大学学部レベル質問スレ 17単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
分からない問題はここに書いてね478
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 16単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1619727449/

ほ

アプリオリな対応って教授が言ってたけど意味わかんなかったなぁ
誰か具体例教えて

アプリオリ評価

ho

こちぇっぺ

たれこじょっぺ

アプリポワゼ

エープライオライ
アメリカ帰りの教授

ここまこ

ID:wZiNq8MI も変な奴だったな
合掌

ここまこ＆こちぇっぺ

前スレの線形空間Vからその双対空間V*への基底に依存しない同型は存在しないことの証明についての質問なんですが, 結局

α:V->V*は基底に依存しない線形写像
<==>
∃M ∈ K^(n×n) ( (∀e,f: Vの基底 (α_e=α_f)) かつ (∃e: Vの基底 (α=α_e)) )
但し
α_e=(φ_e*)^(-1) . M . φ_e : V->V* (MをM倍写像:K^n->K^nと同一視)
φ_e: V -> K^n; Σ_i x_i e_i -> (x_i)

と捉えて良いんですかね? もしそうなら基底に依存しない同型αが存在すると仮定すると,
https://i.imgur.com/pYs1Tkn.png
が可換になって基底の取り換え行列Pの行列式が+/-1にならなければいけないので,
(f_i)=(2e_i)のような基底の取り換えを考えれば矛盾して証明が完了するんですが…

変な奴が来たー

>>13
>線形空間Vからその双対空間V*への基底に依存しない同型は存在しない
そもそも線形写像は基底には依存しないわけで
eとe*を対応させる線形写像がeによって異なるというだけの話

>ID:+s/Xiqgg
君の書き方を流用すると
単位行列Eによって
α_e=(φ_e*)^(-1) . E . φ_e
と定義した線形写像がeによって異なるというだけの話

>>15
>eとe*を対応させる線形写像がeによって異なるというだけの話
表現行列を固定するとeによって写像が変わるということで良いんですかね？

>>16
それは前スレからの引用で申し訳ないのですが,
"Vが有限次元のときは，Vの基底を考えれば，それを双対基底にうつす同形V→V^*がある.．
しかし，この同形は基底に依存するもので，特別な同形V→V^*があるわけではない．"
という文言の
"Vが有限次元のときは，Vの基底を考えれば，それを双対基底にうつす同形V→V^*がある.．
しかし，この同形は基底に依存するもので，"
という部分の話ですよね その後の
"特別な同形V→V^*があるわけではない．"
というのは表現行列が単位行列に限らないもっと一般的な話をしているように思います

>>18
著者に聞くしか無いかもね
一般的な話をしているわけではないと思うよ
「この同型」のことを言っているだけ

しかし，この同形は基底に依存するもので，特別な同形V→V^*があ（ってそれに一致してい）るわけではない．

という意図かと

>>20
別の本を見ても,
"Vとその一重双対V^*の聞の同型を指定するには恣意的な基底の選択が必要で，同型は本当に基底の選択に依存する．"
とあって, やはり一般的な話として解釈してほうが良さそうな気がします
そして基底の選択が必要というのは>>13の意味(表現行列を固定して選ぶ基底を変えると異なる写像になる)で捉えて良いのかな?と

>>21
それも正しいので別にそれで悪くはないけれど
>"Vが有限次元のときは，Vの基底を考えれば，それを双対基底にうつす同形V→V^*がある.．
>しかし，この同形は基底に依存するもので，特別な同形V→V^*があるわけではない．"
は「この同型」のことじゃないかな
著者に聞くしか無いかもね

>>22
>それも正しいので別にそれで悪くはないけれど
その正しさの証明というのは>>13の通りで良いんでしょうか?
とくにMを固定していいのかというところに不安があるのですが

圏論って、どこまでのものを議論の対象にしていいかっていう制限はあんの？
例えば、クラス全体のなす圏とか、圏全体を対象として持つ圏とか

結局こういうのを無制限に認めるとZFCの時みたいに矛盾を引き起こしそうなんだが？

もちろん通常はBGなりZFなりの公理に反しない範囲で定義しなきゃならん
普通はクラス全体のなす圏は考えない事が多い
考えられなくはないけど、そうすると通常の圏論で使う
Cが圏、X,YがそのobjectのときXからYへの射の全体C(X,Y)
はもはや集合ではなくなる
当然ZFでは使えない記号(元々むりだけと)
BGなら扱えるけど色々制限も出てくるし危ない橋わたるのはやめとこうとなる
集合論や基礎論の研究する場合とかならともかく、普通そんなもんあんまり役にも立ちそうにないので“集合全体のなす圏”に留めておいて難しい話は遠慮しとくのが常

メタ圏

>>24
>、圏全体を対象として持つ圏
小圏の圏Catは考えるけどな

公理的圏論ねぇかなぁ〜

>>25
scholze,clausenのCondensed mathematicsからstacks projectまで知ってて当然とばかりにその種の議論は登場しますから、数論幾何、代数幾何の専門家なら遠慮どころかむしろ抑えておくべき内容でしょうね、常識としては

紳士協定

>>28
すでにそうなのでは？

類体論を勉強しようと思っています
セールのlocal fieldsと、ノイキルヒのalgebraic number theoryでは、どちらがより証明の行間が空いているでしょうか？

f:R→Rがすべてのxに対して点aを中心としてテイラー展開可能だったら、他の点bを中心としたテイラー展開も可能？

条件からfはC上の整関数となるから結論は正しい

>>33
あったりまえーだ
x-b=(x-a)+(a-b)
で2項展開
就職は補償されているから全く問題ない

ぎゃくか
x-a=(x-b)+(b-a)
で2項展開

>>35
>就職は補償されているから
どうして？

>>35
>>36
2項展開したものがテイラー級数であることの証明は？

>>38
自分で考えろアホ

>>39
で、当たり前ではあるのだな。

>>38
展開の一意性

(x-b)^nで整理するところで項の並べ替えというか無限級数を二重無限級数に変形する操作をするけど、そこで等式が成り立つことの証明はいる

収束半径∞だから複素平面で整関数に解析接続できて実軸上実解析的

>>43
なら34と同じ

そうか

後の連中分ってなさそうだがｗ

各点でべき級数展開出来て、各点で収束半径0な関数ってあったっけ？

ない

収束半径0なんてあるんですか？

収束半径をlimsup ( n!/f^(n)(a) )^(1/n)とかで定義しとけばいくらでもC^∞級だけど収束半径0なんて作れるやろ

つっこまれるとなげやりだな

>>49
漸近級数

>>42
x=aでのテイラー級数の収束半径無限大だから自明

>>53
どういう短絡的な思考をしたら自明に見えるんだろ

そもそも>>34で答え出てるのにそれ以上言うこともない

>>54
>>34

どこもかしこも収束してるんだから
どう扱うのも全く問題ないって自明

テーラー展開は書けても収束範囲が分からないｗ

どこもかしこも収束してるんだから収束半径は無限大

ん？話を蒸し返して申し訳ないが
>>33 ⇒ >>34 の反例として
f(x)=e^(-1/x^2), x>0
f(x)=0, x≦0
は任意のx∈Rでテイラー展開可能だが整関数にはならない

>>57待ち

よく出てくる関数だよね

>>57がこないので、x=0でのテーラー展開はどうなってる？

これが解析接続出来たら(-∞,0)でf(x)=0だからC上f(z)=0、よってR上f(x)=0で矛盾

>>60
x=aでテーラー展開可能で収束半径∞が仮定
さらに
収束半径=複素領域に拡張した時に拡張できる開円盤の半径の最大値
だから仮定からf(z)は複素平面全体に拡張可能
すなわち整関数>>34
点x=bで展開してもやはり
収束半径=複素領域に拡張した時に拡張できる開円盤の半径の最大値
により∞

逃亡か

漸近級数、e-(1/x^2)とか小難しいことをしっててもｗ

ここには教えて貰うふりをして教えようとする嫌なやつがいるんだよ。
何か答えたらそれ以上のことは言わない。それが正しい態度。

>>60
バカか
>>33
>f:R→Rがすべてのxに対して点aを中心としてテイラー展開可能
sup|x-a|=∞
だ

>>60
>任意のx∈Rでテイラー展開可能
そんなことは問題にされていない

>>49
無い
それはテイラー展開とは呼ばない
>>50
そもそも収束半径はそんな定義ではない

ボレルの定理というものがあるらしいんだけど、書いてある本知ってる？

任意の実数列に対して、それをテイラー級数の係数とするC∞級関数が存在する

これって構成的に証明できるのかな。それとも選択公理を使うのかな。

>>72

一松信著『解析学序説上（新版）』に書いてあったと思います。

>>73
ありがとう。

C∞ 関数とボレルの定理
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~wkbysh/tokukgtx.pdf

>>75
ありがとう。構成できるんだな。

フィルターでつまづいています

A⊃B⊃C
という減少系をフィルターというなら理解できるんですが
逆の増大系の
A⊂B⊂C
をなんでフィルターというのでしょうか?そのココロが分からない
減少、増大の向きに関係なく集合の一方的な包含関係をフィルターというのでしょうか?

フィルターはある条件を満たす添字集合のこと
それ以上でもそれ以下でもない
今の場合は添字集合はある集合の部分集合族だね

半順序集合の部分集合がフィルター公理(空でない, 下方有向集合である, 上方集合である)を満たしてればフィルターと呼んで良いのよ

一回、チコノフの定理フィルターで証明してみたらココロが分かると思う
https://math.jp/wiki/フィルターによる位相空間論

なるほと向きは関係ないってことですね。
確率微分方程式の本で
時系列データとして情報の増大系をフィルターと呼ぶ
F(t) ⊂ F(t+1)
という説明があったので???となってました
減少系
G(t) ⊃ G(t+1) であってもフィルターと呼んでいいってことですよね?

>>81
G(t) → 口う集合　となったらどうする？

A を n 次の対称行列とする。

x ∈ R^n に対し、 f(x) := x^T * A * x とする。

単位球面上での f の最大値を M, 最小値を m とする。

t を [m, M] の任意の元とする。

このとき、単位球面上の点 x で、 f(x) = t となるような点を求めよ。

MとmについてのAの固有ベクトルV,vとって
t = aM+bm
となるa,bを好きに選んで
x = (√a v + √b w)/|√a v + √b w|

>>84

正解です。

>>85
ここ質問スレ
問題スレここないある

>>81
確率解析のフィルターは有向集合のフィルターとは全く違う概念

>>77
フィルターというかフィルトレーションの話じゃない？

サティサタン

>>87
どう違うの?
そこを詳しく

>>88
明確にフィルターと記載されてる。
σ集合体の兄F(t)がフィルターであるとは
F(s)⊂F(t) , s<=t
であって、フィルターとは増大する情報の流れである
そもそも
フィルトレーションとはフィルタを使ってろ波する行為を刺すわけで、
それぞれにことなる意味を与えること自体おかしい

確率微分方程式はその解釈解として
カルマンフィルタや粒子フィルタがあるけどここまで言及する書籍の場合
情報の増大系にフィルターなとというタームは使わず
F(t+1)にはF(t)までのデータ空間からは非可測の新規情報が含まれているという意味で
増大する情報の流れとしてはイノベーションプロセス(刷新過程)というタームが使われてるはず
処理する前のデータ空間にフィルタなどと言い出すと紛らわしいだけだから

んで、はっきりさせて欲しいのは向きに関係なくフィルターを使うのか?
増大系にのみフィルターを使うのかってこと

訂正
× σ集合体の兄F(t)がフィルターであるとは
○ σ集合体の系F(t)がフィルターであるとは

>>77
ソース何だ？

>>91
違うものに同じ用語が使われているだけ

骨まで愛して

上の式と下の式が等価であることの証明(説明)聞きたいです。
直感的にはそうだと思うのですが、ちゃんと納得できない状態です。
イプシロン-デルタ論法ぐらいまでは理解しています。

lim x -> a (f(g(x)) - f(g(a))) / (g(x) - g(a))

lim (x -> g(a)) (f(x) - f(g(a))) / (x - g(a))

f(x), g(x)ともに全ての実数xにおいて微分可能と仮定してください。
x, aはともに実数です。

式を間違えてました。

lim x -> a (f(g(x)) - f(g(a))) / (g(x) - g(a))

lim (x -> g(a)) (x - f(g(a))) / (x - g(a))

f(x), g(x)ともに全ての実数xにおいて微分可能と仮定してください。
x, aはともに実数です。

間違えてませんでした。
97が正しい式です。

うわぁああ一個ずれてました。
初めの式(96)が正しいです。

>>96
>上の式と下の式が等価
等価とは？イコール？恒にではなく定義されるときイコール？値だけで無く発散の状況についてもという意味？

定数関数g(x)=bだと上は定義されずfが微分可能だから下は定義されるのでこういうのは除外？とすると両者とも極限値が確定する場合にそれが一致することを等価？

定義されるときにイコールという意図でした。
連鎖律の証明で上の式から下の式へ当然のように置き換えられていたのがずっと気になっていたので質問しています。

fが微分可能だからlim(f(y)-f(g(a)))/(y-g(a))=f'(g(a))=kとする
h(y)={(f(y)-f(g(a)))/(y-g(a));y≠g(a), k:y=g(a)}は
y≠g(a)で微分可能だから連続
limh(y)=f'(g(a))=k=h(g(a))
だからy=g(a)でも連続なので連続関数
gが微分可能だから連続関数で
h(g(x))も連続関数の合成だから連続関数
limh(g(x))=h(g(a))=k
これで納得行かない場合は
そもそもx→aで(f(g(x))-f(g(a)))/(g(x)-g(a))が定義されない点がaの周りに集積している状況での
lim(f(g(x))-f(g(a)))/(g(x)-g(a))
の意味を考える

つのだ⭐じろう

よろしくお願いします。

フーリエ級数では、coskxの重み付けA_kやsinkxの重み付けB_kのフーリエ係数を用います。
ただし、波数k=0の要素波専用のフーリエ係数導出式A_0がありました。A_0の項も用いて級数表示していました。

しかし、フーリエ変換の公式を導いている途中、周期無限大にした結果、波数に基づく無限級数が積分で表示できるようになるのですが、その論理展開で登場するフーリエ係数がA_kとB_kのものだけになっています。A_0の項については、フーリエ変換ではどこへ行ったのでしょうか。

フーリエ係数導出式A_0は、0以外のフーリエ係数A_kの半分の大きさなので区別してきました。

式書けや

>>105
A_0に由来する項の極限値が0である場合にしか定義できない

>>107
ありがとうございます。
もう少しでわかるかもしれません。

周期無限大で、A_0に由来する項の極限値が0になるから、フーリエ変換ではA_0は描かないということでしょうか。

A_k（k not equals 0）の項は、三角関数があるので周期関数に寄与しています。
しかし、A_0は周期性はないものの変換対象の関数全体を持ち上げる役割を果たしているので必要な項なのではないかとも思うわけです。

参考書は、極限に至る途中までA_0の項を分けて考えていたのに、周期の極限を取って、シグマを波数kの積分にした途端、なんの言及も与えられず、A_0の扱いが同解決したのかわからず困っています。

>>108
A_0に由来する項の極限値が0で無いと
すべて上手く行かないんだよ

定義ができるだけのためにも極限値が0で無くてはいけない

>>108
書名を明示せよ

>>103
ありがとうございます。

>>109-110
ありがとうございます。
わかってきました。

フーリエ係数A_0には、フーリエ変換したい関数f(x)の-∞から∞までの区間積分が含まれます。
（coskxで、k=0のため、1になっている）
A_0 = 1/L ∫ f(x) dx

そして、周期L→∞なので、この区間積分は0になるという理解で良いでしょうか。
-∞から∞までの区間積分 ∫ f(x) dxが、無限大に発散しないことがいかに保証されるのかが曖昧なのですが、
仮にf(x)=tとすれば、区間積分の計算は[1/2t^2](-∞から∞)になるので、すでに0になります。
たとえこれが0にならなかったとしても、∞に発散することはないと考えると、1/L（L→∞）が効いて、
A_0 = 1/L ∫ f(x) dxは、0になりそうです。

つまり、周期無限大で考えるフーリエ変換では、A_0が0として考えるという理解であってますでしょうか。

>>113
訂正
×　f(x)=t
○　f(x)=x

>>113
何もわかってない
テキストを明示せよ
調べるから

>>113
絶対可積分でないとダメだよ

>>94
分野が違う場合はしかたがないが、
数学という同じ分野で、
違うモノに別な名前つけちゃいかんだろ
んで、
フィルターっての"?しとるもの"
フィルトレーションは"?しとる行為"
この基本的な部分をそれぞれ別な意味にあてはめなんてそれは混乱のもとでしょーが
https://www.azumi-filter.co.jp/technical/filtration/

"こしとる"
ってのを漢字つかうとはねられた

あとさ、トポロジーを位相って訳したのいったいどこの馬鹿たれなん?
数学以外、高校生以降
位相 == phaseであることは日本では動かしようのない事実なのに、
phaseと同じ訳考えた奴をぶち殺してやりたい

訂正
違うモノに"同じ"名前
ね

馬鹿程自説に拘る

複素正則行列と書いてあると少し混乱する

>>117
>違うモノに別な名前つけちゃいかんだろ
別に〜

>>117
そもそも
>>94
>違うものに同じ用語が使われているだけ
は正しいのか？
同じものだから同じ用語なのでは？

とぽろぎー＝位相（いぞう）
ふぇいず＝位相（いそう）
実は違う

他スレで質問したのですが全くレスが付かず
そもそもスレチだったのではと思ったのでマルチですみませんがこちらで聞かせてもらいます

ミルナーのモース理論の以下の記述が分かりません
何を読めばわかるとかでも構わないので分かる人いたら教えて下さい(和訳だとp111です)

Mをリーマン多様体とすると
断面曲率K(U,V)は「光学」の術語で言い表せる
観測者をp∈Mとし，そこから単位ベクトルU∈TMp方向にある1点q=exp(rU)を見る
単位ベクトルW∈TMpに対応するqにおける長さLの小さな線分は，観測者には長さ
L(1+r^2/6*K(U,V))+(rの高次のベキ)
に見える

>>116
ありがとうございます。
絶対可積分については物理の書籍では端折られていました。
区間積分が収束するという理解で、
受け入れることにしたいと思います。

濾し取る

書けたじゃん。濾すじゃなくてサンズイに鹿の方で書こうとしたのか？

>>125
曲率一定の球面の測地線で考えてみたら？

物理学ではなく純粋に数学の質問です。
深谷賢治「電磁場とベクトル解析」P２５補題１．３４に書いてある所で疑問があるので質問します。物理学ではなく純粋に数学の質問です。

補題１．３４　LをR^2の部分集合とすると、次の２つの事は同値である。
(i)Lは滑らかな曲線の和である。
(ii)任意の点p∈Lに対して、pからε未満の距離にあるLの点の全体、{q∈L│‖q-p‖＜ε}が滑らかな閉曲線である様な、ε＞0が存在する。

この補題は、滑らかな曲線の和は必ず閉曲線になっている部分集合を含んでいて、閉曲線を部分集合に持たないLは滑らかな曲線の和ではない事になりませんか？閉曲線がある様なεが存在すると言っているので閉曲線なければεは存在しないので。

だとしたらR^2内のどこまでも真っ直ぐな直線は滑らかではないという事になるので矛盾する気がするんですが、この補題は間違っているんですか？

どう読み替えればこの矛盾が解消出来るのか、分かった人がいたら教えて欲しいです。

物理学ではなく純粋に数学の質問です。

滑らかな曲線⇔滑らかな閉曲線の一部分をいくつか持ってきて繋げたもの

とか言いたかったんじゃないの？
主張の“文章”の意味が取りにくくて色んな意味に取れてしまう事などよくある
そういう時はその補題が本当は何を言いたいのかはその補題がその先でどんなシチュエーションで使われて主張のどの部分を使ってるのか見て判断するしかない

文の順番を入れ替えたんですけど、コピペしたあとに元の文章を消し忘れました。強調してるみたいになってますが違います。

>>132
なるほど！取りあえずそう思って読んでみます。

じゃあわからんわ
その補題そのものだけ見ても何言いたいかなんかわかるはずない
数学の世界で誰もが使う有名な補題ならわかるだろうけど、その本の著者が自分の趣味で何回も使うステートメントをまとめただけのものならその本持ってる人間でなきゃわからんよ

おっと前の解釈で良かったのかな？

>>135
１３３のレスは１３１番さんへのレスです。噛み合ってない気がしたので多分何か誤解させてたらすみません。

らじゃ

何で深谷賢治さんに聞かない

幾何学者はなぜいい加減な本を書く人が多いのでしょうか？

数学科学部一回生がやる解析学の厳密性で足踏みしてるというより地団駄踏んでるような奴の言い張る厳密性（笑）

インパクトはあるけどギャップもある論文を書いて物議を醸したのでしょ。
そういうかたに、直接聞きにくいだろ。

>>129
まずはそこから考えてみるのが良さそうですね
ありがとうございます

>>130 その箇所だけ提示して本を持ってない人に教えてもらおうったって無理な話ですよ

p.21 滑らかな開曲線(curve)であるとは, 次の定義をみたす無限回微分可能な
写像 l : (a,b) → R^2 が存在することをいう. ...

p.23 注意1.30
お互いに交わらない曲線の有限個の和集合を曲線の和と呼ぶ. 単に曲線の和という場合は,
無限個の和である場合もあるが, 本書ではそういう場合はでてこない. ...

p.23
f: R^2 → R なる無限回微分可能関数に対して (中略)
L = { p∈R^2 | f(p) = c } が滑らかな曲線の和であるための条件 ...

この辺りを踏まえれば 補題 1.34 の 「滑らかな閉曲線」 は誤植で
単に「滑らかな(開)曲線」の事を言ってるんだろうと分かる. 著者に聞くまでもない.
なのでこの本の定義に限って言えば
曲線: x^2 - y^2 = 1 は「滑らかな曲線の和」だけど x^2 - y^2 = 0 は「滑らかな曲線の和」ではないと言える.

ある命題が選択公理なしで証明できないことってどうやって証明するの？

強制法？

>>145
一般には極めて難しい
例えばバナッハタルスキの逆理は選択公理より真に弱い仮定のもとで成り立つ。
これが証明されたのはバナッハタルスキの論文の50年以上あとである。

>>141
何の生産性もない社会の穀潰し数学科のエタのお前が、非人差別してどーするよゲラゲラ

屠??殺業者だったら穀を潰すのじゃなく畜獣を潰して精肉や皮革を加工品として生産するような仏教的な殺生や神道的な不浄の伴う生産性だな。
皮肉でもなんでもなく。

スティルチェス積分のモチベーションを教えてください。何に使えますか？

線積分は？

>>150 確率論で使われるよ。清水良一『中心極限定理』（教育出版）では、
ルベーグ・スティルチェス積分を縦横無尽に駆使して、中心極限定理を証明しています。
（リンデベルグ条件との同値性を含めて。）

教養教育の数学の問題が分かりません。
三角形ABCの中に点Pを取った時にAB+AC>PB+PCを証明したいのですが誰か教えてください。

分からない問題は別にスレがありました
スレチすいません

代数学の問題で
C[x,y]/(x^2-y^3)の素イデアルの求め方を教えてください。

割れなさそうなやつを探す

>>155
整域だからまず０，でなければ極大．これは(x-a,y-b)の形．(a,b)は曲線x^2-y^3=0上の点．

三角関数の最もいい定義ってなんだと思う？学部1年生の微分積分学の授業でやるとして。

あなた高校生の質問スレッド荒らしてませんか？

>>149
済まん屠??殺業者と表示された
2文字目3文字目は何だ？牛？豚？絲？

あー青椒牛絲じゃなくて青椒肉絲を山盛りで食いてー

テンソルの特異値分解で
T_｛i,j,k,l ｝=Σ_m U_｛i,j,m｝ V_｛k,l,m｝
ということができるようなのですが
テンソルの特異値分解は色々あるようで、検索しても上記の形の分解についての説明が見つからなかったのですが、上記の分解により詳しい名前ついてますか？

>>161
式がおかしかったです
T_｛i,j,k,l ｝=Σ_m U_｛i,j,m｝ V_｛k,l,m｝W_m
です

>>162
この形の分解の解説が見つかった訳ではないのですが
｛i,j｝を一つの添字、｛k,l ｝を一つの添字とみなして、Tを行列と思って特異値分解するということだろうなと一応自分の中で解決しました

>>163
もちそれよ

https://www.youtube.com/watch?v=CaCsEpvPESs&;t=561s

ヨビノリの複素関数論で、arg z に多価性もたせない定義してるっぽいんだけど、
こういう流儀って割とあるんでしょうか？

arg z は、極座標表示の θ の事を arg z と書くというような説明で、
動画中で厳密な定義などは話してなかったと思います。

log z = log |z| + i arg z + 2 n Pi i

という書き方で、arg z に多価性があるとすると、
2 n Pi i は冗長な表記になりますよね。

ちなみに、 arg z の主値 Arg z は arg z とは別に定義しています。

そもそも多価関数って考え方自体いにしえの概念だと思う
リーマン面導入する前段階の話じゃないの

議論したい範囲で使えればこだわらなくていいと思う
時間の無駄だし

>>165
多かろうが少なかろうが別にどうでんよか

(1)しか解けませんでした
解答教えて下さい
https://i.imgur.com/FRjVQ2X.jpg

>>33
これってみんな解析接続とか使って回答してるけど複素数使わないと証明できないの？

カルタンの「複素函数論」のやりかたなら
複素数を使わなくてもできる。

>>170
a中心で収束半径無限大だからほぼ自明

>>54

>>173
どうやっても収束するからに決まってんじゃん

整級数について勉強すれば？

>>175
勉強不足ですまない
f:R→Rがすべてのxに対して点aを中心としてテイラー展開可能で、
∞ = sup{|x-a| | Σf^(n)(a)(x-a)^n/n!が収束する}だから、
∞ = sup{|x-b| | Σf^(n)(b)(x-b)^n/n!が収束する}
であって、
fのbでのテイラー級数が収束するというのは自明として、
fのbでのテイラー級数が元の関数fに一致することはどう証明するんだろう

OutyWaGGは無頓着に和の変形しちゃいけないって知らないんだよ

フーリエ級数だと(収束しても)元の関数に収束するとは限らないことは誰でも知ってるし注意深く扱うのに、何故テイラーだと(収束すれば)無条件に元の関数に一致すると思い込むのか

>>177
噴飯
どこもかしこも絶対収束するのにね

>>176
>勉強不足ですまない
自明に感じるまで勉強するんだ

>>180
なるほど、こいつは“勉強”した結果、何が自明で何が非自明か判断できなくなっちゃったんだな

>>178
だから
整級数の理論を学べよ

>>181
揚げ足取ってやったって悦に入ってどうするんだろうね

理論を学ぶ必要があるとすれば自明じゃないんだが

ここで質問する人は概ね理論を学んでる最中の人だと思うが、
理論を学んでようやく分かる自明なら「自明」と返されても理解できる可能性はあまりない

トーラスと断面がメビウスの輪になるトーラス(*1)は位相同型ですか？
断面がメビウスの輪になるトーラスとアンビリックトーラス(*2)は位相同型ですか？

*1
x = (R + r * cos(θ / 2)) * cos(θ)
y = (R + r * cos(θ / 2)) * sin(θ)
z = r * sin(θ / 2)
r < R
http://web1.kcn.jp/hp28ah77/fig18_49.gif

*2
x = (7 + cos((u / 2) - 2v) + 2 * cos((u / 3) + v)) * sin(u)
y = (7 + cos((u / 2) - 2v) + 2 * cos((u / 3) + v)) * cos(u)
z = sin((u / 3) - 2v) + 2 * sin((u / 3) * v)
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Umbilic_torus.png/250px-Umbilic_torus.png

>>186
>断面がメビウスの輪になるトーラス
断面とは？

知らんけどトーラスって名前を付けるなら同相じゃないとおかしいんじゃないの？

エスパーすると、ファイバー束 T^2->S^1 の同型のことを言ってる気がしないでもない

>>187
すみません、分かりません。
メビウスの輪を回転させて作ったねじれたトーラスと
円を回転させて作ったトーラスは同相じゃないんじゃないかと思ったんです。

>>188
同相じゃない図形でも回転させると同相になるってことですか？

>>189
多分それです。

>>190
>メビウスの輪を回転させて作ったねじれたトーラ
メビウスの輪って？2次元のメビウスの帯とは違うよね？

>>191
メビウスの帯です。

>>192
メビウスの帯をどう回転させるの？
2次元の曲面を回転させたら3次元じゃ無いの？

あと
回転ってのはR^3の中にあるメビウスの帯をR^3の何らかの回転軸の直線に関して回転させるってこと？
R^3でそんなことしてもトーラスにはならないから違うと思うけど回転ってどういうことをするんだろ

>>193
穴が開いてるのをy軸だとするとy軸を中心に回転、と思いましたけどそれだと緯線が円になるので
y軸を中心とした円を軸にめくれるように回転、ですかね。
すると緯線が元の場所にたどりつくまでに同じ経線を2度通るので
同相ではないのではないかと思いました。

>>194
これって少なくともy軸に関して回転させたらトーラスにならないですか？なると思ってました。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%93%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%B8%AF#/media/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:M%C3%B6biusband.png

URL訂正
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/M%C3%B6biusband.png

>>195
y軸を中心とした円を軸にめくれるように回転ってどういうこと？
トーラスならそれ（円を軸にめくれるように回転）分かるけど
メビウスの帯はトーラスの表面の一部にはならないんだけど

>>196
>y軸
どれがy軸？下から上に穴の中を通る直線？
これに関して回転させても3次元の立体になるだけでは？

>>199
意味がわかりました。確かに立体になって表面にはならないですね。
トーラスと中身が詰まったトーラスは違うんですね。

中身詰まってるのはソリッドトーラスという

メビウスの帯をR^3の中じゃ無くて回転させるというかスライド？させてクラインの壺とか射影平面にはできるけどね

射影平面はできないわ
メビウスの帯と円だった

口と尻…人はクラインの壺なのかな？鼻の穴も有るから同相ではないのかな？
鼓膜が抜けてしまった人も更に位相化するのかな？

ピアスで貫通させれば同相ではない

SMプレイでひらめいたのが結び目理論

T_0で局所コンパクトな位相群Gは位相空間として見た時に距離付け可能ですか？
反例が存在するなら教えて頂けないでしょうか

>>207
複素数体の乗法を入れた位相群 S^1 の非可算無限個の直積が反例になりそうですね.

集合からコンパクト距離空間への写像全体の集合は
距離空間になるのでは？

なったとしてそれがなんなの？

>>210
208でなきゃ黙っとけ

距離空間→第一可算公理を満たす

可分性よりはずっと弱い

そういや無限直積のポントリャーギン双対ってなんになるんやろ
例えば>>208の双対ってなんやろ？

>>208
GはT_0かつコンパクトな位相群になり、
また第一可算公理を満たさないから距離付けは不可能
反例ありがとうございます

有限群Gのシロー部分群が、すべて巡回群のとき、剰余群G/D(G)のシロー部分群も
巡回群ですか？（D(G)はGの交換子群とする）
よろしくお願いします。

π:G→G/Dを自然な射影、PをGのpシロー群とするときG/Dのpシロー群はπ(P)
Pが巡回群ならπ(P)も巡回群

>>217
ありがとうございました。

有限群Gの位数がn=Πpi,piは異なる素数でi≠jならpiはpjを法として１と合同でない
という条件を満たすとするとGは巡回群となりますか？
よろしくお願いします。

位数2の元が有れば他の素因子pがあればp≡1(mod2)で仮定に反する
よって位数が偶数ならC2
位数が奇数、素数位数でなければFeit-Thompsonにより素数位数の正規部分群Cpを持つ
Cpに属さない素数位数qの元xのCへの自己共役作用が非自明なら単射<x>→AutCが誘導されるがこの時q | p-1 によりp≡1 (mod q)
よってCはGの中心
以下ry

Dickson
Definitions of a group and a field by independent postulates,
https://www.ams.org/journals/tran/1905-006-02/home.html
のセクション5の定理の十分条件
とその位数のアーベル群は巡回群しかないことからわかる

え？コレ論文になるほどの話？
>>220間違ってる？
それともFeit-Thompson使わない初等的証明って話？

>>220は正規部分群の取り方が逆だな
しかしそれでもindexが素数の正規部分群取れるんだから話一緒になるよな？

1905年の論文だし、まだ群論のことをよく知らない数学者もいた時代

納得
Feit-Tompson 1960年らしいからな

>>220-225
ありがとうございました。勉強します。

Feit-Tompsonとか持ち出すアホの言うことは聞かない方がいいぞ

>>227
じゃあお前とけや

そもそもコイツスペルミスしたレスの方コピペしとるww
アホやんwwwww

そういうことではなくて証明に何百ページも費やすような大定理を使っていることがアホと言っている

でも証明できてるなら良いじゃん

>>230
ではその大定理を使わない証明をどうぞ

それが>>221
全部読む必要はない
セクション5の十分条件のところだけ

>>233
ではその部分“だけ”というのを上げて下さい
Feit-Thompsonを使えば5、6行のレスで済む話をそんな“大定理”を使わずともアッサリ初等的に証明できるのか書いてみて下さい
もちろんそれが可能だから人の事“アホ”呼ばわりしたんでしょ？

>>234
Dicksonの定理より(n,φ(n))=1ならば位数nの群は同型を除いてただ１つ
以上

出ました自分が勉強したとこまでは常識でそれ以上は大定理病wwwww

「Dicksonの定理」が初等的な定理かどうかが問題。

フェイトトンプソンが大定理なのは衆目の一致するところ

>>237
原論文のリンクを貼ってあるが

まぁ何言ってもダメやな
現代数学なんぞ全てのジャンル全ての大定理の証明に目を通しておくなんて不可能
当然査読論文誌で保証されてるから結果だけ使わしてもらうと言う部分が出てくるのは当然
もちろんそのジャンルの専門家ならダメやけどな
Ducksonの定理は初等的で全ての数学者が目を通しておくべき論文なんて言えるはずなかろうに
だったらFeit-ThompsonだろうがDicksonだろうが目クソハナクソにしかならん
結局自分が勉強したジャンルが数学の全てで自分が読んだ事ある論文追えてないやつはバカとか思ってる能無しの戯言

「堀田良之著 代数入門ー群と加群ーのp68の定理12.1にて単因子の一意性が
示されているが、定理12.3（PID上の有限生成加群の構造定理）の一意性の証明に、
定理12.1の一意性ではなく、別の証明方法で一意性が示されている。
定理12.1の一意性が定理12.3の一意性の証明に使えない理由は何ですか？」
という質問がありました。

これに対して
「定理12.1の一意性は行列Fが与えられた時のもの。
一方、定理12.3の証明中に
「f：R^n → R^mを自然な基底で表示した行列をF∈Mm,n(R)とおく。」とあるが、
このFが一つに決まることは示されてない。
証明でMの生成系をx1,x2,..,xm としているが、生成系の取り方は１つだけではなく、
生成系が変わればgも変わる。Kergの生成系の取り方も１つだけでなく、
それによってfも変わり、それによってFも変わるから。」という回答がありました。
この回答は基本的に正しいと考えてよいでしょうか？

どこにあったQ&A？

数学の本スレって終わったのか？
どっか代替スレで続いては居ないのか？

ちゃんとあるよ
前後にへんなのつけるようになったけど

>>241
そもそもPID上の有限生成加群の構造定理より前に単因子が出る本って近年あるんだろうか
間違ってはいなくとも、あまり古い本を読むと困ったところで躓くな

「杉浦光夫著 解析入門II」の補助定理9.3について。
留数定理を使った実積分の計算に関する補助定理です。
以下が原文の主張です。

f(z) が扇型 D = {re^{it} ; 0 ≦r≦ a, α≦t≦β} 上で
lim_{|z| → ∞, z ∈ D} z f(z) = 0
をみたし円弧 A(ρ) : z(t) = ρe^{it} (α≦t≦β) 上で f は連続のとき次の式が成り立つ。
lim_{ρ → ∞} ∫_{A(ρ)} f(z) dz = 0

D の定義の a は ρ の間違いだと思われますが、それだけではなく、D は有界なので lim_{|z| → ∞, z ∈ D} z f(z) = 0 という仮定は常に満たされると思います。

証明を見るに、 |f(z)| の A(ρ) 上での最大値を M(ρ) としたとき lim_{ρ → ∞} ρ M(ρ) = 0 が成立すれば主張は正しいですが、どのように修正するのがよろしいでしょうか？

Feit-ThompsonとかDicksonとかいうのは何ページくらいで証明できるの？学部程度の知識を仮定して

>>247
Feit-Thompsonは数百ページなんじゃないか？
相当長い間正しい事の確認が取れたと数学界でコンセンサスが得られなかった定理だからな
Dicksonの定理は上のレスでは数行だけど正直あの数行で理解するのは難しい
学部生向けの教科書に書くなら2,3ページはいるんじゃない？

>>248
サンクス
上のバトルはDicksonの勝ちだな

まぁそれでDicksonの勝ちってんならそれでいいよ
そんなバカ数学の世界にいらん
はよ出てってくれ

どっちの定理使おうが証明できてるならどっちも勝ちだよ

まぁ勝ちでも負けでもいいわ
質問に答えて話かも分からずいきなりバカ呼ばわりしてきたカスのかた持つようなやつ数学の世界にいてほしないわ
早よでてけ

>>239
>原論文のリンク
群の定義の1_1,1_2,1_3の意図がよく分からないや
直後に1に集約してるし
ところで
右単位元(xe=x)と右逆元(xy=e)の存在だけで両側単位元と両側逆元であることが示せるんだな
知らなかった（または忘れてた）
xに対しy,zを
xy=yz=e
となるものと定義し
yx=yxe=yxyz=yez=yz=e
ex=exe=xyxyz=xyez=xyz=xe=x
か

論文たしかにわけわからんな
専門家が見たら当たり前に飛ばしてる行間があるんやろ
とりあえずSL(2,F) (FはchF=p<∞の代数的閉体)の部分群Gの極大部分群の分類とかいうのがあってそれ見てたらできそうだけど、またバカだのなんだの言われそうだからロムしとくわ

ちなみにコレ
http://lup.lub.lu.se/student-papers/record/8998907/file/8998908.pdf
この分類定理使えばいけそうやけどな
まぁそんな解法はバカなんやろな
賢い解答上がってくるの期待しとくわ

ID:z8q70iXP
ID:zxR7Un2e
ID:6yvTmTUr
言葉使いに知性の低さが現れている
数学の能力は低くなさそうなので残念だ

線型空間(ベクトル空間)について質問なんだけど、
例えば「偶数全体」っていう集合は和とスカラー倍に関して閉じているから、R上の線型空間だといえる ってことであってる？

>>257
スカラー倍で閉じてないだろ

(1/2)*2 が偶数に見えるのならあってるかもしれない

整数絡めたいならZ加群とかそういうの考えた方が良さそう

ただのアーベル群という罠

>>258 >>259
あ、そっか、1\2倍もスカラー倍か
不得手なもので...ありがとうございました！

雪江先生の代数学に
(1)Qの有限次拡大体を代数体という
(2)Lを代数体、Ωを代数的整数環(CのうちZ上整なものの集合)とするとき、L∩ΩをLの整数環という
とありますが、代数体Lは常にCの部分体とみなせて、そうみなした場合のL∩ΩをLの整数環というという意味でよいでしょうか？

よい

>>264
ありがとうございます

小林昭七「接続の微分幾何とゲージ理論の」P４５の（２．１５）式ってなんでD^2φ=R∧φになるんですか？
（２．５）によれば、と書いてあるんですが、（２．５）の説明から（２．１５）までの行間が分かりません。

この本を持っていなければ、
https://www.google.co.jp/url?sa=t&;rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjmn4Ov0af2AhVFs1YBHSC-DscQFnoECAkQAQ&url=http%3A%2F%2Fwww.math.tsukuba.ac.jp%2F~tasaki%2Flecture%2Fln2000%2F2000t.pdf&usg=AOvVaw0GTWFs1cuMA2tSmdd8OKji
このリンク（田崎博之さんの微分幾何のｐｄｆ）のｐｄｆのＰ６７（サイトのページ数では６９）の真ん中くらいの
d^∇d^∇φ = d^∇d^∇(φ1φ2) = (d^∇d^∇φ1) ∧ φ2 = (R^∇φ1) ∧ φ2 = R^∇ ∧ φ1φ2 = R^∇ ∧ φ
この式の (R^∇φ1) ∧ φ2 = R^∇ ∧ φ1φ2この部分の質問です。

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/lecture/ln2017/diffgeo2017.pdf
リンクがちゃんと貼れてなかったので再送信します。
また送れていない場合は、「田崎博之　微分幾何学　pdf」でググると多分１番上に出てきます。

αを任意の実数とする。
この時、任意の０〜９の有限列はαの十進小数展開の中に見出すことができる

これは真ですか？

1/3=0.333... には（0と）3以外出てこないよ

>>268
訂正
｢αを任意の無理数とする。｣

>>270
訂正します
｢αを任意の超越数とする。｣

つhttps://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E6%95%B0

>>266
詳しいことは分からないが、直前に
「これより R∇ = d∇d∇ ∈ Ω2(M ; EndE) とみなすことができる。」
と書いてあるのは見ているのですか？

群の表示を機械的に得る方法ってないですか？ガロア群の計算で、生成元に課される関係式を説明無しにポンと出して、「この関係式から二面体群D4に同型であることが分かる」と書かれているんですが、すぐに分かる方法とかあるんでしょうか？

自明だから

>>274
良く分かんないけどティーツェ変換とかとかその辺の話？
https://en.wikipedia.org/wiki/Tietze_transformations

雪江明彦著『代数学1群論入門』

K = <x, y | x^3 = y^2 = 1, y*x*y = x^{-1}> とすると、

K = S_3 = D_3 であることを証明せよ。


これって証明する必要があることですか？
自明ではないですか？

コレを自明で切って捨てていいと思ってるなら群論の教科書に手を出せるレベルにはない

>>277

σ := (1, 2, 3)
τ := (1, 2)

とすると、

σ^3 = ()
τ｀^2 = ()
τ*σ*τ = σ^{-1}

が成り立ちます。

そして、この3つの関係式だけを使って、 S_3 のCayley Tableを完成させることができます。

確かに、 y^i * x^j ((i, j) ∈ {0, 1{ × {0, 1, 2}) がすべて異なるかと言われると証明が必要な気もしますが。

K を考える意味って何ですか？

松坂和夫さんの本には、自由群、生成元と関係式について全く記述がないですね。

松坂さんは、綺麗に説明しにくいことは書きたがらないように思います。

K = F_n / N

F_n をつくるときにまず、同値関係で類別しています。
K をつくるときにさらに同値関係で類別しています。

分かりにくくないですか？

雪江さんは、語とその語の同値類を区別しないなどと宣言しています。
さらに、F_n / N の元は、 x*N (x は語の同値類）ですが、これも語と区別しないなどと宣言しています。

宣言すれば何でもOKなどと思っているのではないでしょうか？

さすが松坂くん、今日も冴えまくってますね！

>>279
ほら、わかってない
そうやって相手に言われた毎にいちいちカチンときて間抜けな話書いてるレベルの人間性しかないからいつまで経ってもわからないんだよ
そしてお前が今問題にしてる事こそ圏論におけるユニバーサリティの話なんだよ
その1番大切な重要ポイントを“自明”と言って切り捨ててしまってるから何やってもだめなんだよ
その大元がお前がいつまでも抜け出せない小学生みたいな人間性や
諦めろ
お前に学問を修める才覚はない

>>274
有限群のプログラムあるやン
何て言ったっけ

>>274
有限群のプログラムあるやン
何て言ったっけ

群Gの極大正規部分群Nと組成部分群HでHがNに含まれないとき、NH=Gだと思うの
ですが、どう示せばよいのでしょうか？
よろしくお願いします。

GじゃないならH極大ちゃうやん

>>287
すみません。HがNに含まれないときは、極大ですか？

G⊃G1⊃G2⊃・・・⊃H
G⊃A
でAはHを含まないという場合はないのですか？

まだ群論に手出すの早すぎるんじゃないの？

わかりました。考え直します。

>>286
NH={nh : n∈N⊂G, h∈H⊂G}でGは積で閉じているので、NHの任意の要素はGの元であり、NH⊂Gであることが示せた
HはGの部分群であり、単位元を持つので、N={n1 : n∈N, 1∈H}⊂NHであり、更に⊂Gである
Nは極大なので、
N=NHまたはNH=Gである…�@
HはNに含まれないので、HにありNにない元hを取ると、h∈NHだがh∈Nではなく、ゆえにN≠NH
これと�@から、NH=Gである

>>286
G⊃NH⊃N
NH=G or NH=N
NH⊃H
NH¥N⊃H¥N≠φ
NH≠N
G=NH

Michael Artin著『Algebra 2nd Edition』

この本では、二面体群 D_n が <x, y | x^n, y^2, xyxy> と同形であるということは明らかであるという考えですね。

<x_1, …, x_n | r_1, …, r_k> の定義の直後に、

「Thus the dihedral group D_n is isomorphic to the group <x, y | x^n, y^2, x*y*x*y>.」

と書いてあります。

Gの極大正規部分群は正規部分群の中で極大なもので、Gの極大部分群とは
限らないと思います。
それから、自己解決しました。

>>294
生成元とリレーションの考え方がまるでわかってない、そしてまるでわかってないという指摘を受けて悔し紛れに本を読んで反論っぽい事を試みる
全てがクズ
お前に学問の話されるだけで虫唾が走る

>>294
その前のページに
For example, the dihedral group Dn of symmetries of a regular n-sided polygon is generated by the rotation x with angle 2π/n and a reflection y, and these generators satisfy relations that were listed in (6.4.3):
(7.10.2) x^n =1,y^2 =1,xyxy= 1.
と書いてある。

お粗末にも程がある。

>>297

それだけでは、 D_n と <x, y | x^n, y^2, xyxy> が同形であることの証明にはならないというのが正しいのではないでしょうか？

例えば、寺田至・原田耕一郎著『群論』では、 D_n と <x, y | x^n, y^2, xyxy> は同形であることを証明しています。

>>297

証明には半ページくらい使っています。

えっ

proposition 6.4.3を見てないでしょ
有限群にしか通用しない荒っぽい論証だとは思うが

あれ？
でも大先生によると積分表示までは間違いない

∫1/√(u(1-u)(1-x^2u))du from 0 to 1
= 2K(x)
(ただし一般的なK(x) = 大先生ではK(x^2))

https://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%AB1%2F%E2%88%9A%28u%281-u%29%281-x%5E2u%29%29du+from+0+to+1&;lang=ja

x∫(1-u)^(-1/2)(1-x^2u)^(-1/2)du from 0 to 1
= atanh(x)

https://www.wolframalpha.com/input?i=x%E2%88%AB%281-u%29%5E%28-1%2F2%29%281-x%5E2u%29%5E%28-1%2F2%29du+from+0+to+1&;lang=ja

誤爆
orz

>>301

その命題は単に、 D_n = {x^i * y^j | (i, j) ∈ {0, 1, …, n-1} × {0, 1}} と書けるということを言っているだけですよね。

Artinさんは、 D_n が <x, y | x^n = y^2 = 1, y*x = x^{n-1}*y> と同形であることは証明していません。

いや、ちゃんと証明になっている

F を集合 S = {x, y} 上の自由群とする。
R = {x^n, y^2, x*y*x*y} ⊂ F とする。
N を R を含む最小の F の正規部分群とする。

Artinさんは、 F/N が D_n と同形であることを証明していません。

>>305

F を集合 S = {x, y} 上の自由群とする。
R = {x^3, y^2, x*y*x*y} ⊂ F とする。
N を R を含む最小の F の正規部分群とする。

雪江明彦さんは、 F/N が D_3 と同形であることを証明しています。

雪江明彦著『代数学1群論入門』のp.113の例題4.6.6を見てください。

 <x, y | x^n, y^2, xyxy>からD_nへの全射準同型があって位数が同じだから単射。
どこがわからない？

>>308

Artinさんはその全射準同型について述べていません。

雪江明彦さんの本では、そのような全射準同型の存在は定理として書いてあります。

Artinさんはそのようなことを論じず、単に、明らかだと言っているようなものです。

>>309
>>297に書いてあるじゃん

Artinさんの本を読むレベルに達していないということです
安心してください

その半ページ位の証明の中にその群の位数が2nって書いてあるって話じゃないの？

森田康夫著『代数概論』

G を群とする。
S を G の部分集合とする。
F(S) を S で生成される自由群とする。
W(S) を S 上の語の集合とする。

W(S) ∋ (s_1, s_2, …, s_n) → s_1 * s_2 * … * s_n ∈ G

は、 (s_1, s_2, …, s_n) の同値類のとり方によらずに定まり、

i : F(S) → G

なる群の準同型を与える。

特に R ⊂ F(S) とするとき、 R の類を含む最小の F(S) の正規部分群が Ker(i) となるなら、 R の元を = 1 とおいたものの集合を、 G の生成元 S に
関する基本関係とよぶ。


「R の類」って何ですか？

松坂くんは今日も通常運行

結局、「free groups, generators, relations」について一番分かりやすく丁寧に説明している本は何ですか？

こういう当たり前のような当たり前じゃないような話って面倒ですね。

Todd - Coxeter Algorithmってどうですか？

Michael Artin著『Algebra 1st Edition』のほうがMichael Artin著『Algebra 2nd Edition』よりも説明が分かりやすいですね。

Michael Artin著『Algebra 1st Edition』の説明は雪江明彦さんの本での説明と同様ですね。

あ、やっぱり、Artinさんの本の説明も分かりにくいところがあります。

---------------------------------------------------------------------------------
命題8.1：
F を集合 S = {a, b, …} 上の自由群とする。
G を群とする。
f : S → G とする。
f は F から G への準同型 φ に一意的に拡張される。


S 上の自由群から G への準同型 φ が全射であるとき、 S は G を生成するという。

---------------------------------------------------------------------------------

S の各元は自由群の元であって、 G の元でないにもかかわらず、 S が G を生成するというのはおかしくないですか？
そのことについての説明が全くありません。

昨日より悪化している様子ですが、至って通常運行です

自由群の部分群が自由群であることの証明って難しいんですか？

自明そうに見えて実は証明が難しいので有名な定理の一つだね。
樹状グラフへの群作用の一般論からすぐに出るが、その一般論の展開に手間がかかる。

山内恭彦さんが、「問題を解くな」という題で、

「本文を十分に理解しないで、問題によって定理の内容がはじめてわかるというのは邪道である。いくつかの例題を解かなければ、
わかったかどうか自信の持てないようないい加減な読み方をしていたのでは数学は自分のものにならない。」

などと書いていますが、合っていますか？

ちなみに、

「私はもちろん鈍才ではなかった。」

などとも書いています。

>>326
出典を示してもらいたい。

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Nielsen%E2%80%93Schreier_theorem

自由群はグラフの基本群、グラフの被覆空間はまたグラフ

>>327

吉田洋一・矢野健太郎編『私の数学勉強法』（ダイヤモンド社）です。

それはとても良い本だ
資格の勉強のために数学を勉強しているうちに数学が好きになって応用数学の研究者になった人の話が感動的だった

>>322
「S 上の自由群から G への準同型 φ が全射であるとき、φ(S) は G を生成するという。」に書き換えたらいいでしょ
本文を補いながら読めないのは駄目だよ

>>329
全体を読んでみないと、山内さんの真意はわからんな。
当然、逆説的な意味合いで書いたものと想像するけど。
この本、古い本で、ネット書店、近くの公立図書館（含：出身大学の附属図書館）にも無くて、状態の悪い古本しかない。
問題を解く解かないの以前に、本文をきちんと読んで十分理解する（そのように最善の努力をする）のは当然。
しかし、手を動かして問題を解いてみて、初めて定理が腑に落ちることがあるのも事実。

もう少し手に入りやすい本で、
新・数学の学び方
著者 小平 邦彦 （編）,深谷 賢治 （ほか著）
がある。手元にあるから、この機会に読み直してみようっと。

逆説的ではなく素直に「問題を解くのは邪道、本文で理解すべき」と読んだけど

>>331
粗探しし続ける人をかばうわけではないが、本のギャップは人に聞くものだと思うけどな

そもそも射がある対称を生成するという言い回しは圏論では普通に出てくる
それが不自然だなんだとバカな事ばっかり言ってるからいつまで経っても前に進まん
元々素頭悪すぎるから性格直しても前になど進まないだろうがね

>>332
いや、文字通りの意味。二冊演習問題のついてない名著の実例を挙げていた。一冊は吉田耕作の本だと記憶している。
和算の難問の出し合いは日本数学の正常な発展を阻害した悪習である、と言っていたはずだが、ID:IEqHSrBqよ、この記憶合ってる？

>>336

「このごろ数学の本を書くと問題を付けないと本屋で出版してくれない。ところがワイルの本（Classical Groupsその他）でも吉田先生（Differential and Integral Equations）の本でも、
数学の本当に優れた書物には、問題なんていうものは付いていない。だいたい問題というものは、本文をよく読んでいれば当然解けるものか、あるいは本文とは別な独創的（？）な
アイデアがなければ解けないものである。後の場合、ほかの本を読んで別の知識を持っていればわけなく解けるというような人を馬鹿にしたものもある。」

「こんなのは、日本の旧い和算の伝統で、数学の正常の発達を阻害した悪習である。」

などと書いています。

また、

「ほかの自然科学の学科も同じように勉強しなかったが、このほうは96±2ぐらいに安定していた。」

「とくに一番でいながらお行儀の悪かったのには諸先生を悩ましたものだった。」

などとも書いています。

ファン・デル・ヴェルデン著『現代代数学1』

ですが、この本って何がいいんですか？

群論なんて初歩の初歩しか書いていないですよね。シローの定理も書いてありません。

準同型定理までしか書いてありません。

レベルが低すぎやしないでしょうか？

今日はいつもに増して一段と冴えている様子です

>>337
ああ、結構合ってた。

>>336
>和算の難問の出し合いは日本数学の正常な発展を阻害した悪習である
遺題継承ってやつでしょ？んな西洋でも同じやン
てゆーかそれと
>>337
>「このごろ数学の本を書くと問題を付けないと本屋で出版してくれない。ところがワイルの本（Classical Groupsその他）でも吉田先生（Differential and Integral Equations）の本でも、
>数学の本当に優れた書物には、問題なんていうものは付いていない。だいたい問題というものは、本文をよく読んでいれば当然解けるものか、あるいは本文とは別な独創的（？）な
>アイデアがなければ解けないものである。後の場合、ほかの本を読んで別の知識を持っていればわけなく解けるというような人を馬鹿にしたものもある。」
の本書くときに付けないと出版してくれない問題って遺題継承のようなのじゃなくて例題・演習問題のことよね
書いてる本のレベルにも依らないかな
微積とか線形代数とか各種解析学や代数学位相幾何の初歩とかの本のことジャね？
専門書にもあると読者は嬉しいけど無くてもカマワンでしょ

「遺題継承ってやつでしょ？んな西洋でも同じやン」
高次方程式の解法とかね。あれも明らかに悪習と言える。
20世紀ではハンガリーが問題の出し合いが数学みたいな変な方向に行っていた(今はどうなのか知らない)

彌永昌吉・小平邦彦著『現代数学概説1』

この本って本当に小平邦彦さんが書いた部分もあるんですか？
自由群について読もうとしましたが、半群とかから書いてある本なので面倒なので読むのをやめました。

Nathan Jacobson著『Basic Algebra I Second Edition』ってどうですか？

「Ocassionally, we shall find it convenient to develop some of the applications in exercises.
For this reason, as well as others, the working of a substantial number of the exercises is
essential for a thorough understanding of the material.」

などと書いてあったので、不便な本だなと思いましたが。

今まで調べた本の中では、自由群についての記述は、Michael Artinさんの本が一番ましだと思います。

テンソル代数と表現論
http://www.utp.or.jp/book/b598957.html

この本、売れそうな気がしますが、内容は、佐武一郎さんの本に書いてあるようなことですよね？

いつも内容を見ずに期待だけで買って失敗しているので、今回は書店でチェックしてから良さそうな本だったら買おうと思います。

まぁ何読んでも無理やろ
またどうせ途中で投げ出して無かった事にするオチ
前の代数学の基本定理も投げ出したままやろ
ちょっとかじっては分からなくなったら本にガタガタイチャモンつけて終わりを繰り返すだけ
いつまで経っても何にもできないまま

>>346

第5章　群の表現論、主に有限群の場合
第6章　対称群の表現

この辺りが興味あるのですが、線形代数を使わないと解明されない有限群の性質は何ですか？

Michael Artin著『Algebra 2nd Edition』ですが、

2面体群 D_n は 2*π/n の回転 x と折り返し y によって生成される。これらの生成元は、

x^n = 1
y^2 = 1
x*y*x*y = 1

を満たす。

これらの関係を使って、 D_n の元たちを x^i * y^j (0 ≦ i < n, 0 ≦ j < 2）の形に書くことができる。

---------------------------------------------------------------------------------

こういう内容が書いてあります。

ですが、 D_n の元たちを x^i * y^j (0 ≦ i < n, 0 ≦ j < 2）の形に書くのに、

x^n = 1
y^2 = 1
x*y*x*y = 1

を使って書く人なんていますか？

何が言いたいのか分かりません。

x^i * y^j (0 ≦ i < n, 0 ≦ j < 2）の形で表わした D_n の元たちの間の積を求めるのに、幾何学的に考えずに、

x^n = 1
y^2 = 1
x*y*x*y = 1

の関係式を使って代数的に求めるという話なら分かるのですが。

S = {x, y, x^{-1}, y^{-1}} をアルファベットとする任意の語を x^i * y^j (0 ≦ i < n, 0 ≦ j < 2）の形に変形するのに、

x^n = 1
y^2 = 1
x*y*x*y = 1

を使うという話なら分かるのですが。

D_n = {x^i * y^j | 0 ≦ i < n, 0 ≦ j < 2} であることは関係式とか持ち出さなくても D_n の定義から明らかですよね。

生成元と関係式についてなんですが、どんな関係式が良い関係式なのかといった話がいままで調べてきた本には一切書かれていないのですが、なぜ
そのような重要な話を書かないのでしょうか？

お前そのクソみたいな能力でなんで何が重要でなにが重要でないか分かると思ってんの？
何様？
ひとつも何もやり遂げた事ないクセに
何にもできん能無しのくせになんでそんな上から目線で講釈垂れる事ができるん？
お前が文句垂れてる本の作者はみんなお前なんか足元にも及ばんような功績を上げてきた人たちなのがなんで分からんの？

#D_n ≦ #<x, y | x^n, y^2, x*y*x*y> の証明ですが、Artinさんや雪江さんの本での証明のような抽象的な証明方法しかないんですか？

D_n とかを持ち出してそれとの関係によって証明するのではなく、 <x, y | x^n, y^2, x*y*x*y> の中で完結している証明はないんですか？

時代の流れに逆らって引きこもり証明に拘るオレかっけー

>>352
重要と思うなら自分でその主張に基づいた発表でもするのが数学徒でしょ？

一般論として与えられた関係からその群がどのような性質を持つかを判定するのは極めて難しい
例えば有限群であるかどうかを判定するアルゴリズムは存在しない

群 <x, y, z | x^3, y^3, z^2, x*y*z> を考える。
この群の元 y*x*y*x は 1 に等しいことを示せ。

>>358

これは、Michael Artin著『Algebra 2nd Edition』にある例題ですが、良い例題ですね。

-1乗を'で表すとして、群<略>の中で
xyz=1よりz=y'x'
1=z^2=y'x'y'x'
よってxyxy=1
右からy^2かけてxyx=y^2
左からyかけてyxyx=y^3=1

ただの計算練習でしかないと思うんだけど、どこらへんが良い例題なのか詳しく教えて

あ、簡単でしたね。

でも、Artinさんは必要以上に複雑なやり方で示しているんです。

「The next example shows that computation in R can become complicated, even in a relatively simple case.」

などと書いているので、複雑に見せたいんだと思います。

あるいは高齢のArtinさんにとっては複雑な問題だったのかもしれませんね。

>>359
>>361
手のひら返しが酷い

Michael Artin著『Algebra 2nd Edition』

free groups, generators and relationsについて大分理解が進みました。
これから、Todd - Coxeter Algorithmのセクションを読もうと思います。

Todd - Coxeter Algorithmについて書いてある日本語の代数学の本はおそらくないと思いますが、なぜでしょうか？
非常に重要な話だと思います。

能無しのクセにどこまでも上から目線のクソ

Michael Artin著『Algebra 2nd Edition』のTodd - Coxeter Algorithmのセクションですが、完全な記述をしているわけじゃないんですね。

>>361
その感想は正しいと思えないよ

>>365
不完全な記述を読むのは止して、雪江明彦著『代数学1群論入門』の「位数12の群の分類」のセクションを読もうと思います。

雪江さんの本の参考文献のところを見ると、鈴木通夫さんの本にTodd - Coxeter Algorithmの解説があるみたいなのですが、
鈴木さんの解説は分かりやすいですか？

>>367
おまえには分からん

どうせ鈴木さんて大丈夫な人ですか

て来るんだろう

どうせ鈴木さんて大丈夫な人ですか

て来るんだろう

>>362
おそらく彼が何も理解してないからだろうなとも思いますね

>>361
そんなことは聞いてないです
どこらへんが良い例題だと感じたのか？それを聞いています

この人は日本語が読めないのでしょうか？
大丈夫な人なのでしょうか？

まぁ変なやつではある
そもそも何のために数学やってるのか全くわからん
まず能力的に将来数学で飯が食える見込みはまるでない
本人もそれは自覚してるだろう
そして多くの数学者が数学を志す理由の一つである“数学という学問”に対する畏敬の念もまるでない
おそらくは”化け物級の自己愛性の人格障害者”なんだろうとは思うが
まぁほっとけばいいんだがともかく敬愛する偉大な数学者たちを散々にコケおろすのが我慢ならん

近藤武著『群論』ってどうですか？

自由群についても書いてあるので図書館から借りてきました。

貸し出し履歴の紙が本に貼ってありますが、1件も貸し出し記録がありませんでした。

なぜか、月報が本に挟んでありました。

岩波講座基礎数学月報4に三村征雄さんが、

「私はいま、学士入学したつもりで、この講座を読もうかと思っている。私のような老書生にもわかるように、親切でやさしいものを
書いて下さるよう、諸先生にお願いしたい。」

などと書いています。

>>374
岩波の基礎数学は親切で優しくて為になるよね

>>近藤武著『群論』ってどうですか？

昔それを読みかけたとき
ミスプリではない誤りを見つけて
岩波にハガキを出したことがある。
意外なことに
著者が感謝していたという返事が来た。
それでも読んでみようと思ったくらいだから
よい本だったに違いない。

松坂和夫著『代数系入門』

この本での「環」は乗法に関する単位元をもちます。

環 R の部分環の定義ですが、それ自身環であり、 R の乗法に関する単位元を含むものという定義です。

群のときには、部分群の定義はそれ自身群であるようなものという定義でした。

ですので、環 R の部分環の定義をそれ自身環であるようなものと定義すると、 R の乗法に関する単位元を含まない可能性がある
ということを注意書きは必要だと思うのですが、『代数系入門』には一切そのことについて触れていません。

これはOKですか？

OKです

松坂和夫著『代数系入門』

環の準同型写像の定義ですが、

f(x + y) = f(x) + f(y)
f(x * y) = f(x) * f(y)
f(1) = 1

と定義しています。

群の場合には、

f(0) = 0

は導かれるため、定義に含まれていませんでした。

環の準同型写像の定義を

f(x + y) = f(x) + f(y)
f(x * y) = f(x) * f(y)

とすると、

f(1) = 1

は成り立たないかもしれないという注意が必要だと思うのですが、『代数系入門』には一切そのことについて書いてありません。

これはOKですか？

OKです

予想通り、この本は売れそうですね。
現在、ランキング1377位です。

佐武一郎さんの本より分かりやすいですかね？

テンソル代数と表現論: 線型代数続論 単行本 ? 2022/3/28
池田 岳 (著)

出版社 ? : ? 東京大学出版会 (2022/3/28)
発売日 ? : ? 2022/3/28
言語 ? : ? 日本語
単行本 ? : ? 304ページ
ISBN-10 ? : ? 4130629298
ISBN-13 ? : ? 978-4130629294
Amazon 売れ筋ランキング: - 1,377位本 (の売れ筋ランキングを見る本)

>>381

アマゾンですが、

「本 (の売れ筋ランキングを見る本)」っておかしくないですか？

本が売れるかどうかということでいうと、斎藤毅さんが代数学の本を書けば売れると思います。

なんで桂さんが代数の本を書いたんですかね。

ピーターショルツが代数学の教科書を書いたらかなり他の人にとっては有益だろうなと思う
代数の先の造詣も深いし証明も非常に分かりやすく、イノベーターとしてショルツ個人の観点も価値が大きい

>>385
IUT批判してる人か

>>386
それはおまけでパーフェクトイド空間の人

松坂和夫著『代数系入門』

「
R を環とし、 J を R に等しくない R の左イデアルとする。もし J を含む R の左イデアルが R と J 自身のほかに存在しないならば、 J を R の極大左イデアル
という。同様にして極大右イデアルも定義される。 R が可換の場合にはもちろんこれらの概念は一致し、単に極大イデアルとよばれる。
」

などと書かれています。

この書き方だと「極大イデアル」という用語は可換環の場合にしか使われないというようにとれます。

「
R を環とし、 J を R に等しくない R の左イデアルとする。もし J を含む R の左イデアルが R と J 自身のほかに存在しないならば、 J を R の極大左イデアル
という。同様にして極大右イデアルも定義される。 J が極大左イデアルかつ極大右イデアルであるとき、単に極大イデアルとよばれる。 R が可換の場合にはもちろんこれらの概念は一致する。
」

と書くべきですよね？

いいえ

成田正雄著『初等代数学』

多項式の積について結合法則が成り立つことの証明ですが、「積の定義からあまりにも明らかであろう」などと書いて証明を書いていません。
一方、 (1, 0, 0, …) が積に関する単位元であることは証明しています。

明らかに、結合法則のほうが証明を記述するのが面倒です。

一体何を考えていたんですかね？

松坂和夫著『代数系入門』

でも、routine workだなどとして、証明を読者の練習問題にしています。

こういうきちんと書くのが大変なものは、松坂さんの常套手段ですが、読者に押し付けますね。

結合法則が成り立つことの証明ですが、

f = (a_0, a_1, …)
g = (b_0, b_1, …)
h = (c_0, c_1, …)

(f * g) * h
f * (g * h)

のどちらも l 次の項の係数は、添字の和が l になるような a_i * b_j * c_k をすべて足したものになる。

よって、

(f * g) * h = f * (g * h)

が成り立つ。

これでOKですか？

>>392
OKです
もそっと厳密に言うなら
Σが和に関して分配則
Σ同士の積（作用の合成）に関して結合則を満たすことを示してからということになりましょうが
ほぼ自明ですし

>>393

ありがとうございました。

単項イデアル整域というのがあります。

なぜ、単なる「単項イデアル環」というのは考えないのでしょうか？

>>395

松坂和夫著『代数系入門』では、そういう説明が全くありません。
そして、突然、考える環を整域に限定して単項イデアル整域などというものを持ち出してきます。

黙って読め能無し

整除の関係ってもっとすっきりと記述できないんですか？

>>395
整域ではない環の素因数分解について考えてみて下さい

>>396
単項イデアル環を定義する本もあるので、他の本を読んでみたらどうでしょうか？
レスポンスがあれば知ってる本勧めますが

>>399
「素元分解とその一意性」というセクションを読んだら、整域だと、左辺と右辺の共通の約元で約すことができたり、色々便利なのは分かりました。

>>400
ブルバキとかですかね？
「素元分解とその一意性」というセクションを読んだら、単項イデアル整域だと色々と都合よく物事が進むことが分かったので、本の紹介は結構です。

>>401
そうでしたか
一息ついて先を読み、それでも分からなければ質問したほうが効率が良いかもしれませんね

松坂和夫著『代数系入門』

この本では、他の本で既約元と言っているものを素元と言っています。

こういうのはありですか？

他の本では、素元の定義は既約元とは一致しません。

UFD上では素元 = 既約元だそうですが、一応定義は別々にするのがいいのではないでしょうか？

わかってるじゃんキミ

いつもの調子なら少なくとも

この本では、他の本で既約元と言っているものを素元と言っています。
松坂和夫さんは大丈夫な人なのでしょうか。

なはずなので、実はあんまりわかってないと思う