で黒2マスのものが偶数個の配色をよい配色と呼ぶ

An = #{よい配色で左端が白白}
Bn = #{よい配色で左端が白黒}
Cn = #{よい配色で左端が黒黒}
an = #{よい配色でなく左端が白白}
bn = #{よい配色でなく左端が白黒}
cn = #{よい配色でなく左端が黒黒}

とおく

A(n+1)=An+Bn+cn
B(n+1)=An+bn+Cn
C(n+1)=an+Bn+Cn
a(n+1)=an+bn+Cn
b(n+1)=an+Bn+cn
c(n+1)=An+bn+cn

解いてAn+Bn+Cn = 答え

1番から100番までの100人の死刑囚がいる。
1から100までの番号の書かれた100個の箱がある。
1から100までの番号の書かれた100枚の紙がある。
それら100枚の紙を100個の箱に1箱につき1枚ずつランダムに入れる。
各死刑囚は100個の箱のうち50箱を開ける。
それら50箱の中に自分の番号と同じ番号の紙が入っていれば「成功」、そうでなければ「失敗」。
すべての死刑囚が「成功」すれば、全員釈放される。
死刑囚たちは箱を開ける前に戦略を相談できる。

全員釈放される確率が30%を超えるような戦略が存在することを示せ。

>> 207

連立方程式を解くというのが3式になると全くわからなくなります。増減法などで解いてみるのですが的外れになってしまったりします。

>>212
解答が知りたい人がいれば、解答へのリンクを貼ります。

>>212
各死刑囚は他の死刑囚が箱を開けている様子を見ることはできないとする。

>>212
peter winklerのパズル本にあったな

>> 207

で省略されている連立方程式の解き方がわかりません。
λ=2 の場合の連立方程式は
6x+2y-z=0
-6x-2y+5z=0
12x+2y-11z=0
となり
λ=4の場合は
4x+2y-5z=0
-6x-4y+5z=0
12x+8y-15z=0
となると思って解いています。

加減法、行基本変形、クラメル公式などを利用しても解に導出できません。
導出を教えていただけませんでしょうか？

解は
λ=2：　p2 = [ 2, -1, 2 ]^t
λ=-4：　p3 = [ 1, -1, 2 ]^t
であることは答えを見てわかっています。

>>217
いろいろやり方あるけど、一つの方法としては変数を一つ消去してやるといい、たとえばzを消去する
そうすると未知変数が2つで条件式が2つの連立方程式になる

>>201
マルチ
分からない問題はここに書いてね 470
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/5

>>218
加減法がそのやり方に該当していると思うのですが、例えばzを消去できそうな
λ=4の連立方程式
4x+2y-5z=0
-6x-4y+5z=0
12x+8y-15z=0
のzを消去していくと

4x+2y-5z=0
-6x+-4y+5z=0
をたして
-2x-2y=0 という式が1つ
-18x+12y+15z=0
+12x+8y=-15z=0
をたして
-6x+20y=0 という式が2つ目

2つの連立方程式は
-2x-2y=0
-6x-4y=0
となって、x=0,y=0と導出されませんか？

導出手順がまちがっていればご指摘をおねがいします。
どこか、勘違いをしてまちがっているのだとおもってます。

>>217 行基本変形が分かってるなら出来るはず

λ=2 の場合
[6 2 -5]
[-6 -2 5]
[12 2 -11]

[6 2 -5]
[0 0 0]
[12 2 -11]

[6 2 -5]
[0 0 0]
[0 -2 -1]

[6 0 -6]
[0 0 0]
[0 -2 -1]

[1 0 -1]
[0 0 0]
[0 -2 -1]

x - z = 0 ∴ x=z
-2y -z = 0 ∴ y=-z/2
∴ p2 ∝ [z, -z/2, z] ∝ [2, -1, 2]

>> 12x+8y-15z=0
ここが間違ってる

>>220
ごめん
式ちゃんと見てなかった
これは変数が確定する連立方程式じゃなかった

λ=+4じゃなくて λ=-4 でしょ？

固有値も固有ベクトルも一般には元の行列の代数拡大取らないとできないんだから四則演算だけでは無理やろ

固有ベクトルの定スカラー倍も同じ固有値に対する固有ベクトル。

なんのことはない、>>224 で終わってるんじゃん。

>221
基本変形で
[1 0 -1]
[0 0 0]
[0 -2 -1]
にできることはわかるのですが、この行列で
x - z = 0 ∴ x=z
であることがわかりません。

λ=4の部分はλ=-4でした。そもそも違うので計算しなおしかと思いますが、
基本変形が理解できれば、こちらも簡単にわかるのできそうなので、上記をまず理解したいです。

基本変形で
[1 0 -1]
[0 0 0]
[0 -2 -1]
となって
1式の[1 0 -1]を方程式にすると
x-z=0となるので、x=z
3式は2y-z=0となってz=ーz/2

x:y:z = z:-z/2:z となるので、最小の整数値にすると
2:-1:2となり、これがp2となるわけですね。理解できました。ありがとうございます。
λ=-4もやってみます。

λ=-4 もやってみましたが、どうやれば良いのかさっぱりわかりません...。

λ=4の連立方程式をつくったら
1式と3式が同一なので1式と2式の比率を導出したら解にたどりつけました。
ありがとうございました。(手元で符号をまちがえてました)

以上、〇〇でした

>>211
An, Bn /2, Cn, an, bn /2, cn は次の線形漸化式を満たす。
　X(n+1) = 2X(n) + 12X(n-1) -16X(n-2),
　X(n+1) = -2X(n) + 4(n-1) + (5/8)･4^n,
　特性値 {4, 2φ, -2/φ}

100mlの70%水溶液を作るのに、50%水溶液と90%水溶液が、ぴったりとはまって100mlになるには、どういう比率になりますか ?

50%水溶液 x (g) と 90%水溶液 y (g) を混合して
70%水溶液 87.18 (g) を作る。
　x + y = 87.18
　0.5x + 0.9y = 0.7・87.18
よって
　x = y = 87.18 /2 = 43.59　(g)
体積は
　50%水溶液　43.59/0.9177 = 47.499　(ml)
　90%水溶液　43.59/0.8222 = 53.016　(ml)

1番から100番までの100部屋がある。
1番から100番までの100人の死刑囚がいる。
各囚人は自分の番号と同じ番号の部屋にいる。
各部屋には、1から100までの番号の書かれた100個の箱がある。
各部屋には、1から100までの番号の書かれた100枚の紙がある。
100枚の紙を100個の箱に1箱につき1枚ずつ入れる入れ方を刑務所長がランダムに決める。
看守は、刑務所長が決めた紙の入れ方で各部屋の100個の箱に100枚の紙を入れる。
各死刑囚は100個の箱のうち50箱を開ける。
それら50箱の中に自分の番号と同じ番号の紙が入っていれば「成功」、そうでなければ「失敗」。
すべての死刑囚が「成功」すれば、全員釈放される。
死刑囚たちは箱を開ける前に戦略を相談できる。
各死刑囚は他の死刑囚が箱を開けている様子を見ることはできないとする。

全員釈放される確率が30%を超えるような戦略が存在することを示せ。

正解です↓

>>237
各囚人はまず自分の番号を開け、続いて開けた箱に入っていた紙に書かれていた番号の箱を開ける操作を50回繰り返す
この戦略が失敗するのは箱の番号と中に入っている紙の番号のなす置換による軌道分割が大きさ51以上のサイクルを含む場合である
k>50に対し大きさkのサイクルを含む確率は
(100-k)!C[100,k](k-1)!/100! = 1/k
だから失敗する確率は
1/51+1/52+‥+1/100
で成功する確率は
1 - ( 1/51+1/52+‥+1/100 ) ≒ 31.1827820689805 %

正解です↑

>>237

解説動画です。

https://youtu.be/xMQ0Fw7_rUU?t=3357

wikipediaの公理系のページによると、置換公理は論理式を表すメタ変項によって公理図式であり、よって公理としては無限個あるらしいです。
しかし例えば一般的に、外延性公理∀A∀B(∀C(C∈A⇔C∈B)⇒A=B)は公理図式とは言わず1つの公理とみなしていると思います。
A, B, Cは別の無限個の変数でも置き換えられるので、外延性公理も1つの公理ではなく公理図式ではないかと思ってしまいます。
この考えは正しくないと思うので、間違いを指摘していただけると嬉しいです。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E5%9E%8B

>>242
一階述語論理で∀,∃で量化できるのは項のみで述語はダメです
外延性公理
A∀B(∀C(C∈A⇔C∈B)⇒A=B)
で量化されてる変項A,B,Cは項を走る変数なので問題ないけど
置換公理(をあえて2階の述語論理で書くと)
∀ψ( ∀x,y,z (ψ(x,y)=ψ(x,z)⇒y=z) ⇒ ∀X∃A∀y(y∈A⇔∃x∈X ψ(x,y) )
となってしまい述語ψを量化してしまってるので一階述語論理のルールに逸脱してしまいます
一階述語論理のルール内で納めるにはこの式のψを具体的な命題に置き換えて得られる全ての式が公理であると考えるしかありません

間違えた。

100mlの70%食塩水を作るのに、50%食塩水と90%食塩水が、ぴったりとはまって100mlの70%食塩水になるには、どういう比率になりますか ?

明らかにそんなに溶けないんだけど、無視して下さい。

高温高圧にしても溶けませんか？

50と50なら70

>>243
なるほど！ありがとうございます！

論理式∀A∀B(∀C(C∈A⇔C∈B)⇒A=B)と∀D∀E(∀F(F∈D⇔F∈E)⇒D=E)は一階述語論理の公理や推論規則から同値であることが示せるので、ZFの公理として外延性公理は代表を1つ選んで∀A∀B(∀C(C∈A⇔C∈B)⇒A=B)のことであるとして良い、という認識は合っているでしょうか？

>>248
いいのではないでしょうか
やろうと思えは全ての項A,Bに対して
∀x( x∈A ⇔ x∈B ) ⇔ A = B
の全部を公理系スキーマにしたって構わないはずです
見たことないですけど

頑張って濃度の計算したら、一人でできた!!

V を有限次元ベクトル空間とする。
W_1, …, W_k をその部分空間とする。

dim V ≦ dim W_1 + … + dim W_k

が成り立つことを証明せよ。

以下の証明やそれと類似の証明以外の証明を教えて下さい。

W_1, …, W_k それぞれの基底を構成する元をすべて集めると V の生成元になる。
V の生成元は V の基底を含む。よって、

dim V ≦ dim W_1 + … + dim W_k

が成り立つ。

>>251

訂正します。

V を有限次元ベクトル空間とする。
W_1, …, W_k をその部分空間とする。
V = W_1 + … + W_k とする。

dim V ≦ dim W_1 + … + dim W_k

が成り立つことを証明せよ。

以下の証明やそれと類似の証明以外の証明を教えて下さい。

W_1, …, W_k それぞれの基底を構成する元をすべて集めると V の生成元になる。
V の生成元は V の基底を含む。よって、

dim V ≦ dim W_1 + … + dim W_k

が成り立つ。

そこで刑務所長は、箱の番号＋１が書かれた紙を各箱に入れるように
看守たちに指示しました。(#100には「1」を入れる)
この場合、軌道の長さは100になります。。。

f(x)を0でない任意の多項式とするとき、
lim[n→∞] e^(-x)*f(x) = 0を証明せよ。

合ってます↓

そもそも０は多項式ではないし
nって何だよ

合ってます↑

0は多項式だし
nはf(x)の次数と推測してみるテスト

無粋な奴

f(x)を0でない任意の多項式とするとき、
lim[x→∞] e^(-x)*f(x) = 0を証明せよ。

正解です↓

任意のnに対してe^x>=x^n/n!より明らか

正解です↑

>>262
ゴミのような解答

ロピタルガンガンかませば瞬殺

>>246
1：1 イオン結晶だと、温度上げてもそれ程 変わらんのでは。
1：2 で1.5倍 (100℃/0℃)、1：3 で2倍ぐらいかな。
一方、糖、アルコールなどの有機分子では１桁以上増える物もある。

>>268
血糖値が正常値の10倍とか経験するけどNa値が正常値の10倍なんてありえんな。

>>264
アホ乙

>>264
訂正
素人乙

>>264
再訂正
一年坊主かよｗ

前>>200
>>212
一人目は看守と取り引きしないかかぎり最大でも50%成功。
半分開けた中に次の死刑囚の番号があったかなかったかを合図する。箱か机か部屋のドアかなにかに印をつけるなどそれを打ち合わせすることは許されているから、そうする。
つまり50%全員釈放される。
∴30%以上

前>>274補足。
前の死刑囚が手に色のついた絵の具を塗るなど、どの箱をあけたかわかるように、次の死刑囚に番号のあるなしを含め知らせるための打ち合わせする。

四色定理で、
飛地や島は、一つの飛地・島ごとに別レギオン扱いにした場合に、本当に地図は四色で塗り分けられるの？
海で一色使ってしまうよね？

釣り師ktkr

>>249
ありがとうございます！

a,b,c,dを(a+c)(b+d)=ac+bdをみたす正の実数とする。
このとき、a/b+b/c+c/d+d/aとしてありうる最小の値を求めよ

この問題の答えって、ついてるコメントの回答であってる？
http://afterschoolbbs.herokuapp.com/article/41

錯視かな

>>279
4

合ってます

>>279
8

コレあってる？
https://youtu.be/1rKSll997uU

あってます

>>282

>>284

>>279

a/b+b/c+c/d+d/aだけで考えれば、a,b,c,d≧0であるこで相加相乗平均 からa/b+b/c+c/d+d/a≧4・√1になります。
等号成立する時a=b=c=dとなりますが、(a+c)(b+d)=ac+bdも同時に成り立たないといけないので、2a・2a=a^2+a^2,4a^2=2a^2でa=0となります。
しかし、その場合a/b+b/c+c/d+d/a=0/0+0/0+0/0+0/0となり計算ができないと思うのですがどうやって解いたのでしょうか？どこか間違っている所があれば教えていただけると幸いです。

>>286
あってた
お騒がせしました

実数xおよび自然数nを与えられたとき、
Σk=0からn-1[x＋k/n]=[nx]
が成り立つことを証明せよ。

[x] = m, x=m+α/n
ただし m は整数、αは実数で0≦α＜n、[α] = u
とした時、
左辺＝m(n-u)+(m+1)uとなるみたいなのですが、この式はどうやって導かれたのでしょうか。
解説お願いします。

>>289
x+k/n=m+(α+k)/nと書けるから
kが0から(n-u-1)までのとき
x+k/nの整数部分はm
kが(n-u)から(n-1)までのとき
x+k/nの整数部分はm+1

>>284
あってます。
　a = c,　b = d,　b/a = 2±√3.

>>279
〔補題〕
a,b,c,d > 0 のとき
　a/b + b/c + c/d + d/a ≧ 8(ac+bd)/((a+c)(b+d)),
等号成立は a=c, b=d のとき。

(略証)
　(a+c)(b+d)(a/b+b/c+c/d+d/a) - 8(ac+bd)
　= (ac+bd){(1/ac)(a-c)^2 + (1/bd)(b-d)^2} + (1/ac)(ab-cd)^2 + (1/bd)(ad-bc)^2
　≧ 0,

[NGID:JOGGpS/y] は糞爺さん

R^3の曲面S上にui曲線(i=1,2)とパラメーターtがあって、測地線の方程式

d^2ui(t)/t^2+{i,jk}(duj(t)/dt)(duk(t)/dt)=0
(添え字のi=1,2はアインシュタイン方式で書いている。{i,jk}はクリストッフェル記号の事)

は常微分方程式の一般論から(u1(0),u2(0))=(0,0)とdui(0)/dt=Xi(Xiの意味は後述)を勝手に与えて解く事が出来て、
その際に、
tの範囲はS上の点p (u1(0),u2(0))=(0,0)での接平面TpSに属するベクトルX=Xi∂r/dui(rはS上の位置ベクトル。添え字iはアインシュタイン方式。)によって決まる。

と本に書いてあったんですけど、tの範囲がベクトルXで決まる理由が分かりません。これも常微分方程式の一般論から分かる事ですか？
微分方程式論はほとんど勉強した事が無いので、tの範囲の説明について知りたいなら何て名前の定理もしくは命題を調べれば分かりますか？
名前が無いなら、何て本の何ページ目に詳しい説明が書いてあるか知ってたら紹介して欲しいです。ネットのPDFとかでも大丈夫です！

>>294
測地線の方程式ならtが全ての実数の範囲で定義されると思う

>>294
あれ？書けない？
測地線の方程式なら全てのtで定義されるはず

{i,jk}が暴走すると終わりだな

>>294
本のタイトルとページ数は？

>>296
本が間違えてるんですかね？それとも書いてないだけで気付かない内に話しの流れで何か前提条件があるんですかね？

>>297
何か知ってるんですね？良かったら教えて下さい！

>>294
嘘書いた
閉曲面ならtは全ての実数でいけるハズ
どっか空いた縁があるならそりゃ落っこちるわな

>>298
今手元に本が無いのでページ数までは分かりませんが、力学的な微分幾何（著者は大森英樹）の第１部第３章の３．２（a）よりは少し後ろのページです！

>>300
>閉曲面ならtは全ての実数でいけるハズ
ますますやばい

>>302
つまりどういう事ですか？

先人の苦労を忍ぶことだな

>>301
普通の微分方程式の存在定理を知ってる？局所的には解ける。どこまで伸びるかということ。

>>302
測地線がすん詰まってそれ以上伸ばせない例つてある？
もちろん滑らかな閉曲面です

>>305
いえ、勉強した事ありません。簡単な微分方程式の計算しか知りません。理論は全くです。
解の存在定理が書いてある本なら大抵はtの範囲について詳しく載ってますか？
その解の存在定理が、局所的に解が存在するっていう内容で、その局所的な範囲がXによって決まるから定義域tもXによって決まるという事ですか？

>>307
上に書いた通り、まず本なりpdfで勉強してくれ

>>308
解の存在定理について調べればtの範囲の話しも載ってるんですね。何を勉強すれば良いのか分かっただけでもありがたいです！
ありがとうございました！m(_ _)m

あ、アンカー間違った
でも滑らかな閉曲面なら測地線なんかいくらでも伸ばせるやろ？
訳のわからんゲージ使えばともかくとして>>294の方程式は距離ゲージになるんじゃないの？

間違ってたらすまん。
曲線上を移動する際、接平面の法ベクトルが変化しても、接平面に属する方向ベクトルのうち、
一つだけは共有し続けられるような場合、その曲線上の線分は曲面に対する測地線と言える。
つまり、曲線が測地線から外れるタイミングは、その共有ベクトルの有無で測れるんじゃね？

>>311
例えば球面上の測地線は大円らしいですが、大円上を移動している時に共有されてる接平面に属するベクトルはどれだと考えるんですか？

>>311
大円の出発地点から終着地点までの1/4地点での接平面と出発地点での接平面は直交するので、２つの接平面に属する（始点を気にしない）自由ベクトルで等しいベクトルは無いと思うんですが、共有するというのはどういう意味で使っているんですか？

>>311
あ、でもこの２つの面が交わって出来る線上のベクトルは等しいのでやっぱりありましたね！
って事は、曲線上の各点での接平面の面積が有限だとして、曲線上の何処かの点aでの接平面が出発点ｐでの接平面と交わらなくなるくらいにaがｐから離れたら、そこから先は測地線ではないという事ですか？
したがって接平面の面積はベクトルXが決めるから測地線の定義域tはベクトルXによって決まるという事ですか？

見つけた
>>294の方程式をオイラーラグランジュから導出してる詳細まとめたpdf
http://physnd.html.xdomain.jp/grel/geod.pdf
もちろん“長さ最小”の曲線をパラメータ表示するとき長さはパラメータの取り方で不変、すなわちゲージ不変なのだから解は関数一個分の自由度があるはずなのに>>294の方程式は2階の常微分方程式で実2次元の自由度しかない
どっかでゲージ条件使ってるはずと思ったらpdfの3ページの下の方で使ってる
そのゲージだとパラメータtは出発地点からの距離を表すゲージ(等速度ゲージ)になってる
なのでその方程式のtの変化範囲は測地線を一定速度で進んで行って曲面の端っこなりなんなりに到達してしまうまでの時間になる
端っこないなら全ての実数で定義可能

単細胞は幸せでいいのう

細かい事気にしてたら大森さんの本は読めないだろう

齋藤正彦著『線型代数入門』のp.136に以下の記述があります。

「
実線形空間の線型変換 T の場合、任意の基底に関する T の行列を A とすれば、 A は実行列であり、実数 α が T の固有値であるということは、
実係数の斉次一次方程式 (α*E - A) * x = 0 が、自明でない実解を持つということである。第2章§2注意2（p.58）により、これは α が実特性根
であるということと同値である。証明終。
」

第2章§2注意2（p.58）とは、 A を実行列としたとき、 A * x = 0 の解は複素ベクトルにはならず、実ベクトルになるというものです。

上の齋藤さんの記述の「第2章§2注意2（p.58）により、これは α が実特性根であるということと同値である。」って必要ですか？
当たり前のことですよね？
第2章§2注意2（p.58）というのはなぜ書いたのかが分かりません。非常に自明なことです。

A * x = 0 の解は、 A の成分と四則演算のみを使って表わされるから自明なことです。

>>317
この人の本を主軸にして微分幾何学の勉強をしていて、ここに書いてある事は出来るだけ理解したいと思ってるので細かい所も気にしたいんです。初学者過ぎて分からない事だらけですが。。

>>319
最低線型代数と微積分は勉強しといたほうがいいぞ、それと一般相対性理論
頑張ってくれ

>>315
分かったかもしれません！

Xi= dui/dtだからXiを変える事とdui/dtを変える事は同じ。
uiは曲線上の点の位置ベクトルのi成分の事だからdui/dtが変われば曲線の形が変わって別の測地線になる。ここまでは微分方程式の初期値とかの問題。
曲線の形が変われば出発地点と到着地点（例えば曲面の両端）でのパラメーターtの値が変わるから、tの変域はベクトル場Xによって決まる。

って事ですね？

>>320
励みます！

>>321
イヤ、測地線の方程式は最初に空間にベクトル場Xがあってそれを引っ張ってくるいわゆるベクトル場の積分曲線とはかたちが違う
なんか測地ベクトル場の理論とかいうのがあるらしいけど少なくとも>>294の方程式はその形の方程式ではない
イメージわかなかったら2次元くらいで具体的に書いてみればいい
2次元なら２つの未知関数x1(t)とx2(t)についての方程式でx1,x2によって決まる8個の関数Γ111(x1,x2)Γ112(x1,x2),...,Γ222(x1,x2)があって>>294は
x1''(t) = Γ111x1'(t)x1'(t) + Γ112x1'(t)x2'(t) + Γ121x2'(t)x1'(t) + Γ122x2'(t)x2'(t)
x2''(t) = Γ211x1'(t)x1'(t) + Γ212x1'(t)x2'(t) + Γ221x2'(t)x1'(t) + Γ222x2'(t)x2'(t)
という連立微分方程式
めっちゃ難しい形だけどx1(0),x2(0),x1'(0),x2'(0)によって一意に解が決まりその際のtの変化範囲はさっきも書いたけどこの測地線が最大伸ばした時の道のり÷√(x1'(0)^2+x2'(0)^2)と求められるはず
そこまで本では言及してないみたいだけどな

>>321
測地線自体は変わらない。
初速が変われば移動速度が変わるから、端に着くのが早くなる。
それだけ

>>323
初期値を決める事の意味とか一意的に決まるという単語の意味があまりよく分かっていなかったっぽくて色々誤解してたかもしれません。一度分かっているかもしれない事を整理するので間違えてる部分と合っている部分を教えて下さい！

測地線はS上の点aから点bに引く最短距離の曲線（δ∫=0もしくはオイラー・ラグランジュの方程式を満たす曲線）で、これは測地線の方程式>>294の解の事。
（線を点の集まりという言い方をするとして、）測地線の微分方程式の解は初期値を指定しなければ具体的にはS上の各点のどの点を通る曲線なのかは分からない（何処か２点の最短経路の事という一般解だけは分かっている）から、
t=0の時に測地線となる点の位置ui(0)と速度dui(0)/dt(i=1,2)を決める事で、
t=0前後での測地線となる点が全て分かる（通る２点を決めなくても１点と方向が同義だから大丈夫）。一般解からこうやって具体的に曲線が１つだけ選ばれる事を一意的に選ばれると言う。
パラメーターｔの範囲は測地線の定義域の事で、
例えば測地線上の等速度運動の場合では移動に要する時間の事だから測地線の長さ÷√(u1'(0)^2+u2'(0))で表されるはずだけど、
Xi=dui(0)/dt(i=1,2)だから時間tはX∈TpSによって決まる。

測地線の概念と微分方程式論についてあまり知らないままこの本を読んでたので、そこら辺の話しを含めてまとめてみました。

>>324
ですよね！多分理解出来たのかもしれないです！

>>325
あぁ、そんなに多くは誤解してないな
>>321に突っ込み入れたのは“ベクトル場”って言ってたからだよ
ベクトル場とベクトルは関連してるけど意味は全然違う
tの範囲が道のり÷初速で決まる(∵>>294の方程式で得られる解は等速ゲージパラメータになる)で正しい

>>327
大体合っていて良かったです！間違っている部分を訂正するとしたら、

>>294を計算するとtの範囲が道のり÷初速になる事が分かるから例えばじゃなくてちゃんと等速度運動の事だと導出される。
等速度運動だからS上の速度ベクトルの場を勝手に変えてはいけなくて、変えて良いのは測地線上のベクトルだけ。計算する時には初期位置での初速を変えて良いという事。

になりますか？

>>327
しかも変えると言っても等速度運動になる様に変えないといけない。という意味も込めて測地線上のベクトルを変えると言いました。

>>329
「測地線上のベクトル」は変えられないよ
>>294の方程式の解は(u1(0),u2(0))=(0,0)と(X1(0),X2(0))のよっつの実数だけで決まってしまい後から“任意に選ぶ”事などできない
もし本にそう書いてあるなら間違いやね
元々オイラーラグランジュから得られる方程式は“ゲージ不変”でその方程式は
(u1(t),u2(t))が解⇒任意のf(t)に対し(u1(f(t),u2(f(t))も解
という性質を持ってる(ゲージ不変性、当たり前)けどそれでは扱いにくいのでゲージ条件x1(t)^2+x2(t)^2=1を追加して初めて>>294の解が得られる
詳細は上の方に書いたpdfに載ってる
なので>>294の時点で「X(t)を任意に選ぶ」などできません

>>331
訂正
×ゲージ条件x1(t)^2+x2(t)^2=1を追加して初めて>>294の解が得られる
◯ゲージ条件x1(t)^2+x2(t)^2=1を追加して初めて>>294の方程式が得られる
つまり>>294の方程式はすでにオイラーラグランジュ方程式ではなく+ゲージ条件で解きやすくした形ですでにコレの解は何をとっても自動的にゲージ条件を満たすようになるようになってる
だからX(t)を任意に選ぶ事などできない
任意に選べるのは(X1(0),X2(0))のみ
後ゲージ条件もX1(t)^2+X2(t)^2が不変しか使って無いと思う
そこはpdfで確認して下さい(当方未確認)

>>328
これの訂正です。

>>294を計算するとtの範囲が道のり÷初速になる事が分かるから例えばじゃなくてちゃんと等速度運動の事だと導出される。
等速度運動だから速度ベクトル場を勝手に変えると等速度運動ではなくなってしまうためS上の速度ベクトルの場は勝手に変えてはいけなくて、等速度運動になる様に変えるんだったら大丈夫。その際に初期速度dui(0)/dtを基準に等速度運動となる様なベクトル場を作るならならdui(0)/dtは勝手に色々任意に変えて良いという事になる。
tの範囲はベクトル場Xではなく初速Xi=dui(0)/dtによって決まる。

関数f(x)を次のように定義する。
f(x)＝1 (x＝0のとき)
f(x)＝0 (x≠0のとき)
また、数列a0,a1,……
を
a0＝0,an＝(a_(n-1))+f(((a_(n-1)+1)^2)-n)
で定義する。
an＝[√n] (n≧0)を示せ。ただし[]はガウス記号。

数学的帰納法より
n＝0の時は成り立つ
n＝kの時、
[√k]＝m(m^2≦k<(m+1)^2)とおくと、
ak+1＝m+f((m+1)^2-1-k)
k＝(m+1)^2-1のとき、
ak+1＝m+1＝[√k+1]
また、m^2≦k<(m+1)^2-1のとき、
ak+1＝m＝[√k+1]
この最後の部分のak+1＝m＝[√k+1]の部分がわかりません。
なぜak+1＝m＝[√k+1]となるのでしょうか？
ak+1＝m＝[√k]となってしまうのではないでしょうか？

>>334
√k の根号の中の k に 1 を加えた数である √(k+1) の所在は次のいずれか
　�@ m≦√(k+1)<m+1 の場合
　�A m+1≦√(k+1) の場合

疑問の「m=[√k] となるのではないか？」について
[√k]=m とおいたのだから m=[√k] であることは当然で、�@の場合、
　【√(k+1)の整数部分が、依然として √k の整数部分と同じである】
という意味で
m=[√(k+1)] (=[√k])
が成り立つ。

注意しないといけないのは、�Aのとき、実は m+1=√(k+1) が成り立っているということ
(もし�Aの不等号が真の不等号だったら
　√k<m+1<√(k+1)
　k<(m+1)^2<k+1
となって連続する整数のあいだに (m+1)^2 があることになる)
だから、�Aの不等号は等号で、このとき
　f((m+1)^2-1-k)=f(0)=1
が成り立ち、
　a[k+1]=a[k]+f(0)=m+1=√(k+1)=[√(k+1)]
がちゃんと成り立つ。

A君とB君の二人がじゃんけんをする。じゃんけんは決着がつくまで何度でも繰り返す。
決着がつくまでにA君が少なくとも1回チョキを出す確率を求めよ。

↓正解です

グー

↑正解です

>>335
わかりやすい解説ありがとうございます
とても助かりました
こんなの試験で出たら完答できる気しないです…

前>>336
A君がグーかパーを出す確率は2/3
B君がA君と同じのを出す確率は1/3
違うのを出す確率は2/3
A君がチョキを出さずに勝負が決まる確率は、
(2/3)(2/3)=4/9
勝負が決まるまでにA君が少なくとも1回チョキを出す確率は、
1-(2/3)(2/3)=1-4/9=5/9
あってるかどうかは分からない。

{(√2)^(√2)}^(√2)が有理数であることを用いて、「無理数の無理数乗が有理数になることがある」ことを証明せよ。

すいません問題と言うほどじゃないんですが
図のように半直線OA, OBと点Cがあります。
この図の点Cの位置って、言葉で正確に説明するとどうなりますでしょうか？
「∠AOBの内側」と言えば伝わるとは思いますが教科書的な表現ではないですよね
「半直線OAに関しBと同じ側、かつ、半直線OBに関しAと同じ側」というのを考えたんですが、もっと簡潔な言い方があれば教えてください
お願い致します
https://i.imgur.com/k8mmI7b.jpg

(√2)^(√2) が有理数なら、これがその例である。
(√2)^(√2) が無理数なら、問題文の命題がその例である。

[面白スレ３９．630,643,661]
http://oeis.org/A078333

>>343
「Oから2点A, Bを見込む角の内側にある点C」とかかな

∠AOC + ∠COB = ∠AOB　をみたす点C

Cを通る直線はすべて折線AOBと交わる、をみたす点C

1.2.3.4.5の5枚のカードから3枚取り出したときの組み合わせについて、各々の組み合わせのカードの和を5で割った余りが対等に存在することを証明せよ

できました

1≦k≦n (n,k)=1のとき
0〜n-1からk個選ぶ空間{(a1,...,ak)}に作用σを
σ(ai)_ji= ai+1をnで割ったあまり
で定めるとき作用の軌道は全て大きさnで全ての軌道において軌道上のΣaiをnで割ったあまりは相異なる

お三方ともありがとうございます

私のコースの教授はみんな「数学は道具で実際に使える実学です。時々数学は論理的思考力を鍛えるためとか言う人もいますがそういう人は数学をきちんと理解していないんでしょうね」といいますが皆さんはどう思いますか？
チコちゃんに出てきた教授は論理的思考力がどうこう言ってました

>>348
列挙して数えた結果

> table(combn(5,3,function(x) sum(x)%%5))

0 1 2 3 4
2 2 2 2 2

>>352
スレ違い
雑談スレへどうぞ

m,nは正整数の定数で、m≧nとする。
いま袋の中に赤玉m個、白玉n個が入っている。以下の操作を繰り返し行う。

「操作」
袋から無作為に1つ玉を取り出し、取り出した玉の色を確認したあと袋に戻し、取り出されなかった色の玉を袋の中に1つ追加する

この操作をn回行った後の袋の中の赤玉の個数をM[n],白玉の個数をN[n]とするとき、lim[n→∞] N[n]/M[n]を求めよ。

出玉数 m+n+n（n→∞）
だと2か所のnが動いてしまう
m+n+k（k→∞） とかにすべき

直観的には解は同じになりそう

高校生爺さん

行列式が正の n次実行列の全体を n^2 次元実ユークリッド空間の部分位相空間と見なすとき
それは単連結か？

たぶん正しいと思うけど示し方が分からない

そうか

f(x)=x^3-3xとするとき，y=f(x)の接戦のうち、点(2,34)を通るものの接点と方程式を求めよ。

教えてください。

わからないんですね

△ABCの辺BC上にD,Eを辺AC上にF,Gをとり
ADとBGの交点をH、AEとBFの交点をIとすると
直線HI,DF,EGは一点で交わることを証明せよ。

>>352
論理的思考力を鍛えるなら、囲碁や将棋、確率も考えるなら麻雀でもいいね。

>>360
接点(-2,-2)

>>362
Desarguesより明らか

>>365
どの三角形とどの三角形を考えると自明になる？

Pappus's hexagon theorem

>>358
π_1 = Z (n=2), Z/2 (n >2)
岩沢分解から

>>367
なるほどその双対定理なんですね

一番シンプルにしたこの定理でさえ座標で計算しないで初等幾何的に自明と思えないのが悔しい。。

正方形A(0,0)B(1,0)C(0,1)D(1,1)にX(p,q)から垂線を下した４点を
P(0,q)Q(p,1)R(p,0)T(1,q)とすると
PQとRTの交点は対角線AD上にある
PRとQTの交点は対角線BC上にある

>>364

ありがとうございます

質問 >>358 の時点ではただの「連結」のつもりで「単連結」と書いてしまいました

任意の行列 A = (a1, a2, ..., an) と置く、但し det(A) > 0 とする

Gram–Schmidt法による正規直交化を行い、直交行列 P を得る (行列式の符号は不変)
A = (a1, a2, ..., an) → (p1, a2, ..., an) → (p1, p2, ..., an) → ... → (p1, p2, ..., pn) = P
符号が不変なので det(P) = +1 となる

Pの左から順次 x_{n}x_{n-1} 平面、x_{n-1}x_{n-2} 平面、.... 、x_1x_2 平面での回転を行い第1列を e1 = (1, 0, 0 ,..., 0)^t へと変形可能で ある. (行列式の値は不変)
P → (e1, p2’, ..., pn’ ) 直交性が不変なので p2’, ..., pn’ の第1成分は 0 である
同様にして
(e1, p2’, ..., pn’ ) → (e1, e2, ..., pn’’ ) → ... → (e1, e2, ..., e{n-1}, pn’’’ ) =(e1, e2, ..., e{n-1}, en ) (detP=+1 より)
こうして単位行列 E を得る

変形 A → ... → E の各ステップは明らかに線形補間可能である
よって部分位相空間 { A | det(A) > 0 } は 「連結」でしかも「弧状連結」である
とりあえずこれで満足できました

>>368 記号の意味すら理解できないのですが それは「単連結性」を示すものなのでしょうか？

ホモトピーですね
ホモトピーが0でないということは、単連結でないことを意味します

>>372
ありがとうございます
いつか理解できるようになろうと思います

>>358
多様体入門�W章§4例題やね、証明が正しいかどうかは知らない

>>358
How many connected components does GLn(R) have?
https://math.stackexchange.com/questions/100978/how-many-connected-components-does-mathrmgl-n-mathbb-r-have

どこから書けばいいのか分かりませんが...。
区間(0,2π)から、任意に2点を選びそれらを小さい順に並べたものをθ_1, θ_2とします。

このときθ_1とθ_2の同時密度関数が
f(θ_1, θ_2) = 2*(1/2π)^2 (0<θ_1<θ_2<2π)になる理由が分かりません。

θ_1, θ_2は(0, 2π)の一様分布に従うので、
それぞれ密度関数は、1/2πで、それらを二つ掛けあわせたらθ_1とθ_2の同時密度関数が得られると思っていたのですが、2倍となっているのはなんですか？おそらく大小関係がついたからでしょうか？。もしそうだとしても理由が分かりません。

大小関係がついたからだね
密度だからθ1とθ2で積分したら1にならないといけないけど
正方形の領域(タテヨコ2π)においてθ1<θ2の範囲は対角線(θ1=θ2)で折った半分だけの領域になる

基本的な因数分解の問題です。
よろしくお願いします。

２ｘ＾２−５ｘｙー３ｙ＾２−ｘ＋１０ｙー３
＝２ｘ＾２−５ｘｙーｘー３ｙ＋１０ｙー３
＝２ｘ＾２−５ｘｙ−ｘー（３ｙー１０ｙ＋３）
＝２ｘ＾２−（５ｙ＋１）ｘ−（ｙー３）（３ｙー１）
ここまでは分かりますが
最後のたすき掛けをどうすれば良いのかが分かりません
１と−（ｙー３）、２と（３ｙー１）でたすき掛けをすると
うまい具合に（５ｙ＋１）が出てきてくれますが
その次はどうすればいいのか？わかりません。