√2が無理数であることの証明で納得いかない

√2=m/n(m,nは互いに素な整数)とおく。
2n^2=m^2でmは偶数だから整数kを用いてm=2kとおける
↑これがわからん
2n^2=m^2→mは偶数　は自明じゃなくない？もっと言うと√2が有理数と仮定してるからm=√2kではだめなのか？

> 2n^2=m^2→mは偶数　は自明じゃなくない？

そうだね
だったら証明すればいいじゃん

>>1
mは偶数か奇数
mを奇数とするとm^2も奇数
2n^2は偶数なので矛盾
したがってmは偶数

おまいら優しいな。ひまなんか

そんなことより行方不明になった靴下の片方のことの方が大事

俺が履いてる。ごめん。いつか返すわ

>>3
納得した

>>1
単発質問禁止

大学でちゃんと数学勉強した高校の先生なら

>√2=m/n(m,nは互いに素な整数)とおく。

というところで，なんかコメントがあるはずなんだが

n≠0

それは平凡な高校生でも分かることだから、何か凄いコメントがあるんじゃない

凄いコメントに期待

世界のすべての人々が、金持ちになればお金の価値はなくなる。
この世界からお金がなくなると、商品に価値をつけることはできない。
即ち、お金と商品と価値は、数式で表される。
−commodity + 1/commodity·⊅＝value/(demand/supply), when energy ⊅ is infinite, -demand/(commodity/supply)＝value. Therefore, -⊅·(demand/supply)＝value, ⊅ is money.
その数式によれば、
経済は格差によってのみ成り立つ。
金持ちが増えれば増える程、貧しい人々も増える。
時間は最も単純で難解な数学。
x＝x+1
x−1＝x
-1＝1/ x²
よって、x²＝-1
その数学は、諸々の問題を解決する。

@Z_TON45 and 9 other Twitters

>>13
x−1＝x
-1＝1/ x²
x=0で割るな

>>12
ローカルルールワロタ

>>3
>　mは偶数か奇数
は成り立つのかな。
mが素因数2を含むか含まぬか、確定するのだろう。
類数(イデアル類群の位数)が1のときは UFD だから成り立つだろう。

たとえば 虚二次体Z[√(-5)] なんかを考えると 2･3 = 6 = (1+√(-5))(1-√(-5)) となる。
右側のように因数分解すれば2を含まないから、奇数かな。
mは偶数か奇数、となるのはUFDの場合？

・先行スレ
無理数が存在しないことを証明した　(2018/11/24〜)
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1543055522/

>>16
> 虚二次体Z[√(-5)]
体じゃねーし

>mは偶数か奇数、となるのはUFDの場合？
それを論ずるにはまず整数以外における偶数、奇数を定義しないと

まあ>>1の気持ちはわかる
それってつまり√2が無理数だから√2が無理数と言ってるようなもんだからね

バカ登場

互いに素に矛盾するなら互いに素じゃないだけだよな

んだんだ
だから√2は互いに素な分数にはならないのであーる

バカ登場

「m^2が偶数ならばmは偶数である」の対偶は「mが奇数ならばm^2は奇数である」だから、
「mが奇数ならばm^2は奇数である」が証明されれば「m^2が偶数ならばmは偶数である」も証明されたことになる

mが奇数の時、整数kを用いてm=2k+1と表すことができる
m^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1
kが整数の時2k^2+2kも整数だから、2(2k^2+2k)+1は奇数である
よって、m^2は奇数である

「mが奇数ならばm^2は奇数である」が証明されたから、「m^2が偶数ならばmは偶数である」も証明された

>>22
どんな表し方でも互いに素にならないってのが重要で、
本来なら互いに素な表し方が存在するはずなのに存在しない、だから矛盾。

分数の分母と分子は互いに素かそうでないかのどちらか。
後者は通分すれば互いに素となるから、前者だけ考えれば十分。
一般の環の局所化でも考え方は同じで、同値関係を定義して商集合を構成する。

もうやばたん話要らん、家庭の話は真弓かどっちかにしてくれ

なんで？

整数同士の比として表せるものだけが有理数であり、
そのようにはあらわせないものがすべて無理数
であるという定義ならば、虚数単位も無理数になるんだな。

整数と自然数の比で表せる実数が有理数で、有理数ではない実数が無理数

31の定義ならば、虚数は無理数ではありえない、
もちろん有理数でもない。そういう解釈でいいんだな？

>>32
内容をしっかりと確認してみて
『実数』なので虚数は対象外

だとすれば本スレのナンバー28の疑問は当然ではないのか。
まず√2が実数であるということを確かめた上で、
有理数とすれば矛盾するから（実数の）無理数である、としないと。

たとえば√（−2）が有理数であると仮定してm/nと置いて矛盾を
導いて、その結果√（−2）は無理数でした、という証明になって
しまうから。

x^2 = 2
が実数解を持つことの証明なんて簡単じゃん

とりあえず、>>1の内容がおかしい

√2=m/n (m,nは互いに素な整数、n≠0)
m/n=√2
m=(√2)*n
m^2=2*(n^2)
n^2して2をかけた数は偶数になるので、m^2は偶数
2乗して偶数になる整数もまた偶数なので、
m=2k (kは整数)とおける

プラトンの本では図形的な証明が示唆されている

図形的に無理数であることを示すのにはどうするのかな？

「テアイテトス」には
テオドロスが17までで証明をやめたと記されているので
直角三角形を利用したのではないかと推測されているが
具体的な方法はわからない。

もし、ある数 x が有理数なら、長さの比が　1:x　の長方形をたくさん用意し
上手く敷き詰めると、正方形にできる。

例えば、xが自然数a,bを使って、x=b/a と表せるのなら、
長さ 1の方向にb段、長さxの方向にa列敷き詰めると、b×bの正方形ができる。

しかし、1:√2の長方形では、何段、何列敷き詰めようとも、そのようなことはできない。
何故なら、長さ1の方向に一つ積むと、2:√2 の長方形ができるが、なんとこれは、
元の長方形 1:√2と相似になっている。
これは、このような操作をいくら行っても無駄であることを示唆している。

【ルート 2 が無理数であることの 4 通りの証明　参照】
https://manabitimes.jp/math/1030

・背理法による証明
証明開始
√2​ が有理数であると仮定する
このとき、互いに素な正の整数 m , n を用いて √2=m/n とおける

m/n=√2 の分母を払うと、
m=(√2)*n
両辺を 2 乗して、
m^2=((√2)*n)^2
m^2=((√2)^2)*(n^2)
m^2=2*(n^2)…[1]

上記[1]より、右辺は 2 の倍数なので、 m^2 は 2 の倍数
よって、 m は 2 の倍数

すると、m^2 は 4 の倍数になるので、n^2 が 2 の倍数
よって、 n も 2 の倍数

{※補足説明
m が 2 の倍数なので、 k を正の整数とするなら、m=2k とおける
両辺を 2 乗する
m^2=4*(k^2)
m^2 は 4 の倍数となる

m^2=4*(k^2)
m^2 に 2*(n^2)を代入
2*(n^2)=4*(k^2)
両辺を 2 で割る
n^2=2*(k^2)
つまり、n^2 は 2 の倍数
2 乗して 2 の倍数になる数 n^2 が 2 の倍数なら、n もまた 2 の倍数である}

これは、m と n が互いに素であることに矛盾する
したがって、√2 は無理数である
証明終了

長すぎる

>>42↓こちらは短いです↓
【ルート 2 が無理数であることの 4 通りの証明　参照】
https://manabitimes.jp/math/1030

４通りに水増ししてるけど２通りじゃないの

定理：
整数ｎが平方数（整数の2乗）でなければ、√ｎは無理数である。

テアイテトスの定理

√2が有理数と仮定する
M={n∈N|n√2は整数}とおくとMは空でない
そこでMの最小元mをとり、m'=m√2-mを考える
・m'√2=2m-m√2は整数である
・m'=m(√2-1)<mである
よってm'∈Mである
これはmの最小性に矛盾する

いま整数係数の二次多項式　P(ｘ)=ｘ＾2−2　を考える。
もしもこれが既約な有理数を係数とする1次因子の積に分解するとすれば、
ｍ、ｎを互いに素な整数として (x-m/n)(x+m/n)であるが，
m^2/n^2=2である．すると｜ｎ｜＝1でなければならない。
するとｍ＾2＝2であるが、2は平方数ではない。
よって、P(x)は有理数を零点としない。
ところがP(x)の零点の1つが√2である。これは√2が有理数では無い
ことを意味する。

注：一般にモニックな整数係数多項式が因数分解されるときは、
その各々の因子はモニックな整数係数多項式に限られることが示せる。
その零点は代数的整数であり、代数的整数が有理整数でなければ、
それは代数的無理数である。

>>47
この証明って正しいの？

造反有理

>>49
a/bとおくのと基本同じ

Mは分母の集合
既約<==>最小

√2が無理数であることを背理法により証明する。
√2の定義 : x²=2を満たす実数xは正負2個あるが、そのうちの正のものが√2。x²=2 ⇔ x=√2、-√2
実数は有理数と無理数から成る。有理数でない実数は全て無理数である。
無理数の定義 : 有理数でない実数。
実数の定義 : 実数の公理を全て満たす集合をR(実数体)と名付けて、その集合の元を実数と定義する。
ここでは√2が実数であることを仮定する。
有理数の定義 : mは整数、nは正整数とする。また、mとnは互いに素であるとしてよい。この時、m/nを有理数という。

√2が有理数であると仮定する。
√2=m/nとおく。m、nはどちらも正整数、mとnは互いに素とする。
分母を払ってm=√2n
両辺を二乗してm²=2n²
右辺は2の倍数なので左辺は2の倍数。また、2は素数である。

mが2を素因数として持つ→
m²は2の倍数
mが2を素因数として持たない→
m²は2の杯数ではない
よって転換法によりm²が2の倍数ならばmは2の倍数である。

集合と写像で書くと
f : m→m² (mは正整数)で、
f : 偶数→偶数²=偶数、
f : 奇数→奇数²=奇数で、一対一に対応する。
よってf⁻¹も一対一写像で、m²が偶数ならばmは偶数となる。

m=2a (aは正整数)とおける。
4a²=2n²⇔n²=2a²
よってnも2の倍数となる。
するとmもnも2の倍数である正整数であり、公約数として2を持つので、互いに素であるという仮定に矛盾する。従って背理法により仮定すなわち「√2は有理数である」が偽であり、√2が無理数であることが証明された。