分からない問題はここに書いてね 471

松坂和夫著『集合・位相入門』の以下の定理の証明で、選択公理は使われていますか？

定理4
R^n の部分集合（≠空集合）は、それが（開）球体の和集合として表わされるとき、またそのときに限って、開集合である。

証明

…
逆に、 O （≠空集合）を R^n の任意の開集合とする。 a を O の任意の点とすれば、適当な正数 ε(a) に対して B(a ; ε(a)) ⊂ O が成り立つ。
いま、 O の各点 a に対してこのような球体 B(a ; ε(a)) をとれば、
…