>>315
分かったかもしれません！

Xi= dui/dtだからXiを変える事とdui/dtを変える事は同じ。
uiは曲線上の点の位置ベクトルのi成分の事だからdui/dtが変われば曲線の形が変わって別の測地線になる。ここまでは微分方程式の初期値とかの問題。
曲線の形が変われば出発地点と到着地点（例えば曲面の両端）でのパラメーターtの値が変わるから、tの変域はベクトル場Xによって決まる。

って事ですね？