シンプルなのに難しい問題くれ

分野は数学の範囲内で何でもOK。
図や式はシンプルなのに難しい問題が欲しい。
[例]
AB=BC=8,DA=5,∠ABC=120°,AD//BCを満たす四角形ABCDの辺DA上に∠DBE=60°を満たす点Eを置く。三角形DBEの面積を求めよ。

1+1=2の証明を参考に1-1=0の証明せよ

何年経っても1+1=2の証明が理解できなく、1-1=0の証明と見比べたらもしかしたら少しは理解できるかもしれないので、よろしくお願いします(;｀･ω･)ﾉ

0^0の値は？

>>2
>>3
そういう「定義が難しい」みたいな感じじゃなくて、例みたいなパズルみたいな難問が欲しいんや。

3次元空間R^3を円周S^1のみで埋め尽く方法を記せ

4桁の整数ABCDは平方数で上2桁ABと下2桁CDもそれぞれ平方数となるABCDを求めなさい。

>>6
これって下二桁が「00」とか「09」とかになる場合も含むん？

>>7
それありだったら簡単過ぎるねw
なしだったら答えは一つ…かな？多分。

1番から100番までの100人の死刑囚がいる。
1から100までの番号の書かれた100個の箱がある。
1から100までの番号の書かれた100枚の紙がある。
それら100枚の紙を100個の箱に1箱につき1枚ずつランダムに入れる。
各死刑囚は100個の箱のうち50箱を開ける。
それら50箱の中に自分の番号と同じ番号の紙が入っていれば「成功」、そうでなければ「失敗」。
すべての死刑囚が「成功」すれば、全員釈放される。
死刑囚たちは箱を開ける前に戦略を相談できる。
各死刑囚は他の死刑囚が箱を開けている様子を見ることはできないとする。

全員釈放される確率が30%を超えるような戦略が存在することを示せ。

>>9
箱を引いた後の箱とくじと囚人はそれぞれどうなんの？

各囚人は全く同じ状態の箱とその中の紙のペアの集合に対して、50箱を選びます。

各囚人は箱を開けて、中の紙に書いてある番号を確認したら、その紙を元の箱に戻すとします。

箱の位置とか向きとかキズとか、とにかく前の人は後の人に一切情報を伝えられないの？
事前に決めた通りに動くしかできないってこと？

1番から100番までの100部屋がある。
1番から100番までの100人の死刑囚がいる。
各囚人は自分の番号と同じ番号の部屋にいる。
各部屋には、1から100までの番号の書かれた100個の箱がある。
各部屋には、1から100までの番号の書かれた100枚の紙がある。
100枚の紙を100個の箱に1箱につき1枚ずつ入れる入れ方を刑務所長がランダムに決める。
看守は、刑務所長が決めた紙の入れ方で各部屋の100個の箱に100枚の紙を入れる。
各死刑囚は100個の箱のうち50箱を開ける。
それら50箱の中に自分の番号と同じ番号の紙が入っていれば「成功」、そうでなければ「失敗」。
すべての死刑囚が「成功」すれば、全員釈放される。
死刑囚たちは箱を開ける前に戦略を相談できる。
各死刑囚は他の死刑囚が箱を開けている様子を見ることはできないとする。

全員釈放される確率が30%を超えるような戦略が存在することを示せ。

各部屋における、箱の番号とくじの番号のペアはすべて同じなの？
全員同時に開けるの？
かべ叩いたりできるの？

シチュエーションよりもできることできないことを明確にしてよ。

刑務所長とか出てくると「買収できんの？」とか数学かどうかも怪しくなってくるじゃんw

まともな問題なんだよね？なぞなぞじゃなくて。

各部屋における、箱の番号とくじの番号のペアはすべて同じなの？　→　同じです。
全員同時に開けるの？　→　同時でも同時じゃなくてもどちらでもかまいません。
かべ叩いたりできるの？　→　これは数学の問題なので、無関係です。

各囚人は箱を開ける前に相談して決めたやり方で50個の箱を選びます。
相談後に囚人たちの間で情報のやり取りはありません。

一人が50回連続で成功する(毎回くじの入れ方は変える)確率を30%以上にすると考えてもいいってこと？

>>6
1681だけだね、多分。

>>6
結構ブサイクな方法しか思いつかなかった。ちゃんとしたやり方ってあるの？

物体Xの重さは、1kgに「物体Xの重さの半分」を足したものである。
物体Xの重さは何kgだろうか？

x2＋y2＝2021となるような整数x,yを全て求めよ。

>>23
ない。

>>1
関係ない話になるが実は例の問題は自分が作った問題なんや。
なかなか面白い難問ができたと思うから解いてみてほしいで。

2021 = 43 * 47 でどちらも 4n+3 型の素数。
無理っぽい。

　A (-4, 0）　B (0, 4√3)　C (8, 4√3)　D (1, 0)　X (20, 0)
とおくと題意をみたす。
　OD = 1,　BD = 7,
　∠BDX = θ とおくと
　cosθ = - OD/BD = - 1/7,
E が x<0 にあれば
　tan(∠OBE) = tan(150ﾟ - θ) = 11/(5√3),
　OE = 8.8
　DE = OD + OE = 9.8
　�僖BE = (1/2)OB･DE = (98/5)√3,
E’が x>0 にあれば
　tan(∠OBE') = tan(θ - 30ﾟ) = 13/(3√3),
　OE' = 52/3,
　DE' = OE'- OD = 49/3,
　�僖BE' = (1/2)OB･DE' = 98/√3,

面白くないけど

小数部分が最小となる
　√8101 = 90.0055554
小数部分が最大となる
　√481 = 21.9317122

自作の問題にろくなのない。
出しっぱなしで正解も示さないし。
ボロが出るから示せないんだろうけど。

ちゃんとした答えのある問題出そうよ。

>>14

解説動画です。

https://youtu.be/xMQ0Fw7_rUU?t=3357

>>30
あー、なるほど。1時間半の動画を見て自分で考えろと。
やっぱりろくでもなかったなw

>>27
すまん、点EがあるのDA上じゃなくてCD上やったわ。

作図して平行線の間隔は一辺8の正三角形の高さだから4√3
DについてAと逆側のAD上にFをとると、
△DBF=6√3
△ABD=10√3
△DBF≡△GBAなるGをEB上にとると、
△EGA：四角形EGBF：△EBF=3^2：(8^2-3^2)：8^2
=9：55：64
=18√3/5：22√3：128√3/5
∴△EBD=△EGA+△GBA+△ABD
=18√3/5+6√3+10√3
=98√3/5

>>33
ちゃうで

前>>33問題が変わったんで解きなおす。
>>32
BEの延長線上にF,
ADの延長線上にGを、
四角形ABCGが平行四辺形になるようにとると、
△DBG≡△FBC
AD=GF=5
DG=FC=3
AG=BG=BC=8
△DBC=△GBC=8^2×√3/4
=16√3
Gを起点にメネラウスの定理より、
(GF/FC)(CE/ED)(DA/AG)=1だから、
(5/3)(CE/ED)(5/8)=1
CE/ED=24/25
∴△DBE=△DBC×(DE/DC)=16√3×｛25/(25+24)｝
=400√3/49

前>>35訂正。
メネラウスの定理以降が違いました。

>>35
ちゃうで。
でも方針は何となく近いかも。

前>>36
>>32
BEの延長線上にF,
ADの延長線上にGを、
四角形ABCGが平行四辺形になるようにとると、
△DBG≡△FBC
AD=GF=5
DG=FC=3
AG=BG=BC=8
△DBC=△GBC=8^2×√3/4
=16√3 (ここまでは同じ)
BGとCDの交点Hは、
BG=8を8：3に分けるから、
BH=64/11,HG=24/11
BGの中点をIとすると、
IH=BH-BI=64/11-4=20/11
IH：HG=20：24=5：6
Gを起点にメネラウスの定理より、
(GF/FC)(CE/EH)(HI/IG)=1だから、
(5/3)(CE/EH)(5/11)=1
CE/EH=33/25
DH：CE：EH：CH=(3/8)58：33：25：58
DH：HE：EC=(3/4)29：25：33=87：100：132
DE：EC=187：132
DE/DC=187/(187+132)
=187/319
=17/29
∴△DBE=△DBC×(DE/DC)
=16√3×(17/29)
=272√3/29

前>>38
>>32
△DBE=272√3/29=16.2454420572……

前>>40訂正。
>>32
AB=BC=8,DA=5,∠ABC=120°,AD//BCを満たす四角形ABCDの辺CD上に∠DBE=60°を満たす点Eを置く。三角形DBEの面積を求めよ。
—————————————————————
BEの延長線上にF,
ADの延長線上にGを、
四角形ABCGが平行四辺形になるようにとると、
△DBG≡△FBC
AD=GF=5
DG=FC=3
AG=BG=BC=8
△DBC=△GBC=8^2×√3/4
=16√3
BGとCDの交点Hは、
BG=8を8：3に分けるから、
BH=64/11,HG=24/11
BGの中点をIとすると、
IH=BH-BI=64/11-4=20/11
IH：HG=20：24=5：6
Gを起点にメネラウスの定理より、
(GF/FC)(CE/EH)(HB/BG)=1だから、
(5/3)(CE/EH)｛(5+11)/22｝=1
CE/EH=(3/5)(11/8)=33/40
DH：CE：EH：CH=(3/8)73：33：40：73
DH：HE：EC=219：320：264
DE：EC=539：264=49：24
DE/DC=49/(49+24)
=49/73
∴△DBE=△DBC×(DE/DC)
=16√3×(49/73)
=(490+294)√3/73
=784√3/73
=18.6017511388……

>>41
正解！この問題おもろかったかな？

無理数の無理数乗が有理数となることはあるか?
とかどうっすか?

e^ln2

う、うーん
そうじゃない、、ｗ
いや、合ってるけど
うん

>>44
ここは数学板だから
lnなんて書くな

ろくでもないパターンその２
自分が想定した答えじゃなかったら意味不明な難癖つけてくる。

どうせ√2^√2もしくは(√2^√2)^√2の話だろう

平面に円をおく
円周上の整数点がn個である最小半径は?

プログラム板に何度も書かれた問題
お前だろ

四面体ABCDの内部に点Pがある
このとき線分の長さの和AP+BP+CP+DPを最小とするPの位置を定めよ
※四面体ABCDの各頂点の立体角の範囲に注意せよ

6÷2（1+2）は1か9か？

>>46
まあ、logだね

前>>41
>>52
1

前>>54
>>51
メタンの分子構造を考えると、
炭素原子1個が任意の水素原子2個に対する仰角は、
109.5°
∴示された。

test

2022個の鈍角と1個以上の鋭角をもつ凸多角形は何角形か。

鋭角がn個のものができたとすると2022個の鈍角をまとめてn個の鋭角と1個の鈍角を持つ多角形ができなければならない
この時内角の総和は(n-1)πであるが、これがπ/2×n+2π未満であるから
π/2×n+2π>(n-1)π
⇔2π>(n-3/2)π
⇔7/2>π
よりn≦3が必要
n=1,2,3である解は容易に構成できるから以下ry

正解です

前Twitterで見かけたんだが、

x^2+xy+y^2=16
y^2+yz+z^2=25
z^2+zx+x^2=36となるとき
x+y+zの値を求めよ。(x,y,z∈R)


x-y,y-z,z-xをかけたりx^3+y^3+z^3-3xyz使うのかなーって思ってやってみたけど結局解けなかった…

>>60
大先生

https://www.wolframalpha.com/input?i=x%5E2%2Bxy%2By%5E2%3D16%2Cy%5E2%2Byz%2Bz%5E2%3D25%2Cz%5E2%2Bzx%2Bx%5E2%3D36&;lang=ja

答えからしてそんなきれいな解け方する問題じゃない

幾何的な解釈なので、x,y,zは正として扱います。

x^2+xy+y^2 等は　θ=2π/3の時の余弦定理に現れる式。

すると、三辺が4,5,6の三角形があり、内部に、点Pを取り、そこから、各頂点間の角度を測ったところ、
全て2π/3となった。この時、Pから3頂点までの距離の和は？　と読み替えることができる。

ところが、全ての角度が　2π/3　なので、シュターナー問題と考えても良い。

そうすると、シュターナー問題としての解法がある。
三角形の三辺それぞれの外側に、それぞれの辺を一辺とする正三角形を画き、
この三つの正三角形の中心を結ぶと、これも正三角形になるが、この正三角形の一辺の長さの
√3倍がその答え。
三角形の三辺をa,b,cとすると、√((a^2+b^2+c^2)/2+S*2√3)　ただし、Sは面積

詳しくはググって下さい。

なるほど
フェルマー点求める問題が

あかんわ
やっぱり数値が汚すぎてやっぱり手計算ではとても答え出ない
フェルマー点を求めさす問題というアイデアはよかったけど数値の選定がダメダメやな

備忘録

△ABCの全ての内角は2/3π未満とする
Fermat点をXとする
XA=x、XB=y、XC=zとおく
A+π/3=A'、B+π/3=B'、C+π/3=C'とおく
△XBC:△XCA:△XAB
= sinA/sinA' : sinB/sinB' : sinC/sinC'
= yz:zx:xy
一方でS=△ABCとして
yz+zx+xy = 4S/√3
∴ yz = sinA/sinA'/(sinA/sinA'+sinB/sinB'+sinC/sinC')×4S/√3
∴ zx = sinB/sinC'/(sinA/sinA'+sinB/sinB'+sinC/sinC')×4S/√3
∴ xy = sinC/sinC'/(sinA/sinA'+sinB/sinB'+sinC/sinC')×4S/√3
∴x^2 = sinA'sinBsinC/(sinAsinB'sinC')T
∴y^2 = sinAsinB'sinC/(sinA'sinBsinC')T
∴z^2 = sinAsinBsinC'/(sinA'sinB'sinC)T
ただしT=1/(sinA/sinA'+sinB/sinB'+sinC/sinC')×4S/√3

>65 にもあるように yz + zx +xy は辺の長さ4,5,6の三角形の面積の4/√3倍なので頑張れば出る
3倍して元の3式の和に足すと2(x + y + z)^2が求まる、でいいんじゃないか？
負の数を含む場合も考えるのは面倒だが

>>66
先生の答え見たらわかる通りそんなたんじゆんにはでない

>>60
ひたすら代数計算してみた

x^2+xy+y^2=16 ---(1)
y^2+yz+z^2=25 ---(2)
z^2+zx+x^2=36 ---(3)
(2)-(3)でz^2を消去
-(x-y)(x+y)-(x-y)z=-11
これをzについて解いて(2)に代入し(x-y)^2倍する
x^4+y^4-47x^2-14y^2-xy(x^2+y^2-61)+121=0 ---(4)
X=x^2+y^2, Y=xyと置いて(1),(4)を書き換える
X+Y=16 ---(1)'
X^2-2Y^2-14X-33(X±√(X^2-4Y^2))/2-Y(X-61)+121=0 ---(4)'
(1)',(4)'を連立させてXを消去
301Y^2-105Y+6375=0
これを解くと
Y=xy=(5/602)(21+121√21)
x^2=(3/602)(959+165√21)
y^2=(25/301)(133-22√21)
z^2=(75/301)(91-6√21)

x^2+xy+y^2=c^2
y^2+yz+z^2=a^2
z^2+zx+x^2=b^2
の場合同様に解くと
xy=c^2/3 - (a^2-b^2)^2(a^2+b^2+c^2-L)/M
yz=a^2/3 - (b^2-c^2)^2(a^2+b^2+c^2-L)/M
zx=b^2/3 - (c^2-a^2)^2(a^2+b^2+c^2-L)/M
x^2=(-a^2+b^2+c^2)/3 - (c^2-a^2)(a^2-b^2)(a^2+b^2+c^2-L)/M
y^2=(a^2-b^2+c^2)/3 - (a^2-b^2)(b^2-c^2)(a^2+b^2+c^2-L)/M
z^2=(a^2+b^2-c^2)/3 - (b^2-c^2)(c^2-a^2)(a^2+b^2+c^2-L)/M
L=√(3(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))
M=6(a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2)

問題文よく見たらx,y,zが負の場合も含めるようなので>>68 を修正
×L=√(3(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))
〇L=±√(3(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))

このとき
x+y+z=±√((1/2)(a^2+b^2+c^2)±√((3/4)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)))
で4個の符号の組が解

a + (1/a) + b + (1/b) + c + (1/c) = d
をみたす自然数a,b,c,dは何組あるか。
ただし、a≦b≦cとする。

1/a+1/b+1/c≧1が必要
a≧4なら1/a+1/b+1/c<1で矛盾
∴a = 1,2,3
(i) a=3の時
b≧4とすると1/a+1/b+1/c<1で矛盾
∴b=3
c≧4とすると1/a+1/b+1/c<1で矛盾
∴c=3
(ii) a=2のとき
b≧5とすると1/a+1/b+1/c<1で矛盾
∴b=2,3
a=2,b=2のとき1/cが小数部となつて解なし
a=2,b=3のとき1/a+1/b+1/c≧1よりc=6
a=2,b=4のとき1/a+1/b+1/c≧1よりc=4
(iii) a=1のとき
1/b+1/c≧1が必要
b≧3なら1/b+1/c<1で矛盾
∴b=1,2
a=1,b=1のとき1/a+1/b+1/c≧1よりc=1
a=1,b=2のとき1/a+1/b+1/c≧1よりc=2
以下ry

正解です

二項係数C[2022, k]が奇数となるようなkは0, 1, … , 2022の中にいくつあるか

2022を2進数で展開すると11111100110で1の数が8個あるから
2^8=256個が奇数

正解

nを3以上の奇数とする。
円に内接するn角形の内角が全て等しいならば、そのn角形は正n角形であることを証明せよ

中心と頂点を結んでできる二等辺三角形の低角をθiとする
ただし添字はmod nでとる
条件は[ ii-1 ] + θ[ i ] = θ[ i ] + θ[ i+1 ]
∴ θ[ i-1 ] = θ[ i+1 ]

正解です。「1つおき」がポイントでした。

┏┳┳┓
┣╋╋┫
┣╋╋┫
┗┻┻┛
同じ速さの2人が、左上の点を同時に出発して、右下の点まで最短距離で行く。
分岐点でどちらの道を選ぶかは同様に確からしいとする。
このとき、2人が初めて出会うのが右下の点である確率を求めよ。

>>79
せめて全経路が同様に確からしいならともかく、その設定では難しいというよりただ手間かけるしかないだけのクズ問やろ

x, y, zが正の実数で、xy, yz, zx, (x+y+z)^3が有理数ならば、x, y, zは有理数であることを証明せよ

(x+y+z)^3=(1+(yz)/(xz)+(yz)/(xy))^3(xy)(xz)x/(yz).

正解です

表に1から5の数が1つずつ書かれた5枚のカードが裏返しに置かれている。
A, B, Cの3人がこの中から1枚ずつカードを取り、カードの表を前方に向けて立った。
3人はいずれも他の2人のカードは見えるが、自分のカードは見えない。
3人は、
●自分が、他の2人のカードの数よりも大きい数のカードを持っていると分かったときには「勝った」と言い、
●自分のカードの数より大きい数のカードを持っている者がいると分かったときには「負けた」と言い、
●どちらとも判断できないときには「分からない」と言うことにした。
さて、A, B, Cは、この順に、見えているカードとそれまでに他の者の発言があるときにはその発言とから、次のように述べた。
A「分からない」
B「分からない」
C「負けた」
このとき、3人の持っているカードの数としてあり得る組み合わせを全て書け。

まず容易にわかる必要条件
①5人の中に5はない(∵これは自明)
②A,Cは4ではない(∵A,Cどちらか4ならBは負け宣言するはず)
③(A,B)≠(1,2),(2,1)(∵CのA,Bの発言から)
④誰かは4(∵全員1,2,3とすると③からそれはCではない、とするとAかBのいずれかが3だがいずれにせよAかBからは残りの2人が1,2であるのを見てるので勝ち宣言するハズ)
⑤Bは4(∵誰かが4だが②からそれはBと確定)
⑥A,Cのいずれかは3(∵でなければA,Cはもう1 ,2しか残ってないがそれならBが勝利宣言している)
⑦(A,B,C) = (3,4,2)ではない(∵もしそうならBは自分の番で(3,1,2),(3,4,2),(3,5,2)の可能性に絞れるが最初のケースならAは勝ち宣言、最後のケースならAは負け宣言してるはずなのでBは自分が4と推論できてしまう)
残った可能性は
A B C
-------
3 4 1
1 4 3
2 4 3
でコレらの場合3人の発言に矛盾しない

惜しい

誰かが5を持っていれば、AとBの少なくとも一方は、「負けた」と発言する。60通り→24通り
AかCが4であれば、Bは「負けた」と発言する。この二点にのみ注目すると、可能性は次の12通り。
ABC=123,132,142,143,213,231,241,243,312,321,341,342

さらに、{b,c}={1,2},{a,c}={1,2}の時は、AまたはBが「勝った」と発言するので、次の6通りに絞られる。
ABC=123,143,213,243,341,342

Bが、AC=13、あるいは、AC=23を見た時、Bが勝っている場合も、負けている場合もあるが、
AC=31、あるいは、AC=32を見た時は、B=4が確定し、「勝った」と発言するので除かれる。
従って、Bの発言終了時点で残されている可能性は、次の4通り。
ABC=123,143,213,243

その後、Cが「負けた」と発言したので、ABC=143,243　の二通りがあり得る。

ABCがアホっていう可能性は？

>>87
正解です。

表に赤か青か黄の丸が書かれた7枚のカードが裏返しに置かれている。
AからGの7人がこの中から1枚ずつカードを取り、カードの表を前方に向けて立った。
7人はいずれも他の6人のカードは見えるが、自分のカードは見えない。
このとき、自分の色を当てるというゲームを行った。
「色は赤か青か黄のいずれかで、同じ色は最大3枚まで」
というヒントが与えられていたが、初めは誰も自分の色が分からなかった。
しかし、誰も分からないという状況を知った何人がが同時に「分かった」と言った。
そして、それを聞いた残りの人が同時に「分かった」と言った。
さて、最初に「分かった」と答えた人は何人か。
ただし、7人は判断するのに同じだけの時間を要するものとする。

① RRRBBBY, BBBYYYR, YYYRRRBはない、すなわち全員3色見えている、特にどの色のカードも2人以上が所持している
② RRBBBYYYとして一般性を失わない
③ Rのカードの所持者からはRBBYYYが見えている、よってRカードの所持者はこの時点で自分のカードを判別出来る、Bも同様、Yの所持者はRRBBYYが見えておりこの時点で自分のカードを判別できない、よってこの時点で判別できたのは4人
④ R,Bのカードの所持者が判定できたのを確認した時点でカードのパターンがRRBBYYYと全員が判別出来る、よってこの問題に矛盾はなく解はある

正解です。

同じ大きさの2つの球をラップで包むとき、ラップの表面積を最小にするにはどのように包めばよいか。

どっかで出てたやつやな

ある女性が宝石店に来て、5000円の指輪を買った。
しかし、この女性は次の日再びこの店に来て、
「やっぱり1万円の指輪にするわ」
と言って、5000円の指輪を返し、1万円の指輪を持ってそのまま店を出ようとした。
慌てた店員は、
「すみません、差額の5000円をいただきたいのですが」
と、この女性を呼び止めた。
ところが、この女性は、
「何言ってんのよ。昨日私はあなたに5000円の現金を渡し、今日私はあなたに5000円相当の指輪を渡したんだから、あなたに全部で10000円相当を渡してるでしょ。私が10000円の指輪を持って帰ってどこが悪いのよ」
と言った。
この話のおかしな所はどこか。

n(≧2)個の異なる実数の集合S={a_1, a_2, …, a_n}に対して、相異なる要素a_iとa_jの差(a_i) - (a_j)または(a_j) - (a_i)の少なくとも一方が必ずSに属するとする。このとき、a_1, a_2, …, a_nの順序を適当に変えれば、等差数列になることを示せ。

>>96
正の単調増加列と仮定して数学的帰納法
でいける

正と負が存在=>成り立たない
成り立つ=>全て符号を反転しても成り立つ
成り立つ=>0を追加しても成り立つ
で一般性を示す

その通りです

AからHの8人が次のように言った。
A「8人の中に正直者が1人以上いる」
B「8人の中に正直者が2人以上いる」
C「8人の中に正直者が3人以上いる」
D「8人の中に正直者が4人以上いる」
E「8人の中に嘘つきが1人以上いる」
F「8人の中に嘘つきが2人以上いる」
G「8人の中に嘘つきが3人以上いる」
H「8人の中に嘘つきが4人以上いる」
このとき、正直者を全て答えよ。

♯正　Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｄ　Ｅ　Ｆ　Ｇ　H　
0 偽　偽　偽　偽　真　真　真　真　
1 真　偽　偽　偽　真　真　真　真　
2 真　真　偽　偽　真　真　真　真　
3 真　真　真　偽　真　真　真　真　
4 真　真　真　真　真　真　真　真　
5 真　真　真　真　偽　真　真　真　
6 真　真　真　真　偽　偽　真　真　
7 真　真　真　真　偽　偽　偽　真　
8 真　真　真　真　偽　偽　偽　偽　

正直者の数と発言の真偽
「正直者が必ず真の命題を述べ、嘘つきは必ず偽の命題を述べる」ならば矛盾しないのは正直者の数が6人の時

E F G H 逆さまorz
結論同じだけど

正解です

2人の委員を選ぶ選挙に8人が立候補した。
50人が、投票用紙に異なる2人の名前を書いて投票する（無効票はない）。
このとき、次の□を求めよ。
（1）得票数が□票以上ならば確実に当選する
（2）得票数が□票以下ならば確実に落選する。

(1)17
(2)0

問題文に不備を感じる

(1)
1位34票、2位33票、3位33票　というのが、3位の最大票。
従って34票取れば、必ず当選できる。

(2)
1位50票、2位8票、3〜8位7票ずつ　というのが、2位の最小票。
従って、7票なら確実に落選。

>>106
お見事です

平面上に黒点と赤点が同数ある（有限個）。
ただし、どの3点も同一直線上にないとする。
さて、黒点と赤点を一つずつ選び線分で結ぶ。
さらに、残りの点から黒点と赤点を一つずつ選び線分で結ぶ。
以下同様に続ける。
【問】黒点と赤点をうまく選ぶと全ての線分が互いに交わらないようにできることを示せ。

赤点と黒点のペアリングで長さの総和が最小値をとるものをどればよい
そのようなペアリングで(R₁,B₁),(R₂,B₂)がペアリングされているとする(Rᵢが赤、Bᵢが黒)とする
４点の凸包が三角形なら線分R₁B₁と線分R₂B₂は共有点はない
凸包が四角形で線分R₁B₁と線分R₂B₂が対角線で交点をXとすれば
R₁B₁+R₂B₂
= R₁X + XB₁ + R₂X + XB₂
= R₁X + XB₂ + R₂X + XB₁
< R₁B₂+R₂B₁ ( ∵ R₁B₂X、R₂B₁X は三角形の頂点をなす)
となり最小性に反するからR₁B₁と線分R₂B₂が対角線である事はない
∴ 線分R₁B₁と線分R₂B₂は共有点はない□

正解と言いたいですが、不等号の向きが…

ありゃ

任意の16桁の自然数に対して、連続した1つ以上の桁の数の積で平方数であるものが存在することを示せ。

1桁目からk桁目までの積の2,3,5,7の多重度の奇偶を考える
ただしk=0の場合は(偶、偶、偶、偶)とする
k=0〜16まで変化させたとき必ず同じになるk₁,<k₂ができる
この時k+1桁目からk₂桁目の∫が平方数である

お見事です。

aとbを正の無理数とし、1/a + 1/b = 1とする。
2つの集合AとBを
A={[a], [2a], [3a], …}
B={[b], [2b], [3b], …}
とする。ただし、[　]はガウス記号とする。
このとき、A∩Bは空集合であることを示せ。

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86#:~:text=%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86%E3%81%AF%E3%80%811,%E3%81%A8%E5%91%BC%E3%81%B0%E3%82%8C%E3%82%8B%E3%81%93%E3%81%A8%E3%82%82%E3%81%82%E3%82%8B%E3%80%82

N<am<N+1‥①、N<bn<N+1‥②(m,n,N∈ℕ)とする
①/a + ②/b : N<m+n<N+1
矛盾
∴A∩B=φ
(∵) am<N‥③、N+1<a(m+1)‥③'、bn<N‥④、N+1<b(n+1)‥④'(m,n,N∈ℕ)とする
③/a+④/b : m+n < N
③'a+④'/b : N+1 < m+n+2
∴ N-1 < m+n < N
矛盾
∴A∪B = ℕ

お見事です

面接官「ここに9人の受験生がいます。1〜9までの好きな自然数を1つ書いてください。1番大きい自然数を書いた人を採用します。ただし、他の人と数字が被った人は不採用となります」
どの数字を書くのがいい？

9

>>119
質問する
全員が不採用となった場合どうなるのかについて質問する。または、必ず1人は採用されるのか質問する

何故質問するかというと、例えば受験者が2人で他は同じ条件の場合、2人とも必ず採用されたいのなら、1番大きな自然数以外を書いても採用されなく、結果2人とも1番大きな自然数9を書くことになります。しかし、それでは数字が被ってしまい全員が不採用になってしまいます
そこで、もし全員が不採用になった場合、再度同じ条件の問題をするなら、何度も同じことを繰り返すことになり、いつまでたっても面接が終わらない事態になります
これは、9人でも同様のことが起こりうる可能性が少なからずあります。なので、全員が不採用になった場合についてどうなるのかをまずは質問する

前>>55
>>119

前>>55
>>119
9が2人、8が2人、7が2人、6が2人かぶっていて不採用になれば、5で採用される。
∴5に張る

2つの封筒があり、一方の封筒に入っている金額はもう一方の封筒に入っている金額の2倍である。
一方の封筒を開けると1万円が入っていた。
あなたはそのままその1万円をもらってもいいし、もう一方の封筒と交換してもいい。
さて、どうする？